概率论第七章分布拟合检验

分布拟合检验c

2检验法的定义c

2检验法的基本思想皮尔逊定理4.小结说明(1)在这里备择假设H1可以不必写出.1.

c

2检验法的定义这是在总体的分布未知的情况下,

根据样本

X1

,

X

2

,,

Xn来检验关于总体分布的假设H0

:总体X

的分布函数为F

(x),H1

:总体X

的分布函数不是F

(x),的一种方法.(2)若总体X

为离散型:则上述假设相当于H0

:总体X

的分布律为P{X

=xi}=pi,i

=1,2,.(3)

若总体

X

为连续型

:

则上述假设相当于H0

:总体X

的概率密度为f

(x).数值未知,需要先用最大似然估计法估计参数,然后作检验.形式已知,但其参(4)

在使用c

2检验法检验假设

H

时,

若

F

(

x)的0但一般来说,若H0

为真,且试验次数又多时,这种差异不应很大.nf在n

次试验中,事件A

出现的频率与pi

(或pˆ

i

)往往有差异,iik假设

H0

下,

我们可以计算

pi

=

P(

Ai

)

(或

pˆ

i

=

Pˆ

(

Ai

)),

i

=

1,

2,,

k.2.

c

2检验法的基本思想将随机试验可能结果的全体W

分为k

个互不相容的事件A1

,A2

,,An

(

Ai

=W

,Ai

Aj

=˘

,i

„j,i,j

=1,2,,k

).于是在i

=1

ki

i

ki

i

i-

nnp-

pp

nn

fi

=1f

22i

=12

c

2

=

或c

=3.皮尔逊定理设检验假设H0

的统计量为定理分布),

上统计量总是近似地服从自由度为

k

-

r

-

1的

c

2

分布,其中,

r是被估计的参数

的个数.若n

充分大(‡50),

则当H0

为真时(不论H0

中的分布属什么0于是,

如果在假设

H

下,22ki

=1npi(

f

-

np

)2i

i‡

c

(k

-

r

-1),c

=

则在显著性水平a

下拒绝H0

,否则就接受H0

.注意在使用c

2检验法时,n要足够大,np

不太小.i根据实践,

一般n

‡

50,

或每一个npi

‡

5.解例1把一颗骰子重复抛掷300

次,结果如下:出现的点数

1

2

3

4

5

6出现的频数

40

70

48

60

52

30试检验这颗骰子的六个面是否匀称?

(取a

=

0.05

)根据题意需要检验假设H0:这颗骰子的六个面是匀称的.60(或

H

:

P{

X

=

i}

=

1

(i

=

1,2,,6))其中X

表示抛掷这骰子一次所出现的点数(可能值只有6

个),(i

=1,2,,6)为取W

i

=

{

i

},

(

i

=

1,

2,,6

)则事件Ai

={X

˛

W

i

}={X

=i}互不相容事件.06在

H

为真的前提下,

p

=

P(

A

)

=

1

,(i

=

1,

2,,6)knpi(

f

-

np

)2i

ic

2

=

i

=1+=i16i(40

-

300

·300

·

1)2+300

·

161(70

-

300

·

)2++6300

·611(48

-

300

·)2+6300

·611

6(60

-

300

·)2+6300

·611

6(52

-

300

·)2,66300

·

1(30

-

300

·

1)2c

2

=

20.16,自由度为6

-1

=5,0.05查c

2

(5)表得c

2

=

11.07,c

2

=

20.16

>

11.07,所以拒绝

H0,

认为这颗骰子的六个面不是匀称的.i0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

‡

12fi1

5

16

17

26

11

9

9

2

1

2

1

0AiA0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

A11

A12,

i

=

0,1,2,,i!考虑

X

应服从泊松分布

P{X

=

i}=其中fi

是观察到有i

个a

粒子的次数.从理论上e-lli是否符合实际?(a

=0.05)i!问P{X

=

i}=e-lli例2

在一试验中,每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的 粒子数,

共观察了100次,

得结果如下表:解所求问题为:在水平0.05

下检验假设H0

:总体X

服从泊松分布,

i

=

0,1,

2,,i!P{X

=

i}=e-lli由于在H0中参数l

未具体给出,故先估计l.由最大似然估计法得l

=x

=4.2,根据题目中已知表格,

P{

X

=

i}有估计0如

pˆ

=

Pˆ{X

=

0}=

e-4.2

=

0.015,3!ˆ{=

0.185,e-4.2

4.23pˆ3

=

P

X

=

3}=11pˆ12

=

Pˆ{X

‡

12}=

1

-

pˆi

=

0.002,i

=1具体计算结果见下页表,ˆ{,

i

=

0,1,

2,,i!e-4.2

4.2ipˆi

=

P

X

=

i}=Aifipˆinpˆif

2

/

npˆi

iA0A11

}650.015

}0.0780.0631.56.34.615A2A3A41617260.1320.1850.19413.218.519.419.39415.62234.845A5110.16316.37.423A690.11411.47.105A790.0696.911.739A820.0363.6A9A1012

