二次函数与一元二次方程中考复习

中考专题复习二次函数与二次方程知识的重要性知识的重要性函数中考重点内容方程中考难点内容二次函数二次方程二次函数与二次方程

【重难点】二次函数与二次方程课前练习1.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点，则二次方程ax2+bx+c=0的解为〖分析〗抛物线交x轴于点（－1,0）（3,0）∴x=－1时y=0即x=－1时ax2+bx+c=0∴x=－1是方程ax2+bx+c=0的解同理可得x=3是方程ax2+bx+c=0的解综合以上：x=－1，x=3是方程ax2+bx+c=0的解【结论】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标即是方程ax2+bx+c=0的解课前练习2.如图，二次函数y=ax2+2ax+c(a≠0)与x轴有两交点，则二次方程ax2+2ax+c=0的解为〖分析〗二次函数y=ax2+2ax+c对称轴为x=－1从对称轴可得，抛物线与x轴另外一个交点为(－3,0)∴方程ax2+2ax+c=0的解为x=1,x=－3x=－1课前练习〖分析〗方程ax2+bx+c=2的解即是二次函数y=ax2+bx+c：当y=2时x的取值从抛物线上找到纵坐标y=2的点即可得到x值【结论】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数即是方程ax2+bx+c=0的解个数3如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(2,1),则二次方程ax2+bx+c=2的解()A.有两相等实数根 B.有两不等实数根 C.没有实数根 D.根的个数不确定2从抛物线上可找到两个纵坐标y=2的点∴方程ax2+bx+c=2有两个解∴答案选B课前练习〖分析〗方程ax2+bx+c=m的解即是二次函数y=ax2+bx+c：当y=m时x的取值从抛物线顶点可知:y≤2∴只有m＜2时，抛物线上才有两点符合y=m∴只有m＜2时方程ax2+bx+c=m才有两个不相等实数根∴m取值范围是m＜24.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为(－1,2),要使二次方程ax2+bx+c=m

有两不相等的实数根，则m取值范围是课前练习5.若二次方程x2+bx+c=0(a≠0)两个根互为倒数，则二次函数y=x2+bx+c与y轴交点为〖分析〗设二次方程x2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1x2则x1·x2=c∵两个根互为倒数∴

x1·x2=c=1∵二次函数y=x2+bx+c当x=0时y=c∴抛物线与y轴的交点为（0，c）即抛物线交y轴于(0,1)典型问题

例1已知抛物线y=x2+（2k+1）x+k2+2与x轴交于A、B两点（1）求k的取值范围（2）O为坐标原点，且OA－OB=1，求k的值解：(1)∵抛物线y=x2+（2k+1）x+k2+2与x轴交于A、B两点∴y=0时0=x2+（2k+1）x+k2+2有两个实数根∴二次方程根的判别式△＞0△=（2k+1）2－4(k2+2)=4k－7

即：4k－7＞0∴k>(2)设A(x1,0);B(x2,0),且|x1|>|x2|则x1,x2是方程0=x2+（2k+1）x+k2+2的两根由根系关系可得：x1+x2=－2k－1,x1x2=k2+2且

∵x1x2>0;x1+x2<0∴x1<0,x2<0∴AO=|x1|=－x1BO=|x2|=－x2∴由OA－OB=1得|－x1－(-x2)|=1即|x2－x1|=1∵（x2－x1

）2=（x2＋x1）2

－4x2x1∴1=(－2k－1)2-4(k2+2)解得：k=2典型问题

例1已知抛物线y=x2+（2k+1）x+k2+2与x轴交于A、B两点（1）求k的取值范围（2）O为坐标原点，且OA－OB=1，求k的值反馈练习已知抛物线y=x2+（m+3）x+m+1与x轴交于A、B两点且AO2+BO2=4,求k值解设A(x1,0);B(x2,0),则x1,x2是方程0=x2+（m+3）x+m+1的两根由根系关系可得

x1+x2=－m－3,x1x2=m+1

且△=(m+3)2－4(m+1)=(m+1)2+4>0∵AO=|x1|；BO=|x2|，AO2+BO2=4∴x1

2+x22=4∵x1

2+x22=（x2＋x1）2

－2x2x1∴4=(－m－3)2－2(m+1)

解得m=－1或m=－3当堂检测1.若抛物线y=ax2+bx(a≠0)的对称轴经过点（2，－3）且对称轴平行于y轴，则关于x的二次方程ax2+bx=0的解为

.(2,－3)(0,0)(4,0)x=0或x=4yx(2,－3)(0,0)(4,0)yx当堂检测－1－52.已知二次函数y=－x2+mx+n的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（－1，0），AB=4，则n=.

A－13ABB由根系关系(两根之积)得－n=(－1)×3=－3∴n=3由根系关系(两根之积)得n=(－1)×(－5)=5∴n=－5－5或3xxyyAB=4AB=4当堂检测3.已知抛物线y=x2+2（k+1）x+k2+2k与x轴交于A，B两点，设抛物线顶点为C求证：无论k取任何实数，△ABC的面积总为确定的值证明：由抛物线顶点坐标公式可得顶点C坐标为(－k－1,－1)

设A(x1,0);B(x2,0),则x1,x2是方程0=x2+2（k+1）x+k2+2k的两根∴x1+x2=－2k－2,x1x2=k2+k

且△=（2k+2）2－4(k2+2k)=4>0∵AB=|x1-x2|，∴AB2=(x1

－x2)2=（x2＋x1）2－4x2x1∴AB2=（－2k－2）2

－4(k2+2k)=4

即AB=2∴S△ABC=1当堂检测当堂检测5.（选做题）已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，若关于x的一元二次方程

x2－