导数的概念-课件

医用高等数学医用高等数学第二章微分学微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)第二章微分学微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程导数思想最早由法国数学家费马在研究极值问题中提出.微积分学的创始人:

德国数学家莱布尼兹

英国数学家牛顿导数思想最早由法国数学家费马在研究极值问题中提出.微积分二、导数的定义及其几何意义

三、函数的可导与连续的关系一、实例第一节导数的概念二、导数的定义及其几何意义三、函数的可导与连续的关系1.变速直线运动的瞬时速度取极限得一、实例设一质点沿直线做变速直线运动,其运动规律为求时刻

的瞬时速度.平均速度瞬时速度1.变速直线运动的瞬时速度取极限得一、实例设一质点沿直线做变2.细胞的增殖速度

设增殖细胞在某一时刻

的总数为

,显然

是时间

的函数求细胞在时刻

的瞬时增长率.从

变化到

这段时间内,细胞的平均增长率为取极限得瞬时增长率=2.细胞的增殖速度设增殖细胞在某一时刻定义2-1二、导数的定义及导数的几何意义定义2-1二、导数的定义及导数的几何意义即注意

若极限不存在,就称函数

在点

处不可导;由导数定义变速直线运动的质点在时刻

的瞬时速度为细胞在时刻

的瞬时增殖速度为若不可导,且极限为无穷大,为方便起见,记为

.也称函数

在点

处的导数为无穷大.即注意若极限不存在,就称函数在点单侧导数左导数右导数注意

函数在一点可导的充分必要条件为：（1）导函数单侧导数左导数右导数注意函数在一点可导的充分必要条件为很明显如果)(xf在开区间内可导,且及（2）都存在,就说在闭区间上可导.很明显如果)(xf在开区间内可导,且及（2）都存在,就说在闭解已知函数,求例2-1例2-2已知函数求导函数及解解已知函数,求例2-1例2-2已知函

例2-3

据1985年人口调查,我国有10.15亿人口,人口平均年增长率为1.489％,根据马尔萨斯(Malthus)人口理论,我国人口增长模型为其中，代表年数,并定义1985年为这个模型的起始年.按照此模型可以预测我国在2005年人口将有13.6710亿.求我国人口增长率函数?怎样控制人口增长速度？例2-3据1985年人口调查,我国有10解所以人口增长率函数为

让人口年增长率0.01489变小,人口的增长速度就变小,故可控制人口的增长.解所以人口增长率函数为让人口年增长率0.01导数的几何意义切线：割线的极限

割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线在点M处的切线.MTNNNN导数的几何意义切线：割线的极限割线MN绕点M旋转当所以当所以切线方程为法线方程为导数的几何意义为:M切线方程为法线方程为导数的几何意义为:M例2-5法线方程为根据导数的几何意义,得切线斜率为

解由例2-1有,，例2-5法线方程为根据导数的几何意义,得切线斜率为解

可导的函数一定是连续的．证明三、可导与连续的关系由极限与无穷小的关系即其中可导的函数一定是连续的．证明三、可导与连续的关系由极限与比如解反之不成立.即连续不一定可导．比如解反之不成立.即连续不一定可导．1.导数的定义与实质:瞬时变化率3.导数的几何意义切线的斜率4.可导与连续的