线性系统的可控性和可观性

线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。关键词:线性系统；可控性；可观性LinearsystemcontrollabilityandobservabilityHouShiboLiuYingruiWanglinlinLinHuanAbstact:Controllabilityoflinearsystemsandcontrolisthemostbasicconceptsoflinearsystems.Thispaperstartedfromthisbasicconcept,introducedtheformoflinearsystemcontrollabilityandobservabilityofthestandardnormalform,andthesystemcontrollabilityandobservabilitycriterionforadetaileddescription.Thisstudyisbeneficialtothelinearsystemcontrollabilityandobservabilityofknowledgehaveabetterunderstandingofthefurtherstudyofmoderncontroltheoryprovidesasolidfoundation,throughsummarizedtherelevantknowledgeforthefutureoflearningStudyprovidesagoodmethod.Throughwhichalargenumberoflearningandapplicationofadvancedmathematics,appliedmathematicscanimproveawarenessoftheproblemsolvingandcapacity-related.Keywords:Linearsystem；Controllable；Observability0引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制(转移)到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断(识别)系统的初始状态。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的［1。1可控性能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关，所以只需从状态方程的研究出发即可。

1.1线性连续定常系统的可控性定义线性连续定常系统x=Ax+Bu （1）如果存在一个分段连续的输入u（t）,能在有限时间区间［七，七］内，使系统由某一初始状态x（t0），转移到指定的任意终端状态x（tf），则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的［2。1.2线性定常连续系统的可控性判据线性连续定常单输入系统x=Ax+bu （2）其可控的充分必要条件是由A,b构成的能控性矩阵M=bAbA22b…An-1J （3）满秩，即rankM=n。否则当rankMvn时，系统为不能控的。下面来推导系统状态完全能控的条件，在不失一般性的条件下，假设终端状态x（tf）为状态空间的原点，并设初始时间为零，即仃。。方程（1）的解为x(t)=eAtx(0)+jteA(t-t)bu(t)dT由能控性定义，可得x(tf)=0=eAtfx(0)+\lfeA(t疽)bu(T)dT（4）（5）x(0)=-jtfe-atbu(T)dT（4）（5）0注意到e-AT可写成e-at逆a(t)Ak

kk=0将方程（5）代入方程将方程（5）代入方程（4）中，可得（6）x(0)=-!Akbjf气(t)u(t)dT（6）jtfak(t)u(t)di=pk那么方程（6）变为x(0)=-EAkbpkk=0

rp01p(7)Ab…An-ibA.1(7)n-1- ,1 n-1要是系统能控，则对任意给定的初始状态珥)，应能从式⑺解出p0,P,- ,1 n-1因此，必须保证M因此，必须保证M=bAbA2b…An-ib1的逆存在，亦即其秩必须等于n。同理，可以证明，对于多输入系统x=Ax+Bu (8)其能控的充分必要条件是由A,B构成的能控性矩阵M=BABA2B An-iB^ (9)满秩，即rankM=n。否则当rankMvn时，系统为不能控的。需要注意的是，对于单输入系统，M阵为nxn的方阵，rankM=n与M的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算M的行列式的值是否为零来判断M是否满秩。而对于多输入系统，此时M为nxnr的矩阵，其秩的确定一般的说要复杂一些。由于矩阵M和Mt积MMt是nxn方阵，而它的秩等价于M的秩，因此可以通过计算方阵MMt的秩来确定M的秩［3］。2可观性控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到，于是便提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题2.1可观性概念能观性表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即(10)x=Ax;x(t)=xy=Cx0 0(10)如果对任意给定的输入u(t)，在有限的观测时间间广°，使得根据心七］期间的输出的能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观的。若系统的每一个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观测的囹。2.2线性定常连续系统的可观性判据

