几何与代数课件

相似的应用求A11.设P1AP=,P=,=14111002,A=PP1

A11=(PP1)(PP1)(PP1)…(PP1)

11=100211=P11P1

A与

相似相似的应用求A11.设P1AP=,P=,§5.2相似矩阵一.矩阵的相似设A、B是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使P1AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B，P为相似变换矩阵。注1.相似是等价的特例：相似必等价，反之不然。

例1.证明矩阵与相似。证明：§5.2相似矩阵一.矩阵的相似设A、B是n阶方阵，若有注2.

反身性:A~A;

对称性:A~B

B~A;

传递性:A~B,B~CA~C.

矩阵间的相似关系是一种等价关系。P1AP=BPBP1=A等价关系下的不变量：矩阵的秩相似关系下的不变量：矩阵的秩性质1.若A~Br(A)=r(B)性质2.A~B|E-A|=|E-B|，特征多项式相同说明(1).|E-A|=|E-B|，意味着矩阵A与B有相同的特征值、迹和行列式。问题？？相似矩阵对应于同一特征值的特征向量？注2.矩阵间的相似关系是一种等价关系。P1AP=BPBP性质3.若A~B，则（1）kA~kB （2）Ak

~Bk（k是正整数）（3）A1~B1（A、B均可逆）（4）f(A)

~f(B)（f是多项式）且具有相同的相似变换矩阵。说明(2).特征多项式相同的矩阵不一定相似。例2.

特征多项式都是(1)2

证1：若P

–1AP=B，则A=PBP–1=E=B。矛盾!1001A=1011,B=证2：若AB,则AEBE。但r(AE)r(BE)矛盾!性质3.若A~B，则说明(2).特征多项式相同的矩阵特征多项式相同是相似的必要而非充分的条件。注3.

方阵A与B相似特征多项式和特征值相同

tr(A)=tr(B)，|A|=|B|r(A)=r(B)相似关系下的不变量为：特征值,迹,行列式,

秩等价关系下的不变量为：秩等价关系下的最简形为：等价标准形相似关系下的最简形为？？？？？只是必要条件特征多项式相同是相似的必要而非充分的条件。注3.方阵A与B例4.设矩阵，求x、y例3.设矩阵，求a、b解.由A~B|A|=|B|b=1tr(A)=tr(B)a=0解1.由A~B|A|=|B|-2(x–2)=-2ytr(A)=tr(B)x–1=y+1方程相同!!!解2.1=-1，2

=2，3=y由|-E-A|=0求x；tr(A)=tr(B)求y。x=0,y=-2解3.A有特征值2=-2，则B也有，y=-2；例4.设矩阵A~==P1AP(P

可逆)10…002…0…………00…nP=(p1,…,pn)可逆p1,…,pn线性无关P1AP=AP=P

(Ap1,…,Apn)

=(1p1,…,npn)相似关系下的最简形为？？？？？Api=ipi,i=1,…,n

1.定理5.3.n阶方阵A与对角矩阵相似

A有n个线性无关的特征向量。二.方阵与对角矩阵相似的充要条件A~==P1AP(P可逆)10注1.

若n阶方阵A有l(<n)个线性无关的特征向量，则A不能与对角矩阵相似.证3:1=2=1nr=1<2A不与对角阵B相似。1001,A不与B相似。例2.A=1011,B=EA=0010注2.不是每个方阵都能够与对角矩阵相似的。如果矩阵A与对角阵相似，则的对角线由A的特征值构成，变换矩阵P由A相应的特征向量为列；若不计i排列顺序，则是唯一的，称为A的相似标准形。注1.若n阶方阵A有l(<n)个线性无关的特征向量，则A2.定理5.4.等价关系下的最简形为：等价标准形相似关系下的最简形为：相似标准形或J与对角阵相似不与对角阵相似问题???如何判断A是否有n个线性无关的特征向量？证（归纳法）s=1时显然成立；

设k=s1时成立，下面证k=s

时也成立。1,2,…,s——A的特征向量1,2,…,s——A的互异的特征值则1,2,…,s线性无关。2.定理5.4.等价关系下的最简形为：等价标准形相似关系设k11

+k22

+…+ks1s1+kss=

k1s1+k2s2+…+ks1ss1+ksss=

k111+k222+…+ks1s1s1+ksss=

A(k11+k22+…+ks1s1+kss)=

k1(1s)1+k2(2s)2+…+ks1(s1s)s1=

k1(12)=k2(23)=…=ks1(s1s)=0k1=k2=…=ks1=0kss=

ks=0推论5.4.Ann有n个互异特征值1,…,n

A~。

例5.123045006~100040006设k11+k22+…+ks1s1+例6.设A=相似于对角矩阵

a

x

y

0a

z

00a|EA|=(a)3

则(aEA)x=有3个线性无关的解,故3r(aEA)=3,即r(aEA)=O

则aEA=0

x

y

00

z

000=O即x=y=z=0例7.若A=相似于对角矩阵

a

x

y

0a

z

00b|EA|=(a)2(b)则(aEA)x=有2个线性无关的解,例6.设A=相似于对角矩aEA=0

x

y

00

z

00ba即x=0故3r(aEA)=2,即r(aEA)=1,定理5.5.设1,2,…,s

互不相同则{11,…,p1

,12,…,q2

,

…,

1s,…,ts}1

2

s

L.i.L.i.L.i.线性无关设(c1111+…+cp1p1)+(c1212++cq2q2)+…+(c1s1s+…+crsrs)=01s

2A1=11A3=33A2=22于是1

+2

+…+s=0aEA=0xy即x=0故3定理5.6.n阶方阵A与对角阵相似A的每个ni重特征值i有ni个线性无关的特征向量，即

r(iEA)=nni,

i=1,,t

其中n1+n2++nt

=n代数重数几何重数等于i的(特征值i)注3.由定理5.4-5，A的属于不同特征值的线性无关的特征向量合在一起仍线性无关。定理5.6.n阶方阵A与对角阵相似A的每个ni重特征求|E–A|=0的根有重根吗?无A可以相似对角化有r(iEA)=nni?否A不能相似对角化是求n个线性无关的特征向量1,…,n,令P=(1,…,n)P–1AP=diag(1,…,n)注:特征向量要与特征值的顺序相对应相似对角化问题解题步骤A与相似i(ni重)，有r(iEA)=nni求|E–A|=0的根有重根吗?无A可以相似对角化解:|E–A|=(+1)(–2)2.1=–1,2=3=2.例8.

设，求可逆阵P和对角阵，使得P–1AP=；并计算Ak。(2E–A)x=0的基础解系：1=(1,4,0)T