动态电路的时域分析

动态电路的时域分析第1页，课件共110页，创作于2023年2月含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。特点：1.动态电路

7.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti过渡期为零电阻电路第2页，课件共110页，创作于2023年2月K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi

(t→)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?i有一过渡期电容电路第3页，课件共110页，创作于2023年2月K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态前一个稳定状态过渡状态第二个稳定状态t1USuct0i有一过渡期第三个稳定状态+–uCUsRCi

(t<t2)K+–uCRCi

(t=

t2)第4页，课件共110页，创作于2023年2月K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?UL有一过渡期K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→)电感电路第5页，课件共110页，创作于2023年2月K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=uL=0,i=Us/RK断开瞬间K+–uLUsRLi+–uLUsRLi

(t→)注意工程实际中的过电压过电流现象第6页，课件共110页，创作于2023年2月过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件

L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化第7页，课件共110页，创作于2023年2月应用KVL和电容的VCR得：若以电流为变量：+–uCus（t）RCi

(t>0)2.动态电路的方程第8页，课件共110页，创作于2023年2月+–uLus（t）RLi

(t>0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：第9页，课件共110页，创作于2023年2月+–uLuS（t）RLi

(t>0)CuC＋－＋－二阶电路若以电流为变量：第10页，课件共110页，创作于2023年2月一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。第11页，课件共110页，创作于2023年2月高阶电路电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。动态电路的分析方法（1）根据KVL、KCL和VCR建立微分方程第12页，课件共110页，创作于2023年2月复频域分析法时域分析法（2）求解微分方程经典法状态变量法数值法卷积积分拉普拉斯变换法状态变量法付氏变换本章采用工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。第13页，课件共110页，创作于2023年2月稳态分析和动态分析的区别稳态动态换路发生很长时间后状态微分方程的特解恒定或周期性激励换路发生后的整个过程微分方程的一般解任意激励第14页，课件共110页，创作于2023年2月

(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件定义：初始条件为t=0＋时u，i

及其各阶导数的值0－0＋0tf(t)第15页，课件共110页，创作于2023年2月图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例R－+CiuC(t=0)解特征根方程：得通解：代入初始条件得：说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。第16页，课件共110页，创作于2023年2月t=0+时刻当i()为有限值时iucC+-q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。

(2)电容的初始条件0q

=CuC电荷守恒结论第17页，课件共110页，创作于2023年2月当u为有限值时L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)iuL+-L

(3)电感的初始条件t=0+时刻0磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论第18页，课件共110页，创作于2023年2月L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)（4）换路定则（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定则反映了能量不能跃变。第19页，课件共110页，创作于2023年2月5.电路初始值的确定求初始值的步骤:1.由换路前的稳态电路（0－等效电路）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定则得uC(0+)

和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。第20页，课件共110页，创作于2023年2月0+时刻0－时刻与0+时刻电路元件的等效模型RRC+－U0C+－0－时刻第21页，课件共110页，创作于2023年2月0+时刻0－时刻LLI0第22页，课件共110页，创作于2023年2月(2)由换路定则uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路(1)由0－电路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)iC(0－-)=0iC(0+)例1求iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k电容开路电容用电压源替代第23页，课件共110页，创作于2023年2月iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0时闭合开关k,求uL(0+)iL+uL-L10VK14+uL-10V140+电路2A先求由换路定则:电感用电流源替代10V14解电感短路第24页，课件共110页，创作于2023年2月iL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RISuL(0+)=-RIS求iC(0+),uL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解0+电路uL+–iCRISRIS+–0－电路RIS由0－电路得：由0＋电路得：第25页，课件共110页，创作于2023年2月例4iL+uL-LK2+-48V32C求K闭合瞬间各支路电流和电感电压解由0－电路得：12A24V+-48V32+-iiC+-uL由0+电路得：iL2+-48V32+－uC第26页，课件共110页，创作于2023年2月例5求K闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100100C－解（1）确定0－值（2）给出0＋等效电路1A+200V-100+100V100100－+uL－iC第27页，课件共110页，创作于2023年2月7.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.

