江苏省常州市溧阳南渡中学高三数学理测试题含解析

江苏省常州市溧阳南渡中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x2+m与函数的图象上至少存在一对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．[2﹣ln2，2]参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】由已知，得到方程m=﹣lnx+3x﹣x2在[，2]上有解，构造函数f（x）=﹣lnx+3x﹣x2，求出它的值域，得到m的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程x2+m=ln+3x?m=﹣lnx+3x﹣x2在[，2]上有解．设f（x）=﹣lnx+3x﹣x2，求导得：f′（x）=﹣+3﹣2x=﹣=﹣，∵≤x≤2，令f′（x）=0，解得x=或x=1，当f′（x）＞0时，＜x＜1函数单调递增，当f′（x）＜0时，1＜x＜2函数单调减，∴在x=1有唯一的极值点，∵f（）=ln2+，f（2）=﹣ln2+2，f（x）极大值=f（1）=2，且知f（2）＜f（），故方程m=﹣lnx+3x﹣x2在[，2]上有解等价于2﹣ln2≤m≤2．从而m的取值范围为[2﹣ln2，2]．故选：D．2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）

A.

B.

C.

D.参考答案：D3.下列函数中，与函数

有相同定义域的是（

）A.

B．

C．

D．参考答案：A4.对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.例如，数组中有逆序“”，“”，“”，“”，其“逆序数”等于.若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是，则的“逆序数”是A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：A5.对于函数，下列命题中正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.在一次贵州省八所中学联合考试后，汇总了3766名理科考生的数学成绩，用表示，我们将不低于120的考分叫“红分”，将这些数据按右图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3766名考生的．平均分

．“红分”人数

．“红分”率

．“红分”人数与非“红分”人数的比值参考答案：依题意，输出的为红分人数，为红分率．7.若，则的取值范围是

(

）A．（0，1）

B．（0，）C．（，1）

D．（0，1）∪（1，+∞）参考答案：C8.已知，则（

）A.7

B.-7

C.

D.参考答案：D9.若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为

（）A．24

B．48

C．144

D．288参考答案：10.的内角的对边分别是，若，，，则(A)

(B)2

(C)

(D)1参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行如图程序框图，如果输入的依次为3，5，3，5，5，4，4，3，4，4，则输出的s为．参考答案：4考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．分析：框图的功能是求数据3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均数，利用平均数公式计算可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求数据3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均数，∴输出的S==4．故答案为：4．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12.的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则

.参考答案：13.化简： 参考答案：略14.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为

▲

．参考答案：【知识点】一元二次不等式的解法．E3

【答案解析】

解析：令f（x）=x2+ax﹣2，则f（0）=﹣2，①顶点横坐标≤0，要使关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则应满足f（5）＞0，解得；②时，要使关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，也应满足f（5）＞0，解得．综上可知：实数a的取值范围是．故答案为：．【思路点拨】令f（x）=x2+ax﹣2，则f（0）=﹣2，无论顶点横坐标≤0，还是时，要使关于要使关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则应满足f（5）＞0，解出即可．15.下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为________．参考答案：116.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积___________.参考答案：略17.在中，三边所对的角分别为、、，若，，，则

。参考答案：1根据余弦定理得，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：PM2.5[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（x）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.322.072.703.745.026.637.8710.828，其中n=a+b+c+d．

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100参考答案：【分析】（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得：（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜w≤250，频数为39，，（3）根据以上数据得到如下列联表：

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100K2的观测值，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．【点评】本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．19.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=4、c=5，求sinB．参考答案：考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用诱导公式化简已知表达式，利用正弦定理与余弦定理求出coaA的值，然后求角A的大小；（Ⅱ）利用b=4、c=5，通过余弦定理求出a的值，利用正弦定理求sinB的值．解答：解析：（Ⅰ）∵，∴sin2B+sin2C﹣sin2A=sinBsinC，（2分）由正弦定理得b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理得，（4分）∵0＜A＜π，∴．（6分）（Ⅱ）∵a2=b2+c2﹣2bccosA=，∴，由得，解得．（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．20.设Sn为数列{an}的前n项和，且S3=7，a1+3，a3+4的等差中项为3a2．（1）求a2；（2）若{an}是等比数列，求an．参考答案：【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）利用已知条件建立方程组，求解健康得答案；（2）设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得首项与公比，即可求得数列{an}的通项公式．【解答】解：（1）由已知得：，解得a2=2；（2）设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得．又S3=7，可知+2+2q=7，∴2q2﹣5q+2=0，解得，q2=2．①若，∴a1=4，则．②若q2=2，∴a1=1，则．21.正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．参考答案：证明：（1）正方形ABCD中，，又平面CDE，平面CDE，

所以平面CDE．

（2）因为，且，

所以，

又且，，

所以，又，

所以．略22.已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，（1）若关于x的不等式f（x）＞|1﹣3a|恒成立，求实数a的取值范围；（2）若关于t的一元二次方程有实根，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用绝对值的几何意义求出|2x+1|+|2x﹣3|的最小值，得到a的不等式求解即可．（2）通过△≥0，