广西壮族自治区玉林市第十一中学2022-2023学年高三数学理上学期摸底试题含解析

广西壮族自治区玉林市第十一中学2022-2023学年高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点是双曲线的右焦点,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点F和另一个点P,且点P在抛物线上,则该双曲线的离心率是()A.

B.

C.

D.参考答案：D2.设集合，，则（A） （B）

（C）

（D）参考答案：【答案解析】A

解析：,,选A【思路点拨】先化简集合M、N,然后再求.3.如图，矩形ABCD的周长为8，设AB=x（1≤x≤3），线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN=1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】3O：函数的图象．【分析】作x=1时的矩形图，从而可得y=f（1）=1×3﹣π×（）2=3﹣，从而求得．【解答】解：当x=1时，，其中小圆的半径都是，故y=f（1）=1×3﹣π×（）2=3﹣，易知2＜3﹣＜3，故排除A，B，C；故选D．4.在Rt△ABC中，，点D在斜边AC上，且，E为BD的中点，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，且直角边为2，斜边为，所以转化为、、之间的关系即可。【详解】在中，因为，所以。因为。所以、、【点睛】本题考查了向量平行四边形法则。勾股定理的应用，平面向量的基本定理，向量的夹角，其中容易忽略的是向量的夹角（共起点）5.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A6.已知定义在实数集上的函数满足,且的导函数在上恒有的解集为(

)A．

B．

C.

D.参考答案：A7.已知a，b∈R，函数f（x）=tanx在x=﹣处与直线y=ax+b+相切，设g（x）=﹣bxlnx+a在定义域内（） A．极大值 B． 有极小值 C． 有极大值2﹣ D． 有极小值2﹣参考答案：考点： 正切函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 先求出f′（x）=，再由条件根据导数的几何意义可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入切线方程求得b，可得g（x）解析式．再根据g′（x）的符号，求出g（x）的单调区间，从而求得g（x）的极值．解答： 解：由函数f（x）=tanx，可得f′（x）=．再根据函数f（x）=tanx在x=﹣处与直线y=ax+b+相切，可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入直线y=ax+b+，可得b=﹣1，∴g（x）=xlnx+1，g′（x）=lnx+1．令g′（x）=lnx+1=0，求得x=，在（0，）上，g′（x）＜0，在（，+∞）上，g′（x）＞0，故g（x）在其定义域（0，+∞）上存在最小值为g（）=2﹣，故选：D．点评： 本题主要考查函数在某处的导数的几何意义，利用导数求函数的极值，属于基础题．8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距，球的半径为，则所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（

）A.① B.②③ C.①② D.①②③参考答案：C【分析】设圆柱的底面半径为，根据题意分别求得，，，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为，根据题意可得椭圆的短轴长为，即，长轴长为，即，在直角中，可得，即，又由，即，所以，又因为椭圆中，所以，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由，可得，又由球的半径为，即，在直角中，，由①可知，即，所以，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得，，所以椭圆的离心率为，所以当当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9.已知函数为偶函数，则的一个取值为（

）

A.

0

B.

C.

D.

参考答案：B略10.把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象，已知函数，则当函数有4个零点时的取值集合为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得即f（x）=．当时，可得2x﹣∈[﹣2π，2a-，若f（x）=sin（2x﹣）有4个零点，则f（x）=3x2﹣2x﹣1在（a，]上没有零点，则，即a取值范围是[，）．若f（x）=sin（2x﹣）有3个零点，则f（x）=3x2﹣2x﹣1在（a，]上有1个零点，则，即a取值范围是[，1）．若f（x）=sin（2x﹣）有2个零点，则f（x）=3x2﹣2x﹣1在（a，]上有2个零点，则，即a取值范围是[﹣，）．综上可得a取值范围是[﹣，）∪[，1）∪[，）．故答案为：B

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.是偶函数，且在上是增函数，如果时，不等式恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：[-2,0]12.某中学采用系统抽样的方法从该校2014-2015学年高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k==16．若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是

