数字信号处理-时域离散信号和系统的频域分析-课件2

2.2序列的傅利叶变换2.2.1序列的傅里叶变换的定义众所周知，连续时间信号f(t)的傅里叶变换定义为：而F(jΩ)的傅里叶反变换定义为

2023/7/312.2序列的傅利叶变换2.2.1序列的傅里叶变换的定义1离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为：DTFT

只有当序列x(n)绝对可和，即x(n)的傅里叶变换才存在且连续。X(ejω)的傅里叶反变换定义为2023/7/31离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为：DTFT只有当序列2在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字域频率。X(ejω)一般为复数，可用它的实部（Real）和虚部（Imaginary）表示为：或用幅度和相位表示为：

2023/7/31在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为3设x(n)=anu(n)，0<a<1,求x(n)的FT。2023/7/31设x(n)=anu(n)，0<a<1,求x(n)的FT。24离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点：(1)X(ejω)是以2π为周期的ω的连续函数。(2)当x(n)为实序列时，X(ejω)的幅值|X(ejω)|在0≤ω≤2π区间内是偶对称函数，相位arg[X(ejω)]是奇对称函数。2023/7/31离散时间信号的傅里叶变换具有以下两个特点：(1)X(ejω)52.2.2序列傅利叶变换的性质2023/7/312.2.2序列傅利叶变换的性质2023/7/2962023/7/312023/7/2972023/7/312023/7/298当ω=0时，它是常数序列；随着ω的增加，信号的震荡速率增加，直到ω=π时，达到离散时间序列的最高振荡速率。当ω继续增加，其振荡速率反而下降，直到ω=2π时，它又回到常数序列。当ω等于2π的整数倍时，虚指数序列为常数序列，在这些频率附近是变化较慢的低频序列，而在ω等于π的奇数倍时，都是离散时间虚指数序列的最高振荡频率，附近是高频序列。2023/7/31当ω=0时，它是常数序列；随着ω的增加，信号的震荡速率增加，91.傅利叶变换的周期性角频率ω每改变2π及其整数倍时都呈现同一个虚指数序列。因此在研究虚指数序列时，只要在ω的某个2π区间内考察即可。一般选这个区间为-π<ω<π,或0<ω<2π，并称为离散时间频率ω的主值区间。

数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率，所以数字域频率并不是像模拟域频率越来越大。

数字域频率和模拟域频率的关系?2023/7/311.傅利叶变换的周期性角频率ω每改变2π及其整数倍时都呈现10当ω=0，±2π，±4π…点上表示x(n)的直流分量，离开这些点越远，其频率越高；当ω=(2M+1)π时，代表最高频率信号。M为整数序列傅里叶变换是以2π为周期的函数。2023/7/31当ω=0，±2π，±4π…点上表示x(n)的直流分量，离开112.序列的傅里叶变换的线性

3．时移与频移

时间移位=频率相位偏移2023/7/312.序列的傅里叶变换的线性3．时移与频移时间移位=124．时域卷积

设则

该定理说明：在求线性时不变系统的输出信号时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求输出的FT，再作逆变换。2023/7/314．时域卷积设则该定理说明：在求线性时不变系135．频域卷积定理设则该定理适于时域截断信号后求频谱。2023/7/315．频域卷积定理设则该定理适于时域截断信号后求频谱。2023146.帕斯维尔(Parseval)定理证明：说明：信号时域的总能量等于频域的总能量。2023/7/316.帕斯维尔(Parseval)定理证明：说明：信号时域的157．序列的傅里叶变换的对称性共轭对称序列：共轭反对称序列：对于实序列来说，xe(n)为偶对称序列，xo(n)为奇对称序列。时域序列的对称性xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)xjy2023/7/317．序列的傅里叶变换的对称性共轭对称序列：共轭反对称序列：对16共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。同理，共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。以上反之也成立。xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)-jxoi(-n)解：x(n)=cosωn+jsinωn

其实部是偶函数，而虚部是奇函数,是共轭对称序列。试分析x(n)=ejωn的对称性2023/7/31共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。同理，共轭反对称17对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即：可得：2023/7/31对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即：可得：18频域函数的对称性

任意频域函数X(ejω)可表示成共轭对称部分和共轭反对称部分之和：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)Xe(ejω)=X*e(e－jω)Xo(ejω)=－X*o(e－jω)

Xe(ejω),

Xo(ejω)和原频域函数X(ejω)的关系2023/7/31频域函数的对称性任意频域函数X(ejω)可表示成共19

傅利叶变换的对称性(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式进行FT，得到：2023/7/31傅利叶变换的对称性(a)将序列x(n)分成实部xr(n)20结论：

序列分成实部与虚部两部分，实部对应的FT

具有共轭对称性，虚部乘j一起对应的FT具有

共轭反对称性。X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)2023/7/31结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的FT

21(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分

xo(n)，即：x(n)=xe(n)+xo(n)将上面两式分别进行FT，得到2023/7/31(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分

22结论：序列的共轭对称部分xe(n)的傅利叶变换对应

着X(ejω)的实部XR(ejω)，而序列的共轭反对

称部分xo(n)的傅利叶变换对应着X(ejω)的虚

部XI(ejω)乘以j

。

2023/7/31结论：序列的共轭对称部分xe(n)的傅利叶变换对应

238．序列的折叠9．序列乘以n10．序列的复共轭2023/7/318．序列的折叠9．序列乘以n10．序列的复共轭202324表2.2.1

序列傅里叶变换的性质2023/7/31表2.2.1序列傅里叶变换的性