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文档简介
函数的导数是怎么算出来的第1页,课件共21页,创作于2023年2月图一微分的几何意义第2页,课件共21页,创作于2023年2月所以
而PQ为曲线若曲线的弧长为
在M点处的切线MT上的纵坐标的增量。当自变量很小时,就可以用切线段上的增量来近似代替曲线段上的增量。
则有
上式称为弧的微分公式,由图可知:第3页,课件共21页,创作于2023年2月当曲线上的N点无限地(想象力比知识重要!)接近M点时,即
时,曲线的弧长为转化为直线(切线MP)。此时,
根据导数与微分的关系、导数与积分的关系,由基本初等函数的求导公式和积分公式,可以直接推出其微分和积分公式。(增量等于微分)
第4页,课件共21页,创作于2023年2月函数的导数我们是这样定义的: 设函数在点x0处及其近旁有定义,当自变量x在x0处有增量时,相应地函数y有增量。如果 的极限存在,这个极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或称为变化率),记为:
如果极限不存在,就说函数y=f(x)在点x0处不可导。第5页,课件共21页,创作于2023年2月
根据导数的定义,求函数y=f(x)的导数的三个步骤:
2.算比值:
1.求增量:
3.取极限:
例1求函数 (c是常数)的导数。解:(1)求增量:(2)算比值:
(3)取极限:这就是说,常数的导数等于零求导举例:二、函数的导数怎样计算呢?第6页,课件共21页,创作于2023年2月例2求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:同理可得:第7页,课件共21页,创作于2023年2月
例2求正弦函数的导数解:因为所以即(sinx)´=cosx同理可得:(cosx)´=-sinx采用类似的方法可以求得其他函数的导数.如下表第8页,课件共21页,创作于2023年2月导数公式
微分公式
积分公式
第9页,课件共21页,创作于2023年2月第10页,课件共21页,创作于2023年2月(一)、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积
xy=f(x)定积分是怎么计算出来的第11页,课件共21页,创作于2023年2月思想方法在区间[a,b]中任取若干分点:把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间:过各分点作垂直于x轴的直线段,把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形,其中第i个小曲边梯形的面积记为xy0y=f(x)(1)分割:将曲边梯形分成许多细长条第12页,课件共21页,创作于2023年2月(2)取近似:将这些细长条近似地看作一个个小矩形xy0y=f(x)ξif(ξ)i第13页,课件共21页,创作于2023年2月(3)求和:小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式它就是曲边梯形面积A的近似值,即xy0y=f(x)ξif(ξ)i第14页,课件共21页,创作于2023年2月(4)取极限:当分割无限时,所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。分割越细,就越接近于曲边梯形的面积A,当可见,曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)ξif(ξ)i小区间长度最大值趋近于零,即0(表示这些小区间的长度最大者)时,和式的极限就是A,即第15页,课件共21页,创作于2023年2月取极限二、定积分的定义定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点:分划任取作和式近似求和记第16页,课件共21页,创作于2023年2月存在,且极限值I不依赖于的选取,也不依赖于[a,b]的分法,则称I为f(x)在[a,b]上的定积分(简称积分),记作,即其中:f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限,b叫做积分上限;[a,b]叫做积分区间。第17页,课件共21页,创作于2023年2月如果f(x)在[a,b]上的定积分存在,也称f(x)在[a,b]上可积。否则,称f(x)在[a,b]上不可积。注:定积分的值只与被积函数以及积分区间有关,而与积分变量的记法无关。即第18页,课件共21页,创作于2023年2月设在区间上连续,是它的任意一个原函数,则有牛顿—莱布尼兹公式记作
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