线性连续定常系统线性连续定常系统(11)x=Ax

y=Cx(11)其能观的充分必要条件是由4,C构成的能观性矩阵C>TCAN= . (12)CA1满秩，即rankN=n0否则当rankN<n时，系统为不能观的。证明由式(11)可以求得=CeAtx(Q)由于 e^t=(t)Akkk=0我们可得CA: (13)CA.n-1y(t)=Sa(gi顷0)

k

k=0CA: (13)CA.n-1=la(t)Ia(t)Ia(t)I-0 1 n-1因此，根据在时间区间f<t<t测量到的y(t),要能从式(13)唯一地确定尤"),0f o即完全能观的充要条件是矩阵C>TCAN=CA1满秩。同样，对于单输出系统，N阵为nxn的方阵，rankN=n与N的行列式的值不为零是等价的，故可以通过计算N的行列式的值是否为零来判断N是否满秩。而对于多输出系统，此时N^jnmxn的矩阵，由于矩阵和N积是〃x〃方阵，而它的秩等价于N的秩，因此可以通过计算方阵的秩来确定N的秩。3可控标准型和可观标准型

由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表达也不是唯一的。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式：如约旦标准型，对于状态转移矩阵的计算，能控性和能观性分析是十分方便的。能控标准型对于状态反馈来说比较方便，而能观标准型则对于状态观测器的设计及系统辩识比较方便。无论选用哪种标准形，其实质都是对系统状态空间表达式进行非奇异线性变换，而且关键在于寻找相应的变换矩阵T。这样做的理论依据是非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性，能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数为：W（s）=七E+匕2眼一任吃s+b° （14）sn+asn-\h fas+a的系统，可以证明，当其无相消的零极点时，系统一定能控能观，则可直接由传递函数写出其能控、能观标准型［5。3.1可控标准型当系统的传递函数如式（14），则可直接写出其能控标准型：10:0—a10:0—a1b20 ••1 ••: ••0一0:「尤］1尤:2+「0「000 ..1Kx::n-1a••-ax12n-1」nn—1（15）如果给定的能控系统是用状态空间表达式描述的，且并不具有能控标准型的形式，则可用下面的方法将其化为能控标准型。设系统的状态空间表达式为：x=Ax+buy=ex若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换，x=Txy=ex若系统是完全能控的，则存在线性非奇异变换，x=Tx「1 0］l I"”-11.T=lAn-1bA”—2b b」：caa •.23aa…a1其中a,为系统特征多项式中对应项系数。使其状态空间表达式（16）化为：（16）（17）（18）=Ax+buy=ex（19）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"0 1 0 … 0\o"CurrentDocument"_ 0 0 1 …0（20）其中A="4S """（20）0 0 0 …1一a 一a 一a …一aL0 1 2 n-1」o0（21）b=T-1b=0（21）c:1C=CT=b0bb2 b1]（22）x000…一a「x]C=CT=b0bb2 b1]（22）x000…一a「x]b1010x100…一axb2121:=010…一a:+bu22x:::… :x:n-1n-1X000…一aLx」bnL n-1」nLn-1」能控的。3.2可观性标准型当系统的传递函数如式（14）,则可直接写出其能观标准型:y=[}00…1L（23）当给定的能观系统是用状态空间表达式描述的，且并不是能观标准型，同样可用方法将其变换为能观标准型。设系统的状态空间表达式为：卜面的x=Ax+buy=ex（24）若系统是完全能观的，则存在线性非奇异变换，x=Tx（25）T-1=oa

n-11a2a3（26）其中a,为系统特征多项式中对应项系数。使其状态空间表达式（14）化为：-〜一〜~=Ax+bu〜〜y=cx其中000其中000・・.—aA=T-1AT=100100・・・・・.0—a1—a°°,:_0:0:0・・.・・.rb].2:gJn-1」0(27)b(28)(29)〜 1(28)(29)b=勺b=b2:bLn-1」C=CT=lo00...1]4结束语运用归纳总结的方式介绍了线性系统的可控性和可观性的概念，标准形式及他的判据，并给出了证明的过程。从而可以让我们对线性系统的能控性的知识体系有一个比较全面的了解，对于学习自动控制的初学者来说是一种较好的方法。在介绍判据内容时我们归纳了一些比较实用的判断方法，特别是对于矩阵的秩比较大