浙江省温州市瑞安龙翔中学高三数学理上学期摸底试题含解析

浙江省温州市瑞安龙翔中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则等于(

)

A．

B．

C.

D.参考答案：D略2.若直线和曲线的图象交于，，三点时，曲线在点、点处的切线总是平行的，则过点可作曲线的（

）条切线.A．0

B．1

C.2

D．3参考答案：C3.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数

（

）

参考答案：C4.设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(

)A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．5.已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（

）A、11

B、10

C、9

D、8参考答案：B6.函数f（x）=sinx－lgx的零点有个数为（

）

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略7.以下给出的是计算的值的一个程序框图（如图所示），其中判断框内应填入的条件是（

）A．i>10

B．i<10

C．i<20

D．I>20参考答案：A8.已知数列的前n项和，若，则n的值等于

（

）A．5

B．4

C．3

D．2参考答案：A9.如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．参考答案：D取的中点，连接，，，设，则，，所以，连接，，因为，所以异面直线与所成角即为，在中，，故选D．10.（5分）（2015?陕西一模）设集合A={x|y=lg（3﹣2x）}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．B．（﹣∞，1]C．D．参考答案：【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．解：由A中y=lg（3﹣2x），得到3﹣2x＞0，解得：x＜，即A=（﹣∞，），由B中y=，得到1﹣x≥0，即x≤1，∴B=（﹣∞，1]，则A∩B=（﹣∞，1]．故选：B．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若，则的取值范围是______.参考答案：【分析】求得时的导数，可得单调性和极值，画出的图象，可得，再由二次函数的单调性，可得所求范围．【详解】由的导数为，当，函数递减；当时，可得函数递增，即有处函数取得极大值，作出函数的图象，可得，由，可得，且在递减，即有时，；时，，可得的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查分段函数的图象和应用：求范围，考查导数的运用：求单调性和极值，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．12.设随机变量的概率分布列如下表所示：其中成等差数列，若随机变量的均值为，则的方差为

.参考答案：5/913.已知

.参考答案：14.在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，则＜的概率为 参考答案：15.（5分）（2015?泰州一模）函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．参考答案：【考点】：三角函数的周期性及其求法．【专题】：计算题．【分析】：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：【点评】：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．16.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值

．参考答案：考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．解答：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=｜cos＜＞｜=｜｜=，∴sinθ==．故答案为：．点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．17.已知不共线向量，，||=||=|﹣|，则+与的夹角是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的三角形法则，结合向量的几何意义，画图即可得到答案．【解答】解：如图，∵不共线向量，，满足||=||=|﹣|，∴以，为邻边的平行四边形为菱形，且∠BAC=，则与的夹角为∠BAD=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分16分）已知函数函数.（1）当时，求证：在上单调递增；（2）若函数有三个零点，求的值；（3）若存在，使得，试求的取值范围.参考答案：19.已知数列满足，满足

，证明：参考答案：证明：记，则.

而.

……………（5分）

因为，所以.

…（10分）

从而有

.

（1）

又因为，所以，

即.

从而有

.（2）…（15分）

由（1）和（2）即得

.综合得到

.

左边不等式的等号成立当且仅当n=1时成立.

………（20分）20.（14分）（2012?包头三模）设函数f（x）=xex，g（x）=ax2+x（I）若f（x）与g（x）具有完全相同的单调区间，求a的值；（Ⅱ）若当x≥0时恒有f（x）≥g（x），求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（I）求f（x）的导数，可得单调区间，由极值点可得a值，可验证符合题意；（Ⅱ）可转化为f（x）﹣g（x）=x（ex﹣ax﹣1）≥0恒成立，令F（x）=ex﹣ax﹣1，可得导数F′（x）=ex﹣a，对a进行分类讨论可得结论．解答：（I）∵f（x）=xex，∴f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，…（2分）当x＜﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）内单调递减；当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）内单调递增…（4分）又g′（x）=2ax+1，由g′（﹣1）=﹣2a+1=0，得a=，此时g（x）=x2+x=，显然g（x）在（﹣∞，﹣1）内单调递减，在（﹣1，+∞）内单调递增，故a=．…（6分）（II）当x≥0时恒有f（x）≥g（x），即f（x）﹣g（x）=x（ex﹣ax﹣1）≥0恒成立．…（7分）故只需F（x）=ex﹣ax﹣1≥0恒成立，对F（x）求导数可得F′（x）=ex﹣a．…（8分）∵x≥0，∴F′（x）=ex﹣a，若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，从而当x≥0时，F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）；…（10分）若a＞1，则当x∈（0，lna）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，从而当x∈（0，lna）时，F（x）＜F（0）=0，即f（x）＜g（x），故f（x）≥g（x）不恒成立．故a的取值范围为：a≤1﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查函数和导数的综合应用，涉及恒成立问题和分类讨论的思想，属中档题．21.已知函数.(1)若函数有且只有一个零点，求实数的值；(2)证明：当时，.参考答案：：(1)方法1：，，时，；时，；时，；∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵有且只有一个零点，故，∴.方法2：由题意知方程仅有一实根，由得()，令，，时，；时，；时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，所以要使仅有一个零点，则.方法3：函数有且只有一个零点即为直线与曲线相切，设切点为，由得，∴，∴，所以实数的值为1.(2)由(1)知，即当且仅当时取等号，∵，令得，，，即.22.已知函数f（x）=Acos（ωx+?）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．参考答案：

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的图像与性质