三角函数与解三角形专刊资料检查检验测试及其解答

|三角函数、解三角形专题测试(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)感谢阅读17π17π1．cos(－4)－sin(－4)的值是()A.2B．－2C．0D.22ππ解析：原式＝cos(－4π－4)－sin(－4π－4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.答案：A2m－5m2．已知sinα＝m＋1，cosα＝－m＋1，且α为第二象限角，则m的允许值为()553A.2＜m＜6B．－6＜m＜2C．m＝4D．m＝4或m＝2解析：由sin2α＋cos2α＝1得，(2m－5)2＋(－m )2＝1，感谢阅读m＋1 m＋1∴m＝4或32，又sinα＞0，cosα＜0，把m的值代入检验得，感谢阅读m＝4.答案：Cπ33．已知sin(x＋4)＝－5，则sin2x的值等于()771818A．－25B.25C．－25D.25π23解析：sin(x＋4)＝2(sinx＋cosx)＝－5，所以sinx＋cosx＝－352，所以(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x＝1825，故sin2x＝－257.精品文档放心下载答案：A|4．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是()a＋b2a＋b2A．a＜2B．a＜b＜22＜b2a＋b2a＋bC．b＜2D．b＜a＜222＜a2解析：a＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°，感谢阅读b＝2sin(17°＋45°)＝2sin62°，b＞a.谢谢阅读a2＋b22 ＝sin260°＋sin262°＞2sin60°sin62°＝ 3sin62°，精品文档放心下载a2＋b2∴2＞b＞a.答案：B5．(2010·惠州模拟)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y精品文档放心下载π＝sin(x－6)的图象，则φ等于()π11π7π5πA.6B.6C.6D.6解析：依题意得y＝sin(x－π6)＝sin(x－π6＋2π)＝sin(x＋116π)，将y＝sinx的图象向左平谢谢阅读移11π个单位后得到y＝sin(x＋11π)的图象，即y＝sin(x－π)的图象．666答案：B6．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：cosA＝sin(π2－A)＞sinB，π2－A，B都是锐角，则π2－A＞B，A＋B＜π2，C＞π2.感谢阅读答案：Cπ7．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝3对称．则下列四个函数中，同感谢阅读时具有性质①②的是 ( )x π πA．y＝sin(2＋6) B．y＝sin(2x＋6)精品文档放心下载πC．y＝sin|x| D．y＝sin(2x－6)解析：∵T＝2ωπ＝π，∴ω＝2.对于选项D，又2×π3－π6＝π2，所以x＝π3为对称轴．精品文档放心下载答案：D|18．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为3，则其外接圆的半径为(谢谢阅读

