史上最全的数列通项公式的求法15种

文档来源为:从网络收集整理・WOKi版本可编辑•欢迎下载支持.最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式一一通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。直接法直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1・ 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式:1、3、3、2丄討，黑4、 1.疔1丄 5、 1、0、1、0♦二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项若已知数列的前"项和S”与alt的关系，求数列｛匕｝的通项心可用公式 求解.Pn-九 心2(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2.①已知数列仏｝的前〃项和S〃满足求数列｛©｝的通项公式.②己知数列伉｝的前“项和满足sn=n2+n-l,求数列伉｝的通项公式.己知等比数列伉｝的首项©=1,公比Ovgvl，设数列血｝的通项为bn=anU+ ,求数列｛»｝的通项公式。③解析：由题意，仇+】=a*+①心，又｛色｝是等比数列，公比为Q=q、故数列｛b〃｝是等比数列，切=心+你=〃凶+。凶‘=q(q+l),・•・仇=q(q+l)・/T=q”(g+l)♦三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。例3-(2002年北京春季高考)已知点的序列N\其中兀=0,x2=a(a>0),心是线段九心的中点，人是线段4九的中点，…，代是线段AiAt的中点，…

（2） 设心=兀申-柿计算6,①卫3,由此推测｛心｝的通项公式，并加以证明。（3） 略X4-x解析：（1）・・•心是线段仏的中点，・・・兀= ； （心）（2）aA=x2- =ci-O=a9猜想d”=（一丄）"5心GNT,下面用数学归纳法证明1°当n=l时，勺=a显然成立;2°假设n=k时命题成立，即务=（-—严gNJx+x ] ]则n=k+l时，％+]=忑+2-xk+1=丄一^—--xk=-—(忑+]~xk)=~—ak:.当口=1:+1时命题也成立，・•・命题对任意nwN*都成立。变式：（2006,全国H,理,22,本小题满分12分）设数列（a,,｝的前"项和为S”,且方程x2—attx—an=0有一根为S„—1,n=l,2,3,…（I）求d"d2；（ID｛a„｝的通项公式，对于形如①出=J+/（/?）型或形如匕出=f（n）af!型的数列，我们可以根据递推公式，写出11取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4.若在数列｛。”｝中，6=3,an+l=a„+n,求通项a“。解析：由a申=an+n得attU-an=n,所以将以上各式相加得：an-a{=(w-l)+(n-2)+•••+!,又勺=3所以狀咛+3例5.在数列&”｝中,6=1,%=2”％（*矿）,求通项陽。解析：由己知独=2",丄=2心，弘=2'宀,an an-k an-2n(n-l)所以色=亠an-\♦五、取倒（对）♦五、取倒（对）【法a.如=pa：这种类型一般是等式两边取对数后转化为f/zr+1=pan+q,再利用待定系数法求解b、数列有形如f（an,all_^aliali_i）=0的关系，可在等式两边同乘以先求出丄,再求得a”,a”％ 5c、°”+1==几"M；解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为a,^-pan+qog（H）5+h®）例6..设数列｛a”｝满足勺=2,a申=-（“gN）,求g°”+3解：原条件变形为an+1•a”+3•①旧=a”.两边同乘以一—，得1+3•丄=丄an* ana“+l5=I.2x3"T-1例7、设正项数列｛a”｝满足①=1,a“=2a二（n$2）.求数列仏｝的通项公式.解：两边取对数得：log；"=l+21og；z,log?+l=2（log严+1）,设b“=log；”+l,则bm ｛»｝是以2为公比的等比数列，®=log；+l=l.b„=lx2”t=2n_1,log?+1=2”t,log?=2"-"—1, ・•・an=2宀变式：a o1•己知数列｛an｝满足：ai=-,且an=-一 （n>2,neN*）2 2an_1+n-l（1） 求数列｛aj的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n,不等式ai*a2« an<2*ii!2、若数列的递推公式为厲=3,丄=丄-2（〃wN）,则求这个数列的通项公式。3、己知数列｛%｝满足=l,w>2时，an^-an=2an^an,求通项公式。4、已知数列4、已知数列｛aj满足:求数列（aj的通项公式。5、若数列｛an｝中，曰]二1,&卄]二nGN+,求通项耳・5+2♦六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例8、 (2003•高考•广东)设<2。为常数，且a.=3」'一2a(n为正整数)证明对任意n21,<2„=[3=+(-1)P-'J• 215]+(-1)R•2Rao证明：a„=3R_1-2a”=3"—2(3宀一2an<)=3n_1-2・3r<+22(3「宀一2<2a-s)=3n_1-2・3r<+22・3a_3-23(3aM-2a=3n_1-2-3n<+2 3「$—•••+(-1)n_1•2n_14-(-1)n・2R<20(-1)R・2"a。前面的n项组成首项为3n_1,公比为一的等比数列，这n项的和为：=[3=+(-1)"・215]/.ar=[3"+(-1)n_1• 2"]+(-1)n・2"ao♦七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为己知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1.通过分解常数，可转化为特殊数列｛a”+k｝的形式求解。一般地，形如an+1=pq分解法：设a,.+q（p^l#pq^O）型的递推式均可通过待走系数法对常数q分解法：设a曲+"p（an+k）与原式比较系数可得Pk-k=q/即"冷’从而得等比数列｛a”+k｝。例9、数列｛a”｝满足a=l,<2,,=^-<2^+1（”$2）,求数列｛"｝的通项公式。