RC电路的零输入响应已知uC

(0－)=U0特征根特征方程RCp+1=0则

uR=Ri零输入响应iK(t=0)+–uRC+–uCR第28页，课件共110页，创作于2023年2月代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0第29页，课件共110页，创作于2023年2月tU0uC0I0ti0令=RC,称为一阶电路的时间常数（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；第30页，课件共110页，创作于2023年2月时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=RC大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短电压初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuc0小大C大（R一定）

W=Cu2/2

储能大物理含义注意：中的R是从C两端看进去的戴维南等效电阻第31页，课件共110页，创作于2023年2月工程上认为,经过3－5,过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。＝t2－t1

t1时刻曲线的斜率等于I0tuc0t1t2U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

次切距的长度第32页，课件共110页，创作于2023年2月（3）能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C第33页，课件共110页，创作于2023年2月例已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：i3K3+uC265F－i2i1+uC45F－i1t>0等效电路分流得：第34页，课件共110页，创作于2023年2月2.

RL电路的零输入响应特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR第35页，课件共110页，创作于2023年2月-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；第36页，课件共110页，创作于2023年2月令=L/R

,称为一阶RL电路时间常数L大W=Li2/2起始能量大R小

P=Ri2放电过程消耗能量小放电慢大大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短物理含义时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短

=L/R电流初值i(0)一定：注意：中的R是从L两端看进去的戴维南等效电阻第37页，课件共110页，创作于2023年2月（3）能量关系电感不断释放能量被电阻吸收,

直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电感放出能量：电阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR第38页，课件共110页，创作于2023年2月iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V造成V损坏。例1t=0时,打开开关K，求uv。现象：电压表坏了电压表量程：50V解iLLR10ViLK(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10V第39页，课件共110页，创作于2023年2月例2t=0时,开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。解iLK(t=0)+–24V6H3446+－uL212t>0iL+–uLR第40页，课件共110页，创作于2023年2月小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

RC电路=RC

,

RL电路=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的戴维南等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路第41页，课件共110页，创作于2023年2月动态元件初始能量为零，由t>0电路中外加输入激励作用所产生的响应。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=07.3一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程解答形式为：1.

RC电路的零状态响应零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解第42页，课件共110页，创作于2023年2月与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=0

A=－

US由初始条件uC

(0+)=0

定积分常数A的通解通解（自由分量，暂态分量）特解（强制分量，稳态分量）的特解第43页，课件共110页，创作于2023年2月-USuC‘uC“USti0tuc0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）+第44页，课件共110页，创作于2023年2月（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。（注意：中的R是从C两端看进去的戴维南等效电阻）（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。第45页，课件共110页，创作于2023年2月例t=0时,开关K闭合，已知

uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。解50010F+-100VK+－uCi(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：（2）设经过t1秒，uC＝80V第46页，课件共110页，创作于2023年2月2.RL电路的零状态响应iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，电路方程为：tuLUStiL00第47页，课件共110页，创作于2023年2月例1t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的变化规律。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReqt>0注意：中的R是从L两端看进去的戴维南等效电阻第48页，课件共110页，创作于2023年2月例2t=0时,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压。解这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：iLK+–uL2H102A105+–ut>0iL+–uL2HUSReq+－第49页，课件共110页，创作于2023年2月3.正弦激励下电路的零状态响应在如图的RC电路中，t>0时电路中外加输入激励为正弦电压iK(t=0)+–uRC+–uCR电路方程为其特解满足其通解满足第50页，课件共110页，创作于2023年2月可求得在零状态情况下，，所以第51页，课件共110页，创作于2023年2月7.4一阶电路的全响应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答为uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC电路为例，电路微分方程：=RC1.全响应全响应稳态解uC'=US暂态解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A第52页，课件共110页，创作于2023年2月2.全响应的两种分解方式强制分量(稳态解)自由分量(暂态解)uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uc全解tuc0全响应

=

强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)（1）着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰第53页，课件共110页，创作于2023年2月iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0－)=0+uC(0－)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR全响应=