．参考答案：39考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义进行求解．解答： 解：∵样本间隔k=16，若从1～16中随机抽取1个数的结果是抽到了7，∴抽取的号码数为7+16x，当x=2时，7+16×2=39，即在编号为33～48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该39，故答案为：39点评：本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．13.已知函数f(x)为偶函数，且，则=_________.参考答案：16略14.若向量，，则与夹角余弦值等于_____________．参考答案：15.已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱,,分别交于三点,,,若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为

参考答案：建立空间直角坐标系,设当且仅当时取等号.16.若不等式t2+at+1≥0对恒成立，实数a的最小值是

．参考答案：﹣考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：因为函数对恒成立，分离参数a，利用均值不等式即可求出最小值．解答： 解：若不等式t2+at+1≥0对恒成立，则at≥﹣t2﹣1，所以，∵，当且仅当t=2时取等号．但是，所以根据函数得单调性，当t=时取最小值．所以a的最小值为﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查函数恒成立问题，利用均值不等式时取不到等号，要利用单调性来处理问题的方法，属于中档题．17.函数的递减区间是

.参考答案：（0，1）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）不等式即﹣a|﹣a|≥1，故有a＜0，且a2≥1，解不等式组求a的取值范围．（2）分类讨论，去掉绝对值，转化为二次函数的最小值问题，借助二次函数的对称轴及单调性．解：（1）若f（0）≥1，则：．（2）当x≥a时，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴，如图所示：当x≤a时，f（x）=x2+2ax﹣a2，∴．综上所述：．【点评】本题考查取绝对值的方法，二次函数在区间上的最小值的求法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想．19.已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导，令f′（x）=0，解得x1、x2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；（Ⅱ）a＞1，由函数单调性可知，f（x）在x=1取极大值，也为最大值，f（x）max=a﹣1，因此（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），构造辅助函数g（a）=，求导，求出g（a）的单调区间及最大值，＜=3，可知g（a）＜3，ea﹣3＞0，即可证明（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx，x＞0当a=0时，数f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当a≠0，则f′（x）=﹣ax+（a﹣1）+=，令f′（x）=0，解得x1=1，x2=﹣，当﹣＞1，解得﹣1＜a＜0，∴﹣1＜a＜0，f′（x）＞0的解集为（0，1），（﹣，+∞），f′（x）＜0的解集为（1，﹣），∴函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；当﹣＜1，解得a＞0，∴a＞0，f′（x）＞0的解集为（0，1），f′（x）＜0的解集为（1，+∞）；∴当a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；综上可知：﹣1＜a＜0，函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；a≥0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；（Ⅱ）证明：∵a＞1，故由（Ⅰ）可知函数f（x）的单调递增区间为（0，1）单调递减区间为（1，+∞），∴f（x）在x=1时取最大值，并且也是最大值，即f（x）max=a﹣1，又∵2a﹣1＞0，∴（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），设g（a）=，g′（a）=﹣=﹣，∴g（a）的单调增区间为（2，），单调减区间为（，+∞），∴g（a）≤g（）==，∵2＞3，∴＜=3，∴g（a）＜3，ea﹣3＞0，∴（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．【点评】本题考查导数的运用，利用导数法求函数的极值及单调性区间，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，正确构造函数，求导数是关键，属于中档题．20.已知函数，.若函数依次在处取到极值.（1）求的取值范围；（2）若，求的值.参考答案：（1）①②略21.(本小题满分14分)已知函数．（Ⅰ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值．参考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）.

试题解析：解：（Ⅰ）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，①当时，（*）显然成立，此时；

………2分②当时，（*）可变形为，令因为当时，，当时，，

………4分所以，故此时.综合①②，得所求实数的取值范围是.

………6分（Ⅱ）

………7分①当时，即，此时，②当时，即，此时③当时，即，此时④当时，即，此时综上：.