第九讲三角函数与恒等变换

商数关系：sinα＝tancos—二三四五六角sin－sinsin－sincoscoscoscos－cos－cossin－sintan－tan－tantancos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsin cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsin ＝ tanα－tanβ＝1＋tanαtansin2α＝2sinαcosα；

tanα＋tanβ＝1－tanαtan＝tan2α＝2tanα. 222

222

＝函数f(x)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tan ＝af(α)＝a2＋b2cos(α－φ)(其中tanbsinα ；cosα 2

1-tan2

，

（2

1+tan2

1-tan2（ （ （ 如要发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如2ααβαβ2βαβαβ，2αβ2αββ2αβ2αββ结构上的差异，再选用适当的，消去差异，促进同一．1、化简sin2αsin2βcos2αcos2β1cos2αcos22原式sin2αsin2βcos2αcos2β12cos2α1)(2cos22sin2αsin2βcos2αcos2β1(4cos2αcos2β2cos2α2cos2sin2αsin2βcos2αcos2βcos2αcos2β2

sin2αsin2βcos2αsin2βcos2β2sinβcos2β111 cos2原式sin2αsin2β1sin2αcos2βcos2

cos22cos2βsin2α(cos2βsin2β)1cos2αcos22cos2βsin2αcos2β1cos2αcos22cos2βcos2β(sin2α1cos2

221(12sin2 cos2βsin 1cos2β1cos2β 原式1cos2α1cos2β1cos2α1cos2β1cos2αcos2 1(1cos2αcos2βcos2αcos2β)1(1cos2αcos2βcos2αcos2β)1cos2αcos2β11 原式sinαsinβcosαcosβ22sinαsinβcosαcosβ1cos2αcos22

cos2(αβ)1sin2αsin2β1cos2αcos2 cos2(αβ)1cos(2α2β)cos2(αβ)12cos2(αβ)1

4 4 4

sinsin3

cos3

2

4 =

4 4 4 0

3

4

2 , 4 sin12345 13 5 2cos

3sin

633、已知cossin 6 cossin43 6 3，则sin cos 4335231 4 43 4

sin

3sin4 )sin(α7π)sin(α)

6 2 2 解析：因为1sincos2sin2cos22cos22cos 2 2sin 2 2sin sin 所以tan2,于是

2 24 2== 2

cos1sin2 则根据ysinx在 2

12 ，代入①可得：cos 51313 2cos2133cos2

65

2

4sin(απ(0, (0,2

sin2αcos2α(0, π，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)(sinα＋cos(0,2∴cos ，sin sin(απ

2sinα＋cos ＝ ＝sin2αcos2α

sinα＋cos 7、已知在ABC3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则角C3cosA4sinB3cosA4sinB

3sinA4cosB23cosA4sinB29sin2A24sinAcosB16cos2B9cos2A24sinBcosA16sin2B即91624sinAcosBsinBcosA24sinAB12sin(AB)2ABC sinCsinCsinABC或C若C

0,

sinB0,cosA3,16 6 3cosA4sinB1C68、已知α1sinα

1sin1sin 1sinα1sin α是第三象限角，cosα0原式1sinα1sinα2tanα（注意象限、符号 例9、设 ， ，且tan1sin2，则αβ(0, (0, 21sin

4

1tan ) 1tan

(0,)， (, 4 12 1

cos2sin2=1tan(sincos)2

=1

1 11tan5tan34(tan5tan cos2cos证明：左边＝cos5cos3

sin 4sin2cos2cos 4sin

∴左边＝右边即等式成立3tanBtan证明：tan(A－B)＝tanAtan1tanAtansin

2 12

tan2tan＝23tan2

cos23sin2cos2

sinBcos2cos2B3sin2 2sinBcos sin sin4cos2B6sin2

2sin2 cos54513A+B+C=π，求证：sinA+sinB+sinC=4cosAcosBcos ∴左边=2sinABcosABsin(A+B2sinAB(cosAB+cosAB)=2sinAB2cosAcos =4cosAcosBcos

14、在△ABC中，若sinAcos2CsinCcos2A3sinB，求证：sinA＋sinC＝2 证明：∵sinA·cos2C＋sinC·cos2A＝3 ∴sinA·1cosC＋sinC·1cosA＝3 15y2x1x2y24AB两点，设、分别是以OA为终边的角，则sin( 例16、函数f(x)4cos2xcos(πx)2sinx|ln(x1)|的零点个数 f(x4cos2xcos(πx2sinx|ln(x1 2(1cosx)sinx2sinx|ln(x1)sin2x|ln(x1)f(xysin2xy|ln(x1|图象的交点的个数，ysin2xy|ln(x1)|2所以函数f(x)有2个零点.1、sin15cos15

2、计算sin110°sin

3、求值：tan200tan4003tan200tan400 2)

msinα＋cos ＝tanβ，且β－α＝，则 mcosα－sin 7、函数y|sinx|cosx1的最小正周期与最大值的和 ，tan1．则cos的值 9、设α（0π，若cos(απ)4,则sin(2α