培优指数函数与对数函数

指数函数和对数函数一、1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)（当n为奇数且n∈N*时），,x＝±\r(n,a)（当n为偶数且n∈N*时）.))(2)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))n为偶数.))2．有理数指数幂(1)幂的有关概念：①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②负分数指数幂：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1当x<0时，y>1；在R上是增函数在R上是减函数二、对数概念如果ax＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：ax＝N⇒logaN＝x负数和零没有对数,1的对数是零：loga1＝0底数的对数是1：logaa＝1,对数恒等式：alogaN＝N运算性质loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)推广：logambn＝eq\f(n,m)logab；logab＝eq\f(1,logba)2.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数一、选择题1.设函数，若对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（）A．B．C．D．2.函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时，=（）A.B.C.D.3.设1<a<b<a2，则在四个数2，logab，logba，logaba2中，最大的和最小的分别是（）（A）2，logba（B）2，logaba2（C）logab，logba（D）logab，logaba2二、填空4.已知a>0，f(x)=，则f()+f()+…+f()=_________。5.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是________________________.6.先将函数f(x)=ln的图像作关于原点的对称变换，然后向右平移1个单位，再作关于y=x的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解析式是。7.已知函数y=log[ax2+2x+(a–1)]的值域是[0，+∞)，则参数a的值是。试卷答案1.D2.B3.A4.5.或6.y=ex7.1–8.解（1）因为是R上的奇函数，所以从而有…..3分（2）由（1）知由的单调性可推知在R上为减函数…….3分（3）解法一：由（1）知由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式等价于…….2分因是R上的减函数，由上式推得即对一切从而………….…………2分9.解析：（1）由，知，令．．．．．．．．．．．．1分记，则的对称轴为，故有：①当时，的最小值②当时，的最小值③当时，的最小值综述，．．．．．．．．．．．．7分（2）当时，．故时，在上为减函数．所以在上的值域为．．．．．．．．．．．．．9分由题，则有，两式相减得，又所以，这与矛盾．故不存在满足题中条件的的值．10.解析：设，则 在区间上恒有定义即在上恒成立． 当时，于上恒成立． 当时，的对称轴，在上单调增加，所以， ， 由，，所以． 当时，于上恒成立，则， 由，，得 ，即； 由，得， 解得或，所以，或． 综上，．11.解析：（I），…………1分

（II）证明：由（I）知：，令

（III）对于[3，4]上的每一个x的值，不等式恒成立，即：恒成立…………10分由（II）知：在R上单调递增，内单调递增，显然在[3，4]上递增，…………12分，

…………14分

12.（1）增函数，用定义证明.（2）设，当，时由（1）知在上是增函数∴在上是增函数∴在上的最小值为（3）对任意恒有，即对恒成立∴，而在上是减函数∴，∴13.13考点： 对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），可得lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3．lgy=3x（3﹣x），即可得出．（2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数，即可得出，（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为．解答： （1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），∴lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3．∴lgy=3x（3﹣x），∴f（x）=y=103x（3﹣x），x∈（0，3）．（2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数．∴，∴f（x）的值域为．（3）由（2）可知：函数f（x）的递减区间为．点评： 本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.解：(Ⅰ)∵∴函数的图象的对称轴方程为∴在区间[2，3]上递增。依题意得即，解得∴(Ⅱ)∵∴