河北省秦皇岛市下寨乡中学高三数学理下学期期末试卷含解析

河北省秦皇岛市下寨乡中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是()A．f(x)＝sinx

B．f(x)＝－|x＋1|

C．f(x)＝(ax＋a－x)

D．f(x)＝ln参考答案：【知识点】函数的奇偶性与单调性.B3

B4

【答案解析】D

解析：显然选项A，B不正确，而C中函数是偶函数，所以C不正确，所以选D.【思路点拨】根据函数的图像排除A，B选项，根据奇偶性定义排除C,从而选D.2.若如图2所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是A．

B．C．

D．参考答案：B3.函数的图象大致为

（

）参考答案：A4.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：球的面积与简单几何体的关系．5.设i为虚数单位，复数是纯虚数，则实数等于

(

)

A．－

B．1

C．

D．参考答案：B6.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（

）

A.（0，

B.（）

C.（0，）

D.（，1）参考答案：D7.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项．【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，，故选D．8.已知:函数的定义域为，且，为的导函数，函数的图象如图所示，则所围成的平面区域的面积是（

）A．2

B．4

C．5

D．8参考答案：B略9.命题“存在”的否定是（

）A.任意B.任意C.存在D.任意参考答案：B略10.已知函数的定义为，且函数的图像关于直线对称，当时，，若，则的大小关系是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积的运算法则计算即可．【解答】解：△ABC中，∠A=90°，AC=2，D为边BC的中点，则=（+）?=2+?=×22=2，故答案为：2．【点评】本题考查了向量的数量积的运算，属于基础题．12.将长度为的线段分成段，每段长度均为正整数，并要求这段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当时，只可以分为长度分别为1,1,2的三段，此时的最大值为3；当时，可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为1,1,2,3的四段，此时的最大值为4．则：

（1）当时，的最大值为________；

（2）当时，的最大值为________．参考答案：（1）；（2）（注：第一问2分，第二问3分）13.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是_____参考答案：试题分析：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概，应填.考点：概率的求法.14.函数

则的解集为________。参考答案：略15.已知定义在R上的函数f（x）满足①图象关于（1，0）点对称；②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）；③x∈[﹣1，1]时，f（x）=，则函数y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点个数为．参考答案：5【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由①可得f（x）+f（2﹣x）=0，求得x在[1，3]上的f（x）的解析式；再由②求得x在[﹣3，﹣1]上的解析式，画出f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点，即可得到零点的个数．【解答】解：由题意可得f（x）+f（2﹣x）=0，当1≤x≤2时，0≤2﹣x≤1，f（2﹣x）=cos（2﹣x）=﹣cosx，则f（x）=﹣f（2﹣x）=cosx；当2＜x≤3时，﹣1≤x＜0，f（2﹣x）=1﹣（2﹣x）2，则f（x）=﹣f（2﹣x）=（2﹣x）2﹣1．由②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），即为f（x）=f（﹣x﹣2），当﹣3≤x≤﹣2时，0≤﹣2﹣x≤1，f（﹣2﹣x）=cos（﹣2﹣x）=﹣cosx，则f（x）=﹣f（﹣2﹣x）=﹣cosx；当﹣2＜x≤﹣1时，﹣1≤﹣2﹣x＜0，f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2，则f（x）=f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2．y=f（x）﹣（）|x|在区间[﹣3，3]上的零点即为y=f（x）和y=（）|x|在[﹣3，3]的交点个数．作出y=f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的图象，通过图象观察，可得它们有5个交点，即有5个零点．故答案为：5．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数方程的转化思想，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．16.函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围为__________.参考答案：略17.设集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则A∩B=

．参考答案：{x|0＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）（2015?洛阳三模）已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案：考点：绝对值不等式的解法．

专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，从而得到不等式f（x）≤5的解集．（Ⅱ）由题意可得|x﹣2|+|x﹣a|≥a恒成立，而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，故有|a﹣2|≥a，由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，3]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a恒成立．而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化数学思想，属于中档题．19.（本小题满分13分）设是函数的零点．（1）证明：；（2）证明：．参考答案：证明：（1）因为，，且在上的图像是一条连续曲线，所以函数在内有零点．…………………2分因为，所以函数在上单调递增．所以函数在上只有一个零点，且零点在区间内．而是函数的零点，所以．…………4分（2）先证明左边的不等式：因为，由（1）知，所以．即．所以．所以．…6分以下证明． ①方法1（放缩法）：因为，所以．…………9分方法2（数学归纳法）：1）当时，，不等式①成立．2）假设当（）时不等式①成立，即．那么．以下证明．

②即证．即证．由于上式显然成立，所以不等式②成立．即当时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何都成立．所以．…………9分再证明右边的不等式：当时，．由于，，所以．由（1）知，且，所以．因为当时，，所以当时，

．所以当时，都有．综上所述，．……13分

略20.已知长方体中，棱棱，连结，过点作的垂线交于，交于．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：19．（1）证明：由已知A1B1⊥面BCC1B1

又BE⊥B1C

∴A1C⊥BE

………………2分

∵面ABCD是正方形，∴AC⊥BD

∴A1C⊥BD

∴A1C⊥平面

………………4分解（2）∵AB∥A1B1,∴AB∥面∴点到平面的距离与点B到平面的距离相等由（1）知A1C⊥BE，又BE⊥B1C∴BE⊥面∴BF即是点B到平面的距离

………………6分在△BB1C中，∴点到平面的距离为

………………8分

另解：连结,A到平面的距离,即三棱锥的高,设为,

,由得:,∴点A到平面的距离是（3）连结FD,由（2）知BE⊥面∴是在平面上的射影∴∠EDF即是直线与平面所成的角………………10分

由△BB1C∽△BCE可求得CE=

∴BE=DE=,

∴EF=

∴即与平面所成的角的正弦值是 ………………12分

略21.设函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）求函数的极值点.参考答案：（1）；（2）是极大值点,是极小值点.试题分析：（1）借助题设条件先进行转化再分离参数借助导数知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想分类探求.试题解析：（1）.依题意得，在区间上，不等式恒成立.又因为,所以即.（2）,令.①当时，可知在上恒成立，此时，函数没有极值点.②当时，（Ι）当，即时，在上恒成立，此时，函数没有极值点.（ΙΙ）当，即时，当时,此时，当或时，，此时，当时，是函数的极大值点,是函数的极小值点.综上，当时，没