2021-2022学年北京钱库高级中学高三数学理联考试题含解析

2021-2022学年北京钱库高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=，若数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4） B．（，4） C．（2，4） D．（1，4）参考答案：C【考点】数列的函数特性．【分析】函数f（x）=，数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），且{an}是递增数列，可得，解出即可得出．【解答】解：函数f（x）=，数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），且{an}是递增数列，∴，解得2＜a＜4．故选：C．2.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有

A．

B．

C．

D．参考答案：A当时，，此时函数递减。当时，，此时函数递增，即当，函数取得极小值同时也是最小值，所以，即，选A.3.曲线：在点处的切线恰好经过坐标原点，则点的坐标为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A4.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为(

)A．20 B．22 C．24 D．28参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a8的值，然后再由等差数列的性质得到所求的式子与a8的值相等，即可求出所求式子的值．【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12=（a4+a12）+（a6+a10）+a8=5a8=120，解得a8=24，且a8+a12=2a10，则2a10﹣a12=a8=24．故选C【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道中档题．5.“”是“函数在区间上为增函数”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A6.已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】K4：椭圆的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为：∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，∴∴m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C．【点评】本题考查椭圆、双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③

B．①④

C．①②

D．①②④参考答案：C略8.已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是(

)A．f（x）=cos2xB．函数f（x）的图象关于直线x=0对称C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的值域为[﹣，]参考答案：D【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故B正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．9.已知球的直径，是该球面上的两点，，，则三棱锥

的体积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D10.一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．84π B．96π C．112π D．144π参考答案：C【考点】球的体积和表面积．【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，利用勾股定理求出R2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：∵一个直三棱柱的每条棱长都是4，且每个顶点都在球O的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为O1，O2，则球O的球心O为线段O1O2的中点，设球O的半径为R，则R2=（）2+（）2=28，∴球O的表面积S=4πR2=112π．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数z=（i为虚数单位）的虚部为

．参考答案：1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：z==i+1的虚部为1．故答案为：1．12.钝角中，若，，则的最大值为

.

参考答案：13.二维空间中圆的一维测度(周长)，二维测度(面积)；三维空间中球的二维测度(表面积)，三维测度(体积)；试类比观察，若四维空间中“超球”的三维测度为，猜想其四维测度________．参考答案：14.过点（－2，0）且垂直于直线2x-6y+l=0的直线的方程是

。参考答案：15.在数列{an}中，若存在一个确定的正整数T，对任意n∈N*满足an+T=an，则称{an}是周期数列，T叫做它的周期．已知数列{xn}满足x1=1，x2=a（a≤1），xn+2=|xn+1﹣xn|，若数列{xn}的周期为3，则{xn}的前100项的和为．参考答案：67【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出x3=1﹣a，x4=|1﹣2a|，且x4=x1，从而得a=0或a=1．由此能求出{xn}的前100项的和．【解答】解：由xn+2=|xn+1﹣xn|，得x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，∵数列{xn}的周期为3，∴x4=x1，即|1﹣2a|=1，解得a=0或a=1．当a=0时，数列为1，0，1，1，0，1，…，∴S100=2×33+1=67．当a=1时，数列为1，1，0，1，1，0，…，∴S100=2×33+1=67．综上：{xn}的前100项的和为67．故答案为：67．【点评】本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性和分类讨论思想的合理运用．16.若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为______．参考答案：[-1,1]17.已知向量的夹角为,，,则

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，是椭圆上任意一点，是椭圆的左焦点，直线的方程为。（1）求证：直线与椭圆有唯一公共点；（2）设点与点关于直线对称，当点在椭圆上运动时，判断直线是否过定点，若直线过定点，求出此定点的坐标；若直线不过定点，说明理由。参考答案：（1）联立方程组，消去得：，又得，代入得：，因为：，所以原方程组有只有一组解，所以直线与椭圆有唯一公共点；（2）点的坐标为，过点且与直线垂直的直线方程为，解方程组得，所以点的坐标是，当时，，所以直线的方程为，即，过定点。当时，，此时点的坐标为，直线过定点，综上：直线过定点。19.（12分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求实数k的值；（2）设g（x）=log4（a?2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．参考答案：考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由f（x）=f（﹣x），化简可得x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程有且只有一个实根，且a?2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．解答： 解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（﹣x），∴，化简得，即x=﹣2kx对一切x∈R恒成立，∴．（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，化简得：方程有且只有一个实根，且a?2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一个正根，设g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=﹣1＜0，则需满足，此时有；（舍去）．③当a＞1时，又g（0）=﹣1，方程恒有一个正根与一个负根．综上可知，a的取值范围是{}∪[1，+∞）．点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于基础．20.（本小题满分14分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知，，在底面的射影是线段的中点．（Ⅰ）证明：在侧棱上存在一点，使得⊥平面，并求出的长；（II）求二面角的余弦值．参考答案：【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．G5G11答案（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）解析：(Ⅰ)证明:连接AO,再中,作于点E,因为,所以,因为,所以,所以,所以，又得.(Ⅱ)如图,分别以OA,OB,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,由,得点E的坐标是,由(Ⅰ)知平面的一个法向量为设平面的法向量是,由得可取,所以.【思路点拨】(Ⅰ)连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以证明．在RT中，利用直角三角形射影定理得出EO．(Ⅱ)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是，利用夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．21.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（Ⅱ）判断变量与之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．参考答案：解：（Ⅰ）由题意知,又由此得故所求回归方程为.（Ⅱ）由于变量的值随的值增加而增加,故量与之间是正相关.（Ⅲ）将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为(千元).略22.已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R，（e≈2.718）．（1）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有极值1，求a的值；（2）若函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）F（x）=ax﹣lnx，（x＞0），，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出；（2）解法1：由函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，可得在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；解法2：由函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，可得对?x∈（0，1），（*）恒成立，由x∈（0，1），可得cos（x﹣1）＞0，对a分类讨论：当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式?在（0，1）上恒成立，设h（x）=xcos（x﹣1），利用其单调性即可得出．（3）证法1：由（2）知，当a=1时，G（x）=sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）=0，?sin（x﹣1）＞lnx．对任意的k∈N*有，可得，因此，利用对数的运算性质、“累加求和”即可得出；证法2：利用导数先证明当时，sinx＜x，由于对任意的k∈N*，，而．可得，利用“累加求和”即可证明．解答： 解：（1）∵F（x）=ax﹣lnx，（x＞0）∴，①若a≤0，则对任意的x∈（0，+∞）都有F'（x）＜0，即函数F（x）在（0，+∞）上单调递减，函数F（x）在（0，+∞）上无极值；②若a＞0，由F'（x）=0得，当时，F'（x）＜0；当时，F'（x）＞0，即函数F（x）在单调递减，在单调递增，∴函数F（x）在处有极小值，∴=，∴a=1．（2）解法1：∵函数G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数，且