北京航空航天大学电磁场理论教学团队

电磁场理论讲稿

第10讲静磁场北京航空航天大学电磁场理论教学团队内容:1.静磁场的矢量位,磁矢位和磁标位2.位场在远离源的区域中的多极子展开式计算静磁场的方法有两种1.直接法：毕奥-沙瓦定律2.磁场的矢量位2毕奥_沙瓦定律：由电流分布直接求磁场一.电流元产生的磁场安培定律IdsQ3二.闭合电流线产生的磁场PQI4利用式计算一个圆形电流线在圆心处的磁场强度xyI0zH(0,0,0)(P)R5有:三.分布电流产生的磁场电流分布在某个空间区域内,电流分布的区域为电流密度为取体积元体积元到观察点的位移矢量为6P7磁场的矢量位一.静磁场方程8电流一定是无散的,即电流线是连续的,假设电流分布在有限区域中,电流线应是闭合的.磁力线所在的平面都应与该处的电流线垂直.即磁场无通量源.二.磁场的矢量位是无散的,任何矢量场的旋度都是无散的.可设为某一矢量场的旋度.9矢量场即可称为静磁场的矢量位,但对于静磁场,并不是唯一的故:10由亥姆霍尔定理可知,唯一确定一个矢量场必须给定它的旋度和散度三.磁矢量位的方程我们定义磁矢量位的目的是通过它来求解静磁场.11四.磁矢位方程的解与静电位的泊松方程比照,将中的换成得:12解为:对于稳定闭合电流线,磁矢位为13而一个电流元产生的磁矢量位应是电流元产生的磁矢量位的方向与电流元的方向平行这个概念度对我们分析问题很有用14磁场强度由式有:15五.磁矢位的物理意义一般书中,只是将作为处理静电场时所用的数学手段,并不赋予具体的物理意义.近来,一些著作中,对的物理意义做了某些解释,对于这些解释,学术界尚无公认的结果,读者可根据自己的理解作些探讨。16六.边界条件静磁场的场方程,相应的边界条件为17

例题1.求出图6-5所示的载流直导线在xoy平面上产生的磁场强度。zIl-lPQds0xy图6-518解：由图6-5可知，电流线上的电流元应为。电流元与xoy面上的任一点P之间的距离这样，我们根据式可知电流元产生的磁矢位为19因此，整个电流线产生的磁矢位应为20xoy平面上的磁场没有z分量，故可用上式的磁矢量位来求磁场强度21其中如图6-5所示。当时，即为一条无限长的直导线,那么即可得到22与以前所求得的无限长电流线的磁场结果一致。2.现在，我们来求一个圆形电流环在远离环的空间产生的电场。系统如图6-6所示。23IxzyP0a24由式可知，电流环产生的磁矢位为25其中ds的变换可由图6-7得到。由余弦定理可得到在的条件下，我们有26通过级数展开，略去高次项，可得将此式代入式中，即有27注意到P点得坐标是，Q点的坐标是，是和之间的夹角，那么可得28代入式即有29上式中的四个积分中，第一个积分和第四个积分均为零，而30因此可得其中称为电流环的磁偶极矩。由此可得电流环在远处的磁场为31同矢量电偶极矩相对应，矢量磁偶极矩的方向定义为与电流环中电流流动方向成右手螺旋的方向。在本例中，就是的方向，因此，在此题中，电流环的矢量磁偶极矩可写为32应该注意的是，在计算时，通常遇到的是矢量积分，这时，一般以在直角坐标系中运算较为方便，因为直角坐标系的单位矢量是常矢量，矢量积分容易化为标量积分。33静磁场的标量位标量位只在无旋区域才能定义要求在求解区域内:34磁标位一.磁标位的定义假设讨论的区域内,不存在电流分布,这样的区域,磁场是保守场,可用一个标量场的梯度来表示,称为该磁场的磁标位,记为

假设想保持在无源场区域中的单值性,那么该区域只能是单连域35静电场的标量位并不要求区域是单连域.这是他们的不同点.原因是:计算式时,假设积分路径绕电流一圈,积分值就增加一个电流值,绕n圈,积分值就增加n倍电流值.复通域不能保证的单值性.而在图6-9中,可保证单值性36yxsyxyxs单连域图6-937二.磁标位的方程和方程解族和静电问题一样,首先应得到的方程和方程的解在无电流分布的区域中,可用磁标位求解磁场问题,磁标位是应该满足拉普拉斯方程的.磁标位是满足拉普拉斯方程,求方程解族的工作与在静电场中讨论过的完全一样.但在解释方程解的物理意义方面,磁标位与静电位是有不能类比之处的。不能类比的情况如下:381、在柱坐标中，的拉普拉斯方程解，对于静电位来说，反映的是无限长均匀带电直线的电场位形式，但对于磁标位来说，这种形式的解是没有物理意义的。2、在球坐标中，的拉普拉斯方程解，对于静电位来说，反映的是点电荷的电位形式，但对于磁标位来说，这种形式的解也是没有意义的。39解释：这两种形式的解都出现在给定的静电系统净电荷量不为零的情况，反映了净电荷量对位场的奉献。假设系统的净电荷量为零，就不会出现这两种形式的解了。而对于磁场来说，因为没有磁荷存在，自然也就不会存在净磁荷不为零的系统，因此，这两种形式的解就不存在了。3、拉普拉斯方程中，形式的解，对于静电位来说，反映的是角的两边分别是常数电位的二维角域中电场位的形式，其中的变化范围小于2。而对于磁标位来说，这种形式的解反映的是无限长电流直线产生的磁标位，的变化范围是全方位的、404.球坐标中，形式的拉普拉斯方程解，对于静电位来说，反映的是两个电位分别为常数的共顶点共轴线的锥面间区域内的电场位形式。而对于磁标位来说，这种形式的解没有物理意义。四.边界条件:41注意这里没有,因为它与式矛盾426.3位函数在远区的多极子展开式处理远离有限分布源所在的电磁场分布规律的问题通常使用多极子展开式。分布在内的电荷，在观察点P产生的电位，430xzyP(x,y,z)Q(x’,y’,z’)

VQrQrPrqp图6-1444其中所谓远区，就是远离源分布的区域，所以有45一、的级数展开式多元函数和处的值可以在展开为级数，即4647其中，…...。现在假设令那么有代入式4849有如果将简写为，即定义50那么可得51这样就得到了在处的展开式。二.的展开式其中52相当于将内所有电荷的总量集中在原点处后,在空间产生的电位.称为的零级电位称为内分布电荷的偶极矩称为的一级电位,它是内分布电荷的偶极子势53依此类推:称为的二级电位,它是内分布电荷的四极子势称为的n级电位,它是内分布电荷的极子势54显然:三.电位多极子展开式的物理意义远离电荷分布区域的空间中,当时物理上,说明分布在有限区域中的电荷系统在远离系统的空间中产生的场是由点电荷场和各种多极子场构成的.55与多极子展开式对照,可知:………