零状态响应

+零输入响应零状态响应零输入响应(2)着眼于因果关系便于叠加计算第54页，课件共110页，创作于2023年2月零状态响应零输入响应tuc0US零状态响应全响应零输入响应U0第55页，课件共110页，创作于2023年2月例1t=0时,开关K打开，求t>0后的iL、uL解这是一个RL电路全响应问题，有：iLK(t=0)+–24V0.6H4+－uL8零输入响应：零状态响应：全响应：第56页，课件共110页，创作于2023年2月或求出稳态分量：全响应：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0时,开关K闭合，求t>0后的iC、uC及电流源两端的电压。解这是一个RC电路全响应问题，有：+–10V1A1+－uC1+－u1稳态分量：全响应：A=－10第57页，课件共110页，创作于2023年2月+–24V1A1+－uC1+－u1第58页，课件共110页，创作于2023年2月3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶微分方程：令t=0+其解答一般形式为：分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题用0+等效电路求解用t→的稳态电路求解直流激励时：第59页，课件共110页，创作于2023年2月1A2例113F+-uC已知：t=0时合开关，求换路后的uC(t)

。解tuc2(V)0.6670第60页，课件共110页，创作于2023年2月例2t=0时,开关闭合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素为：iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1应用三要素公式第61页，课件共110页，创作于2023年2月三要素为：+–20V2A55+–10Vi2i10＋等效电路第62页，课件共110页，创作于2023年2月例3已知：t=0时开关由1→2，求换路后的uC(t)

。2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12解三要素为：4+－4i12i1u+－第63页，课件共110页，创作于2023年2月例4已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)

。解三要素为：+–1H0.25F52S10Vi第64页，课件共110页，创作于2023年2月例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)32已知：电感无初始储能

t=0

时合k1,t=0.2s时合k2

求两次换路后的电感电流i(t)。0<t<0.2st>0.2s解第65页，课件共110页，创作于2023年2月(0<t0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.262第66页，课件共110页，创作于2023年2月例6脉冲序列分析1.RC电路在单个脉冲作用的响应RCusuRuci10Ttus(1)0<t<T第67页，课件共110页，创作于2023年2月(2)t>Tuc(t)uR(t)t0第68页，课件共110页，创作于2023年2月t0(a)<<T,

uR为输出uR输出近似为输入的微分(b)>>T,uc为输出t0输出近似为输入的积分RCusuRuciuCTT第69页，课件共110页，创作于2023年2月2.脉冲序列分析t0(a)<<TuRucRCusuRuci第70页，课件共110页，创作于2023年2月t0(b)>TU1U2ucuRRCusuRuci第71页，课件共110页，创作于2023年2月7.5一阶电路的阶跃响应单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为ε(t)=def0t＜01t＞0一、单位阶跃函数10tε(t)其波形如图所示。在不连续点t=0处的函数值一般可不定义，或者定义为其左、右极限的平均值1/2。第72页，课件共110页，创作于2023年2月单位阶跃函数可以用来描述1V的直流电源在t=0时接入电路的情况，如图所示。若开关K在t=0时闭合，则一端口电路N的端口电压可写为

u(t)=ε(t)(V)(t=0)动态电路+－1Vu(t)ε(t)动态电路+－u(t)第73页，课件共110页，创作于2023年2月(t=0)动态电路1Ai(t)单位阶跃函数可以用来描述1A的直流电源在t=0时接入电路的情况，如图所示。若开关K在t=0时打开，则一端口电路N的端口电流可写为

i(t)=ε(t)(A)动态电路i(t)ε(t)第74页，课件共110页，创作于2023年2月如果在t=0时接入电路的直流源幅度为A，则可表示为Aε(t)，其波形如图所示，称为阶跃函数。A0tAε(t)第75页，课件共110页，创作于2023年2月如果单位直流源接入的瞬时为t0，则可写为

0t＜t0

1t＞t0称其为延时阶跃函数，其波形如图所示。ε(t-t0)=(1)单位阶跃函数的特性之一：延时性10tε(t)t0第76页，课件共110页，创作于2023年2月利用阶跃函数和延时阶跃函数可以方便地表示某些信号。图(a)的矩形脉冲信号可以看作是图(b)和图(c)所示的两个阶跃信号之和，即f(t)=ε(t)-ε(t-t0)(2)单位阶跃函数的特性之二：表达性10tf(t)t0(a)(b)10tε(t)-ε(t-t0)-10tt0(c)第77页，课件共110页，创作于2023年2月例：如图的信号可表示为例：如图的信号可表示为10tf(t)123-1f(t)=ε(t)-2ε(t-1)+ε(t-2)f(t)=ε(t)+ε(t-1)-ε(t-2)-ε(t-3)10tf(t)1232第78页，课件共110页，创作于2023年2月图(a)是任意信号f(t)，如果想使其在t<0时为零，则可乘以ε(t)，写作