解：由“十”」（心2）得監-2冷（力-2）,而才2二—・・・数列｛"2｝是以*为公比―为首项的等比数列n-1・n-1・"2-(1)-文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列｛6—2｝,从而达到解决问题的目的。练习、1数列3」满足①二1,3atl+l+q厂7=0,求数列3”｝的通项公式。TOC\o"1-5"\h\z7解：由3%+色一7=0得an+l=--an+-k1 7设①+k=--g+灯，比较系数得-k--=—解得k=一一m 3 3 3 47 1 7 7 3•••｛心―一｝是以―一为公比，以①—一=1———为首项的等比数列4 3 4 4 4Aall--=--x（--y-ina”=?一2X（一丄）14 4 3 " 44 32、己知数列｛%｝满足6=1,且an+l=3an+2,求％.解：设an+l+1=3（a„+1）,则an+l=3a„+2t=＞t=l,an+l+1=3（a„+1）=＞｛a„+1｝是以（勺+1）为首项，以3为公比的等比数列二＞%+1=（勺+1）•3”-1=2-3"T二＞%=2•3"-1—1点评：求递推式形如«n+1=pan+q（p、q为常数〉的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列%+壬=+J-）来求得，也可用“归纳一猜想一证明”法来求，这也是近年高考考得p-1 1-P很多的一种题型.2、 递推式为％严M+严（p、q为常数）时，可同除q申,得瞎=2•绍+1，令化=丄从而化归qqq q为a”+i=Pan+Q（p、q为常数）型.、例10.已知数列伉｝满足勺=1,a”=3”+2%（n＞2）.求％.解：将曾=3”+2%t两边同除3",得乞=1+如L=＞也t=l+?色耳n1 3〃 3〃 3〃 33'Li设仇=守，则亿=1+彳仇十令»—/=彳（亿_厂/）二＞乞=彳化_]+¥Xf Qdf=3.条件可化成仇一3=彳（勺1一3）,数列｛仇一3｝是以b厂3=彳一3=-扌为首项，扌为公比的等比数列.^-3=-|x（|r-.因b„=^,Q7%=bH3"=3”（--x（-）-1+3）n山=3”刊-2用.3、 形如all+l=pan+an+b1,0,z?h0）解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a„u+x（n+l）+y=p^an+xn+y）,与已知递推式比较,解出x,y，从而转化为｛ci„+xn+y｝是公比为p的等比数列。例11:设数列｛an｝:①=4,陽=3©1+2"-1,（"二2）,求心.解：令an+i+x（n+1）+y=3K+xn+y）化简得：= + +（2x=2 （x=l所以（2『-兀=-1解得b=。，所以％+1+（兀+1）=3（%+〃）又因为ai+1=5,所以数列｛勺+刃｝是以5为首项，3为公比的等比数列。从而可得Q“+n=5x3"\所以a“=5x3"l-n变式：（2006,山东，文,22,本小题满分14分）q=_、点（〃、2匕+]_碍）己知数列｛a,t｝中，2 在直线y=x上，其中n=l,2,3….（[）令仇=%一°”-3,求证数列0”堤等比数列; （II）求数列伉喲通项;4、 形如a/j+l=pan+an2+b刃+c（卩工1、0,*工0）解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令cin+l+x（n+1）2+y（n+1）+c=p（an+xn2+yn+c）,与已知递推式比较，解出x,y,乙从而转化为｛a”+xn1+yn+c]是公比为p的等比数列。例12：设数列｛a”｝：q=4,a”=3a“_]+2/—1,（刃X2）,求a”.递推公式为6/„+2=pa„u+qan（其中p,q均为常数）。解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为a*-皿”+产2”+厂®）其中s,t满足＜S+tPst=-q解法二（特征根法）：对于由递推公式①*=叫」+qa「①=a®=0给出的数列伉｝，方程x2-px-q=0,叫做数列&”｝的特征方程。若兀是特征方程的两个根，当石工兀时，数列伉｝的通项为a„=Ax；-1+Bxr1,其中A,B由ci\=a,ci,=/3决定（即把勺宀心入和n=1,2,代入a”=Ax；~l+Bx异,得到关于A、B的方程组）；当“=兀时，数列伉｝的通项为an=（A+Bn）x"~l,其中a,B由aA=a,a2=p决定（即把al,a2,xl,x2和“=1,2,代入a„=（A+ ，得到关于A、E的方程组）。]例13:已知数列｛a”｝中‘©=1,a?=2,cin+2=—anJri+—‘求a”°变式：1•已知数列讣满足兔=1,冬=3卫卄2=3©+】一2匕（"w ・（I）证明：数列｛a+1-a｝是等比数列；（H）求数列｛%｝的通项公式;（III）若数列｛bn｝满足小-叩戶…梓-1=（atl+1屮（ngN、,证明他｝是等差数列。2]2•己知数列伉｝中,=1,a2=2,an+2=—fln+i+^a»f求""3.已知数列｛a“｝中，S”是其前〃项和，并且5„+1=4^+2（/?=1,2,.-.）,^=1,⑴设数列bn=①曲—2a”（“=1,2,……），求证：数列仮｝是等比数列；⑵设数列c”=*,（〃=l,2,……）,求证：数列｛c”｝是等差数列；⑶求数列伉｝的通项公式及前"项和。2.八:特征根法。设已知数列｛©｝的项满足①+d,其中心0,心1,求这个数列的通项公式。作岀一个方程x=cx+d,则当%=①时，an为常数列,即an=勺;当丰兔时,an=bn+x0,其中｛bn｝是以c为公比的等比数列，即b”=®c"TQ=6—入.对于由递推公式①曲=p%+qa“，①=ct,a2=0给岀的数列｛心｝,方程F—px—g=0，叫做数列伉｝的特征方程。若提特征方程的两个根，当“工心时，数列伉｝的通项为％=Ar；-1+BxT,其中A,B由①=%冬=0决定（即把a^a2,Xl,x2和〃=1,2，代入①=Av；-1+ ,得到关于A、B的方程组）；当呂=无时，数列伉｝的通项为an=｛A+Bn）x^,其中A,B由①=久①=0决定（即把无和〃=1，2,代入心=（4+物）矿1,得到关于A、B的方gffiL例14：（1）己知数列｛%｝满足a,=«,a2=Z>,3«„+2-5a„+1+2an=0（w>0,ngiV）,求数列｛%｝的通项公式。解法一（待定系数一一迭加法）由3%-5%+】+2an=0,得2a卄2一%=y（陥-陽），且a2-a,=b-a.则数列仏出-a”｝是以b-a为首项，彳为公比的等比数列，于是2a”+i一an=0-«）（-）n_1。把〃=1,2,3,…,n代入，得

