第二类曲面积分

第十章第五节机动目录上页下页返回结束第二类曲面积分二、第二类曲面积分的概念与性质一、有向曲面三、第二类曲面积分的计算.一、有向曲面观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧机动目录上页下页返回结束.曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.典型双侧曲面机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:播放机动目录上页下页返回结束.定义：用曲面法向量的指向规定曲面的侧，规定了侧的曲面称为有向曲面。机动目录上页下页返回结束.曲面侧的具体规定如下：机动目录上页下页返回结束.机动目录上页下页返回结束.二、第二类曲面积分引例:流体流向曲面一侧的流量.机动目录上页下页返回结束.机动目录上页下页返回结束解：利用微元法分割、近似、求和、取极限.则该点流速为单位法向量为.机动目录上页下页返回结束1.分割.3.求和机动目录上页下页返回结束2.近似则该点流速为：.3.取极限机动目录上页下页返回结束.第二类曲面积分的定义：机动目录上页下页返回结束.机动目录上页下页返回结束.——两类曲面积分之间的关系机动目录上页下页返回结束则则.称为Q

在有向曲面上对

z,x

的曲面积分;称为R

在有向曲面上对x,y

的曲面积分.称为P

在有向曲面上对y,z

的曲面积分;机动目录上页下页返回结束——第二类曲面积分的坐标表示其中：.第二类曲面积分存在的必要条件:机动目录上页下页返回结束说明：.基本性质：（1）线性性质：机动目录上页下页返回结束.机动目录上页下页返回结束解：.机动目录上页下页返回结束解：.三、第二类曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束.机动目录上页下页返回结束.机动目录上页下页返回结束则.机动目录上页下页返回结束合一投影法.机动目录上页下页返回结束合一投影法.机动目录上页下页返回结束合一投影法.

•

若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:机动目录上页下页返回结束

•

若则有(上正下负)分面投影法.机动目录上页下页返回结束解:合一投影法.机动目录上页下页返回结束合一投影法.机动目录上页下页返回结束解1:关于y是奇函数.例5：解1机动目录上页下页返回结束合一投影法.解2利用两类曲面积分之间的关系机动目录上页下页返回结束例5：.解:机动目录上页下页返回结束根据对称性

思考:

下述解法是否正确:注意：第二类曲面积分没有奇偶对称性！.机动目录上页下页返回结束.说明：机动目录上页下页返回结束.机动目录上页下页返回结束..机动目录上页下页返回结束解:同理：

所以：原式分面投影法.例8：

求取外侧.解1:注意±号其中机动目录上页下页返回结束分面投影法.类似的机动目录上页下页返回结束向yoz平面投影向zox平面投影分面投影法.例8：

求取外侧.解2:其中机动目录上页下页返回结束椭球面的参数方程.机动目录上页下页返回结束.机动目录上页下页返回结束解2:.机动目录上页下页返回结束奇函数.四、内容小结定义:机动目录上页下页返回结束联系:.则机动目录上页下页返回结束1.合一投影法计算:其它情况类似。.时，（上侧取“+”,下侧取“”)机动目录上页下页返回结束当2.分面投影法其它情况类似。注意：

在第二类曲面积分中，由于积分与曲面的侧有关，因此要慎用对称性。一般的讲，应在曲面积分化为二重积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。.作业习题9-5(P288)2，5，6，7，9机动目录上页下页返回结束.解：机动目录上页下页返回结束合一投影法备用题.机动目录上页下页返回结束关于x是奇函数.机动目录上页下页返回结束解1:.机动目录上页下页返回结束解2:.3、设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解1:机动目录上页下页返回结束.机动目录上页下页返回结束.3、设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解2:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌斯带典型单侧曲面:机动目录上页下页返回结束.莫比乌