f(t)ε(t)如图(b)所示。（3）单位阶跃函数的特性之三：起始性0tf(t)(a)0tf(t)(b)0tf(t)ε(t-t0)(c)t0如果要使其在t<t0时为零，则可乘以ε(t-t0)，写为

f(t)ε(t-t0)如图(c)所示。

第79页，课件共110页，创作于2023年2月由于单位阶跃函数作用于电路时，相当于单位直流源接入电路，所以求阶跃响应就是求单位直流源(1V或1A)接入电路时的零状态响应。对于一阶动态电路，可用三要素法。利用阶跃函数和阶跃响应，根据线性电路的线性性质和时不变电路的时延不变性，可以分析在任意激励作用下电路的零状态响应.电路对单位阶跃激励的零状态响应称为单位阶跃响应，用s(t)

表示。二、阶跃响应第80页，课件共110页，创作于2023年2月线性性质是指对于线性电路而言，如果激励f1(t)作用于电路产生的零状态响应为yf1(t)，激励f2(t)作用于电路产生的零状态响应为yf2(t)，它们分别可简记为f1(t)yf1(t)f2(t)yf2(t)则线性性质表明：如有常数a1

、a2

，有a1yf1(t)+a2yf2(t)a1f1(t)+a2f2(t)即a1f1(t)+a2f2(t)共同作用于电路产生的零状态响应应等于a1倍的yf1(t)与a2倍的yf2(t)之和。线性性质第81页，课件共110页，创作于2023年2月对于时不变电路，其元件参数不随时间变化，因而电路的零状态响应与激励接入的时间无关，即若激励f(t)响应yf(t)响应yf(t-t0)激励f(t-t0)也就是说，若激励f(t)延迟了t0时间接入，那么其零状态响应也延迟t0时间，且波形保持不变，如图所示。这可称为时延不变性。时延不变性则第82页，课件共110页，创作于2023年2月0tf(t)t00tf(t)t0t0+τ线性时不变电路0tyf(t)0tyf(t-t0)t0时延不变性的图示第83页，课件共110页，创作于2023年2月一阶电路的阶跃响应可用三要素法求解求图示电路的单位阶跃响应i(t)。i+－uc2Ω1Ω2F+－us例解第84页，课件共110页，创作于2023年2月若一阶电路中的电源是方波或其它分段常量信号，可采用叠加定理或子区间分析法对电路加以分析。*将分段常量信号f(t)分解：*计算电路对每一分量的零状态响应：*求和，得电路对信号f(t)总的零状态响应：零状态响应*若电路原始状态不为零，还应求出电路的零输入响应，从而得到全响应：全响应＝零状态响应＋零输入响应1.叠加分析法第85页，课件共110页，创作于2023年2月解：5(t)单独作用时的零状态响应为：-5(t-t0)单独作用时的零状态响应为：i(t)1H2Ω+－us(t)50tus(t)t0总的零状态响应为：例电路如图，(1)求零状态响应i(t)，(2)若

，求全响应i(t)。第86页，课件共110页，创作于2023年2月全响应为：，电路的零输入响应为：第87页，课件共110页，创作于2023年2月2.子区间分析法（分段分析法）

根据信号的分段情况，将时间划分为若干子区间，每个子区间开始时，电路相当于进行一次换路。在每个子区间内分别用三要素法进行分析。解：t=0时第一次换路，接入5V电压源电路如图，已知，求i(t)(t0)。i(t)1H2Ω+－us(t)50tus(t)t0例第88页，课件共110页，创作于2023年2月t=t0

时第二次换路，电压源变为零第89页，课件共110页，创作于2023年2月7.6一阶电路的冲激响应单位脉冲函数用表示，其定义为故称pΔ(t)为单位脉冲。一、单位脉冲函数因为第90页，课件共110页，创作于2023年2月单位冲激函数用表示，其定义为二、单位冲激函数其物理意义为：宽度为0，高度为∞的脉冲即第91页，课件共110页，创作于2023年2月2、采样性（筛分性）

1、延迟性三、单位冲激函数的性质第92页，课件共110页，创作于2023年2