a2-ak=b-a,2=@_a)•(亍hn4-«3=(/?-«)(|)2,2a”_%=(b_d)(§)f把以上各式相加，得9]_(土严2 2 2 W口”一4=(b-d)[l+3+(3)+—+(3)”7]=—— (b-a)o1——322...a”=[3-3(-),,_1](^-a)+ci=3(a-/2)(-)n_1+3b_2a。解法二(特征根法：这种方法一般不用于解答题)：数列｛。”｝：3a”+2—5d”+】+2d”=O(〃nO,〃wN),2=a,a2=b的特征方程是：3x'-5x+2=0。 •/xL=1,x2=―,:.a„=Ax；-1+ =A+B-(|)n_1o乂由d]=Qyd-y=b,于是6/= (A=3b-2a6/= (A=3b-2a2=>b=A+-B B=3@—b)i9故an=3b-2a+3(a-(2).已知数列｛a”｝满足：q,m=-*”-2/gN,©=4,求a”.1 , 3 3 11解：作方程x=--x-2.则x°=__・ 当©=4时，a工兀上=a2 1 1 01 2 2数列｛bn｝是以-g为公比的等比数列./r-1#(一扩,色/r-1#(一扩,色T+乞=—|+¥(—》n.九：不动点法，形如0”+1=解法：如果数列｛匕｝满足下列条件：已知①的值且对于HGN,都有①出=叫+?(其中p、q、r、h均®+h为常数，且phn"a严丄),那么，可作特征方程兀=竺卑，当特征方程有且仅有一根心时，则

