高中数学学科必修5课件新课标人教版5打包4等差数列前

高

斯

的

故

事高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，

所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，

我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪最

小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上

写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓

励他，老师买了一本数学书送给他。思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？21+2

+3++99+100=

100·(1+100)

=

505021+2

+3++(n

-1)

+n

=

n·(n

+1)1.计算：1

+

2

+

3

++

99

+100100＋99＋98＋

…＋2

＋12.计算：

1

+

2

+

3

++(n

-1)

+

nn＋(n-1)

＋

(n-2)

＋…＋

2

＋1问题1如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10.问共有多少根圆木？请用简便的方法计算.问题2数列前n

项和的意义这节课我们研究的问题是：(1)已知等差数列｛

an

｝的首项a1，项数n，第n项an，求前n项和Sn的计算公式；(2)对此公式进行应用。数列｛

an

｝：a1，a2

，a3

，…，an

，…我们把a1＋a2＋a3＋…＋an叫做数列｛

an

｝的前n项和，记作Sn设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)2n\

S

=

n(a1

+

an

)

(1)此种求和法称为倒序相加法n个思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？2n

1S

=

na

+

n(n

-1)

d

(2)公式的推导2nS=

n（a1

+

an

)dn21S

=

na

+n（n

-1)an

=a1

+(n-1)d

fia1

=an

-(n-1)d

fiSn

n2=

na

-

n（n

-1)

d2

2

2n

1

1=

na

+

n(n

-

1)

d

=

d

n

2

+

(a

-

d

)n若a1、d是确定的，那么

S2

21设

A

=

d

,

B

=

a-d

上式可写成Sn=An2+Bn若A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次式且缺常数项。等差数列的前n项和公式的其它形式分析公式的结构特征例:等差数列－10,－6,－,2,…的前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn.则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54.

由等差数列前n项和公式，得-10n

+

n(n

-1)

·

4

=

542解得

n1＝9，n2＝－3（舍去）.举例因此，等差数列的前9项和是54.an＝？

an

=

4n-14Sn呢？Sn

=2n2-12nSnO6

nnanOan

=

4n-14Sn

=

2n2-12nSn的深入认识课外探索1、已知等差数列16，14，12，10，…(1)前多少项的和为72？(2)前多少项的和为0？(3)前多少项的和最大？2、求集合的元素个数，并求这些元素的和.M

={m

|

m

=7n,n

˛

N,且m

<100}7

7=

14解：

7n

<100

\n

<

100

2所以集合M中的元素共有14个.

将它们从小到大列出，得7

,

2·7,

3·7,

4·7,

,

14

·

7,即

7，14，21，28，…，98这个数列是成等差数列，记为{an

}

a1

=

7,

a14

=

98,

n

=142=

735.14

·(7

+

98)\

S14

=2nS=

n（a1

+

an

)答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.3、已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.证明：将成等差数列的三条边的长从小到大排列，它们可以表示为a-d,

a,

a+d(这里a-d>0,d>0)由勾股定理，得到解得(a

-

d

)2

+

a2

=

(a

+

d

)2a

=

4d从而这三边的长是3d,

4d,

5d,因此，这三