一元函数积分学及其应用ch3 23不定积分

第3章一元函数积分学及其应用2009年12月6日1南京航空航天大学理学院数学系第1节

定积分的概念，存在条件与性质第2节

微积分基本公式与基本定理第3节

两种基本积分法第4节

定积分的应用第5节

反常积分第6节

几类简单的微分方程第2节微积分基本公式与基本定理2009年12月6日2南京航空航天大学理学院数学系微积分基本公式微积分基本定理不定积分2.3不定积分微分法:

F

(

x)

(

?

)积分法:

(

?

)

f

(

x)互逆运算原函数与不定积分的概念基本积分公式不定积分的性质2009年12月6日3南京航空航天大学理学院数学系1

原函数与不定积分的概念定义

1

若在区间

I(有限或无穷)

上定义的两个函数F

(x)及f

(x)满足则称F

(x)为f

(x)在区间I上的一个原函数例sin

x

cos

x

(x

R)sin

x是cos

x在R

上的原函数.xln

x

1

(

x

0)x2009年12月6日4南京航空航天大学理学院数学系ln

x

是1

在区间(,0)和(0,)内的原函数.问题1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?若原函数存在,是否唯一?若不唯一有多少个

它们之间有什么联系？对于第个问题有原函数存在定理若f

(

x)

C(

I

)

f

(

x)在I上一定存在原函数.(后面证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数.2009年12月6日5南京航空航天大学理学院数学系问题在什么条件下,一个函数的原函数存在?若原函数存在,是否唯一?若不唯一有多少个它们之间有什么联系？2009年12月6日6南京航空航天大学理学院数学系例sin

x

cos

xsin

x

C

cos

x（C为任意常数）对于第个问题

若原函数存在

原函数有无穷多问题在什么条件下,一个函数的原函数存在?若原函数存在,是否唯一?若不唯一有多少个它们之间有什么联系？f

(x)的任意两个原函数之间相差一个常数由第章第节的推论4.2如果函数F

(x),G(x)在区间I上可微，且F

'(x)

G

'(x)

F

(x)

G(x)

C

,x

I

,其中C为常数.2009年12月6日7南京航空航天大学理学院数学系积分常数

{F

(

x)

C

F

'(

x)

f

(

x),

x

I

,C

R}积分号被积函数f

(

x)dx被积表达式积分变量定义2

若f(

x)在区间I内存在原函数,则f(

x)在I内的原函数全体称为f

(

x)的不定积分，记作通常简写成(C

为任意常数)2009年12月6日8南京航空航天大学理学院数学系9注意2.

求不定积分的运算与微分运算是互逆的.由不定积分的定义，可知1.积分号“

”是一种运算符号，它表示求已知函数的所有原函数；求已知函数的所有原函数即不定积分的方法称为积分法.dx

d

f

(x)dx

d[

f

(x)dx]

f

(x)dx,

dF

(

x)

F

(

x)

C

.先积后导全消掉,先导后积常数要.f

(

x),

F

(

x)dx

F

(

x)

C例1

求

x5dx.

6

x6

解

x5

,6x6

x5dx

C

.解1例2

求

dx.1

x2,11

x2

arctan

x

12009年12月6日10南京航空航天大学理学院数学系dx

arctan

x

C

.

1

x2不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的平行曲线族.

f

(x)dx

的图形yxox0的积分曲线.的所有积分曲线组成2009年12月6日11南京航空航天大学理学院数学系求f

(x)的过(x0

,y0)的积分曲线:定义

用于确定常数C的条件y

y

或

y(

x

)

yx

x0

0

0

0称为初始条件带有初始条件的求原函数问题称为初值问题02009年12月6日12南京航空航天大学理学院数学系

y

'(

x)

f

(

x)y

y

x

x0例3

求的初值问题解

y

'

2

x,

y

2

x

1

y

'

2

xC

1,

1.将初始条件

y

2代人得，x

12009年12月6日13南京航空航天大学理学院数学系故初值问题的解为

y

x2几何上在所有切线斜率等于横坐标的两倍的积分曲线中，通过点（，）的积分曲线为y

x2

1.

y

2

xdx

x2

C

,利用逆向思维x(4)

dxln

ax(5)

axdx

a

C;(6)

exdx

ex

C

1(3)

x

dx

x

C

12

基本积分公式

0dx

C1dx

x

C

ln

x

C2009年12月6日14南京航空航天大学理学院数学系(

1);(7)

cos

xdx

sin

x

C;(8)

sin

xdx

cos

x

C;(9)dx

cos2

xsec2

xdx

tan

x

C;(10)2009年12月6日15南京航空航天大学理学院数学系dx

sin2

xcsc2

xdx

cot

x

C;(11)

sec

x

tan

xdx

sec

x

C(12)

csc

x

cot

xdx

csc

x

C1(14)dx

1

x2arctan

x

C;11

x2(13)

dx

arcsin

x

C;

或＝

arccos

x

C

.或＝

arccot

x

C

.例4

求积分

x2

xdx.解

x25xdx

x

2dx

C

152

x

25177x

2

C

.

2根据积分公式（2）x dx

Cx

1

12009年12月6日16南京航空航天大学理学院数学系3不定积分的性质性质

若f

(

x)，g(

x)在区间I内存在原函数,则(1)

[

f

(

x)

g(

x)]dx

f

(

x)dx

g(

x)dx;(2)

kf

(x)dx

k

f

(x)dx.（

k

是常数，k

0)若

则2009年12月6日17南京航空航天大学理学院数学系ni

1

f

(

x)dx

ki

fi

(

x)dx解23)dx.例5

求积分

(1

x2)dx1

x22

(31

x2dx2009年12月6日18南京航空航天大学理学院数学系1

x211

x2dx

211

x2

3

3arctan

x

2arcsin

x

C例6

求积分解

x(1

x2

)dx.1

x

x2

1

x

x2

x

(1

x2

)x(1

x2

)dx

x(1

x2

)

dxx

1

x12

x2009年12月6日19南京航空航天大学理学院数学系dx

1

dx

1dx1

1

x2

arctan

x

ln

x

C

.例7 求积分

tan2

xdx.解原式=

(sec2

x

1)d

x11

sin2

x

cos2

xdx.

sec2

d

x

dx

tan

x

x

CEX1

求积分x42

dx

.

1

x23

1

x3

x

arctan

x

C

tan

x

cot

x

Cex2009年12月6日20南京航空航天大学理学院数学系x

5

C2

ln

2

1ln

2

解例8

求积分

dx.11

cos

2

x1

cos

2

x1dx

dx11

2cos2

x

12 cos2

x

1

122009年12月6日21南京航空航天大学理学院数学系dx

1

tan

x

C

.说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.内容小结1.

不定积分的概念常用恒等变形方法2009年12月6日22南京航空航天大学理学院数学系加项减项利用三角公式,代数公式,原函数与不定积分的定义基本积分表(见P

186)不定积分的性质2.

直接积分法:利用恒等变形,

积分性质

及

基本积分公式进行积分

.分项积分思考与练习提示:f

(ln

x)

e

ln