60.0170.007

0.0651.70.75.538A1110.0030.3

=106.281A1200.0020.2例2的c

2

拟合检验计算表(6)

=

12.592

>

6.2815,c

2

(k

-

r-1)

=

c

2a

0.05故接受H0,认为样本来自泊松分布总体.其中有些

npˆ

i

<

5的组予以合并,

使得每组均有npi

‡5,如表中第3列花括号所示.并组后k

=8,故c

2

的自由度为8

-1

-1

=6,统计如下:(X

表示相继两次地震间隔天数,Y

表示出现的频数)X0

-

45

-

910

-1415

-1920

-

2425

-

2930

-

3435

-

39‡40Y50312617108668试检验相继两次地震间隔天数X

服从指数分布.(a

=

0.05)解所求问题为:在水平0.05下检验假设例3

自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中,全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次,0H

:

X

的概率密度

0,

1f

(

x)

=

-

xe

q

,

x

>

0,x

£

0.q由于在H0

中参数q

未具体给出,故先估计q.162由最大似然估计法得qˆ

=x

=2231

=13.77,的子区间[ai

,ai

+1

),i

=1,2,,9.X

为连续型随机变量,将X

可能取值区间[0,+¥

)分为k

=9

个互不重叠(见下页表)Aifipˆinpˆif

2

/

npˆi

iA1

:

0

£

x

£

4.5500.278845.165655.3519A2

:

4.5

<

x

£

9.5310.219635.575227.0132A3

:

9.5

<

x

£14.5260.152724.737427.3270A4

:14.5

<

x

£19.5170.106217.204416.7980A5

:19.5

<

x

£

24.5100.073911.97188.3530A6

:

24.5

<

x

£

29.580.05148.32687.6860A7

:

29.5

£

x

£

34.560.03585.79966.2073A8

:

34.5

<

x

£

39.5A9

:

39.5

<

x

<

¥6

}80.0248

}0.05684.0176}13.21929.201614.8269

=163.5633例3的

c

2

拟合检验计算表在H0

为真的前提下,-0,13.77

,x

>

0,x

£

0.X

的分布函数的估计为Fˆ

(x)=1

-ex概率

pi

=

P(

Ai

)有估计pˆi

=

Pˆ

(

Ai

)=

Pˆ{ai

£

X

<

ai

+1

}=

Fˆ

(ai

+1

)

-

Fˆ

(ai

),如pˆ

2

=Pˆ

(A2

)=Pˆ{4.5

£

X

<0.5}=

0.2196,8i

=1pˆ9

=

Fˆ

(

A9

)

=

1

-

Fˆ

(

Ai

)

=

0.0568,=

Fˆ

(9.5)

-

Fˆ

(4.5)(6)

=

12.592

>

1.5633,c

2

(k

-

r

-

1)

=

c

2a

0.05故在水平0.05

下接受H0

,认为样本服从指数分布.2c

=

163.5633

-162

=

1.5633,k

=

8,

r

=

1,下面列出了84个依特拉斯坎人男子的头颅的最大宽度(mm),

试验证这些数据是否来自正态总体?(a

=

0.1)141148132138154142150146155158150140147148144150149145149158143141144144126140144142141140145135147146141136140146142137148154137139143140131143141149148135148152143144141143147146150132142142143153149146149138142149142137134144146147140142140137152145例4解所求问题为检验假设01-e

,-¥

<

x

<

¥

.H

:

X

的概率密度f

(x)=2s

2(

x-m

)22πs2

2由于在H0

中参数m,s

未具体给出,故先估计m,s

.sˆ

2

=

6.02

,由最大似然估计法得mˆ

=143.8,将X

可能取值区间(-¥

,¥

)分为7个小区间,(见下页表)在H0

为真的前提下,X

的概率密度的估计为Aifipˆinpˆif

2

/

npˆi

iA1

:

x

£129.5A2

:129.5

<

x

£134.51}41033249}30.0087}0.05190.17520.31200.28110.1336}0.03750.73}5.094.3614.7226.2123.6111.22}14.373.154.91A3

:134.5

<

x

£

139.56.79A4

:139.5

<

x

£144.541.55A5

:144.5

<

x

£149.524.40A6

:149.5

<

x

£154.510.02A7

:154.5

<

x

<

¥=87.67例4的c

2

拟合检验计算表12π

·

62·62-e ,

-

¥

<

x

<

+¥

.fˆ

(

x)

=(

x-143.8)2概率

pi

=

P(

Ai

)有估计如pˆ

2

=Pˆ

(A2

)=Pˆ{129.5

£

x

<134.5}

6

6=F

134.5

-

143.8

-F

129.5

-

143.8

=F

(-1.55)

-F

(-2.38)

=

0.0519

.c

2

(k

-

r

-1)

=

c

2

(5

-

2

-1)

=

c

2

(2)

=

4.605