)A.922

B.924

C.928

D．92解析：由余弦定理得：三角形第三边长为22＋32－2×2×3×13＝3，且第三边所对角的正弦值为 1 (13)2＝232，精品文档放心下载所以2R＝232⇒R＝982.3答案：C9．在△ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的 ( )感谢阅读A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：a＝b⇒A＝B⇒acosA＝bcosB，条件是充分的；acosA＝bcosB⇒sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，故条件是不必要的．感谢阅读答案：Aπ10．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝12，则a的值为谢谢阅读()13D．2A.2B.3C.3解析：函数y＝sinx的对称轴方程为x＝kπ＋π，k∈Z，f(x)＝a2＋1sin(2x＋φ)，其中2tanφ＝1a，故函数f(x)的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，而x＝12π是其一条对称感谢阅读轴方程，所以2×12π＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝kπ＋π3，k∈Z，故tanφ＝1a＝tan(kπ感谢阅读＋π3)＝3，所以a＝33.答案：C11．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析谢谢阅读式可能为 ( )|πA．f(x)＝2cos(2－3)πB．f(x)＝2cos(4x＋4)πC．f(x)＝2sin(2－6)πD．f(x)＝2sin(4x＋4)解析：设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，由函数的最大值为2知A＝2，又由函数图象知该感谢阅读函数的周期T＝4×(53π－23π)＝4π，所以ω＝12，将点(0,1)代入得φ＝π6，所以f(x)＝2sin(12谢谢阅读π1πx＋6)＝2cos(2x－3)．答案：Aπ1＋cos2x＋8sinx12．(2010·抚顺模拟)当0＜x＜2时，函数f(x)＝2的最小值为()sin2xA．2B．23C．4D．431＋cos2x＋8sinx2cosx＋8sinxcosx4sinxcosx4sinx222＝4，解析：f(x)＝sin2x＝2sinxcosx＝sinx＋cosx≥2sinx·cosx当且仅当cossinxx＝4sincosxx，即tanx＝12时，取“＝”，∵0＜x＜π2，∴存在x使tanx＝12，谢谢阅读这时f(x)min＝4.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上)精品文档放心下载13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，C＝75°，a＝4，感谢阅读b＝________.解析：易知A＝45°，由正弦定理sinaA＝sinbB得sin45°4＝sin60°b，解得b＝26.感谢阅读答案：2614．计算：cos10°＋ 3sin10°＝________.感谢阅读1－cos80°cos10°＋3sin10°＝2cos(10°－60°)＝2cos50°＝2.精品文档放心下载解析：1－cos80° 2sin240° 2sin40°答案：215．在△ABC中，已知tanA＝3tanB，则tan(A－B)的最大值为________，此时角A的感谢阅读大小为________．|tanA－tanB＝3tanB－tanB＝2tanB≤3.当且仅当1解析：由于tan(A－B)＝1＋3tanB·tanB323tanB时取“＝”号，则tanB＝33⇒tanA＝3⇒A＝60°.感谢阅读3答案：3 60°16．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，x∈R的部分图象，则下感谢阅读列命题中，正确命题的序号为________．π①函数f(x)的最小正周期为2；②函数f(x)的振幅为23；7π③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝12；π 7π④函数f(x)的单调递增区间为[12，12]；2π⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－3)．谢谢阅读解析：由图象可知，函数f(x)的最小正周期为(5π－π)×2＝π，故①不正确；函数f(x)635π＋π的振幅为 3，故②不正确；函数f(x)的一条对称轴方程为x＝623＝712π，故③正确；精品文档放心下载④不全面，函数f(x)的单调递增区间应为[12π＋2kπ，712π＋2kπ]，k∈Z；由3sin(2×712π感谢阅读＋φ)＝3得2×712π＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－23π，k∈Z，∵－π＜φ＜π，故精品文档放心下载k取0，从而φ＝－23π，故f(x)＝3sin(2x－23π)．谢谢阅读答案：③⑤三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)精品文档放心下载π π17．(本小题满分12分)已知tan(α＋4)＝－3，α∈(0，2)．感谢阅读(1)求tanα的值；π(2)求sin(2α－3)的值．解：(1)由tan(α＋π)＝－3可得tanα＋1＝－3.感谢阅读4 1－tanα|解得tanα＝2.(2)由tanα＝2，α∈(0，π2)，可得sinα＝255，cosα＝55.因此sin2α＝2sinαcosα＝45，精品文档放心下载cos2α＝1－2sin2α＝－35，sin(2α－π3)＝sin2αcosπ3－cos2αsinπ3＝45×12＋35×23＝谢谢阅读4＋3 310 .18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋ 3(2cos2x－1)．精品文档放心下载π(1)将函数f(x)化为Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜2)的形式，填写下表，并画出函数f(x)在谢谢阅读1 5区间[－6π，6π]上的图象；xπ 3ωx＋φ 0 2 π 2π 2πf(x)(2)求函数f(x)的单调减区间．解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋ 3(2cos2x－1)谢谢阅读＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin(2x＋π3).谢谢阅读x－πππ7π5π6123126ωx＋φ0ππ32π22πf(x)020－20图．|π π 3π(2)由2kπ＋2≤2x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)得精品文档放心下载π 7πkπ＋12≤x≤kπ＋12(k∈Z)，故函数f(x)的单调减区间为[kπ＋12π，kπ＋712π](k∈Z)．谢谢阅读π π19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcos(2－x)－ 3sin(π＋x)cosx＋sin(2＋x)cosx.感谢阅读(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；(2)指出y＝f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称．感谢阅读解：(1)f(x)＝2sin2x＋ 3sinxcosx＋cos2x谢谢阅读＝1＋sin2x＋ 3sinxcosx＝1＋1－cos22x＋23sin2x＝sin(2x－π6)＋32，y＝f(x)最小正周期T＝π.y＝f(x)的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.谢谢阅读(2)∵y＝32＋sin(2x－π6)的图象左移个单位12y＝sin2x的图象．下移32个单位A＋C20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos 2 ＝感谢阅读(1)求cosB的值；uuuruuuruuur(2)若BCBA·BC＝2，b＝2 2，求a和c的值．精品文档放心下载解：(1)∵cosA＋2C＝33，

33.|∴sinB2＝sin(π2－A＋2C)＝33，∴cosB＝1－2sin2B2＝13.uuuruuur＝2可得a·c·cosB＝2，又cosB＝1，故ac＝6，(2)由BA·BC3b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12，感谢阅读∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝ 6.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船由A岛出发向北偏东感谢阅读45°的方向做匀速直线航行，速度为15 2海里/小时，在甲谢谢阅读船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛谢谢阅读1出发，朝北偏东θ(tanθ＝2)的方向作匀速直线航行，速度感谢阅读为10 5海里/小时．(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？感谢阅读解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示谢谢阅读的平面直角坐标系．设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)．感谢阅读x1＝152tcos45°＝15t则 ，y1＝x1＝15ttanθ＝12可得，cosθ＝255，sinθ＝55，x＝105tsinθ＝10t，故2(1)令t＝3，P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，谢谢阅读|PQ|＝ (45－30)2＋(45－20)2＝ 850＝534.感谢阅读即出发后3小时两船相距5 34海里．(2)由(1)的解法过程易知：||PQ|＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2(10t－15t)2＋(20t－40－15t)250