r rx+h是等差数列;当特征方程有两个相异的根〔时，贝#2匚玉4是等比数列。

a+4例15：已知数列｛色｝满足性质：对于~~，且6=3,求｛©｝的通项公式.2a”+3例：已知数列｛。”｝满足：对于〃wN,都有％产空匸兰.a”+3(1)若山=5,求％;(2)若q=3,求a”；(3)若①=6,求a”；(4)当①取哪些值时，无穷数列⑺”｝不存在？变式：(2005,重庆，文,22,本小题满分12分)数列K｝满足勺=1且8陥厲-16%+2an+5=0(n>1).记b„=—Ly(n>1).an——”2(I)求仇、上、b,、加的值;(II)求数列｛»｝的通项公式及数列｛anbn｝的前11项和S”.♦十：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例］6已知数列｛%｝满足an+l=丄(l+4a”+Jl+24d“),®=1,求数列｛%｝的通项公式。16解：令®二J1+24©,则陽=召(侏一1)故卩田=言(你+1-1)，代入=£(1+°%+Jl+24a”)得即"二=(b”+3)，因为b”=J1+24%»0,故9+产Jl+24%+；n01 3则2亿+1=b”+3,即bn+l=2^n+2,可化为b卄厂3气(b厂3),所以仇―3｝是以也-3=Jl+24q-3=Jl+24xl_3=2为首项，以丄为公比的等比数列，因此2$一3=2(护=(*严,则汗(扩+3,即加莎;=(扩+3,得-3-3+XI/1-2

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1W4-3-」12评注：本题解题的关键是通过将J1+24©的换元为仇,使得所给递推关系式转化bt^=-bn+-形式,2

从而可知数列｛0-3｝为等比数列，进而求出数列｛bn-3｝的通项公式，最后再求出数列｛色｝的通项公式。例例18・已知数列伉｝满足6=*7C 71 71/. =cos—,a.=cos———,…，a„=cos——:——- 6 22-3 2心・3总之，求数列的通项公式，就是将已知数列转化成等差（或等比）数列，从而利用等差（或等比）数列的通项公式求其通项。H。双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例19.已知数列伉｝中，勺=1；数列仮｝中，%=0。当n>2时,①|（2心】+ +2b“_J，求①，％•解：因©+仇=+（2卩円+bQ+| +2仇t）=所以a„+b„=①t+b叶严a„_2+b„_2=...=a2+b2=a.+b^l(1)即a”+b”=l(1)又因为d”-bH=£(2g”t+b”_J- +2b,J= -b„_J所以①-»=+(Q”t一)=(》'an_2-bit_2)=……=(|)w(勺一bj♦十二、周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。2an^<a„<|）例20：若数列仏.｝满足％+|例20：若数列仏.｝满足％+|1 72①一1，（亍<°”<1）变式：（2005,湖南，文，5）A・0 E・-羽 C.羽 D・2♦十三、分解因式法当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得心・例21.已知/（x）=（x-l）4,g（x）=L（x-l）',0"H0,l）,数列｛。”｝满足aY=2,an=1N）,且有条件（a”-％）•g（"T）