函数的无穷级数原理

函数的无穷级数原理第1页，课件共33页，创作于2023年2月第八章第一节一、区域二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性机动目录上页下页返回结束多元函数的基本概念第2页，课件共33页，创作于2023年2月一、区域1.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为第3页，课件共33页，创作于2023年2月在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动目录上页下页返回结束第4页，课件共33页，创作于2023年2月2.

区域(1)内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E

的边界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E的内点必属于E,

E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.第5页，课件共33页，创作于2023年2月(2)

聚点若对任意给定的,点P

的去心机动目录上页下页返回结束邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)第6页，课件共33页，创作于2023年2月D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集E

E

,则称E为闭集；

若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;

连通的开集称为开区域,简称区域;机动目录上页下页返回结束。。

E的边界点的全体称为E的边界,记作E;第7页，课件共33页，创作于2023年2月例如，在平面上开区域闭区域机动目录上页下页返回结束第8页，课件共33页，创作于2023年2月

整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动目录上页下页返回结束o

对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,

界域.否则称为无第9页，课件共33页，创作于2023年2月3.n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即机动目录上页下页返回结束一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.第10页，课件共33页，创作于2023年2月的距离记作中点a

的

邻域为机动目录上页下页返回结束规定为与零元O的距离为第11页，课件共33页，创作于2023年2月二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式机动目录上页下页返回结束第12页，课件共33页，创作于2023年2月定义1.

设非空点集点集D

称为函数的定义域;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作机动目录上页下页返回结束第13页，课件共33页，创作于2023年2月例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球第14页，课件共33页，创作于2023年2月三、多元函数的极限定义2.

设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有机动目录上页下页返回结束对任意正数

,总存在正数,切第15页，课件共33页，创作于2023年2月例1.

设求证：证:故总有机动目录上页下页返回结束要证第16页，课件共33页，创作于2023年2月例2.

设求证：证：故总有要证机动目录上页下页返回结束第17页，课件共33页，创作于2023年2月若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.讨论函数函数机动目录上页下页返回结束第18页，课件共33页，创作于2023年2月例4.

求解:因而此函数定义域不包括x,y轴则故机动目录上页下页返回结束第19页，课件共33页，创作于2023年2月仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.

二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束第20页，课件共33页，创作于2023年2月四、多元函数的连续性定义3

.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数机动目录上页下页返回结束连续.连续,第21页，课件共33页，创作于2023年2月例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.第22页，课件共33页，创作于2023年2月定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则机动目录上页下页返回结束*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)第23页，课件共33页，创作于2023年2月解:原式例5.求例6.求函数的连续域.解:机动目录上页下页返回结束第24页，课件共33页，创作于2023年2月内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集

2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束第25页，课件共33页，创作于2023年2月有3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续P11题2;4;5(3),(5)(画图);8P72题3;4机动目录上页下页返回结束思考与练习第26页，课件共33页，创作于2023年2月解答提示:P11题2.称为二次齐次函数.P11题4.P11题5(3).定义域P11题5(5).定义域机动目录上页下页返回结束第27页，课件共33页，创作于2023年2月P12题8.间断点集P72题3.定义域P72题4.令y=kx，若令机动目录上页下页返回结束,则可见极限不存在第28页，课件共33页，创作于2023年2月

作业P115(2),(4),(6)6(2),(3),(5),(6)7，9,10第二节目录上页下页返回结束第29页，课件共33页，创作于2023年2月备用题1.设求解法1令机动目录上页下页返回结束第30页，课件共33页，创作于2023年2月1.设求解法2