《合情推理与演绎推理》 名师获奖 省赛获奖

合情推理与演绎推理要点演绎推理的应用例1正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.(1)求证：A1B⊥AD；证明连接BD.∵三棱柱ABCA1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，∴A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C的中点，∴△A1C1D≌△BCD，∴A1D＝BD，∵G为A1B的中点，∴A1B⊥DG，又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD.(2)求证：CE∥平面AB1D.证明连接GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面ABC.∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC，∴CE∥GD.又∵CE⊄平面AB1D，DG⊂平面AB1D，∴CE∥平面AB1D.规律方法(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.所以f(x)的定义域为R.即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.要点合情推理、演绎推理的综合应用例2如图所示，三棱锥ABCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.(1)求证：O为△BCD的垂心；证明

∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC.∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，∴O为△BCD的垂心.(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.证明：连接DO并延长交BC于E，连接AE，由(1)知AD⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED，规律方法合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).跟踪演练3已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，则数列bn＝

也是等差数列.1.下面几种推理过程是演绎推理的是(

)A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质12341234解析

A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理.答案

A2.“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝

是对数函数(小前提)，所以y＝

是增函数(结论).”下列说法正确的是(

)A.大前提错误导致结论错误B.小前提错误导致结论错误C.推理形式错误导致结论错误D.大前提和小前提都错误导致结论错误1234解析

y＝logax是增函数错误.故大前提错.答案

A12343.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：___________________________；小前提：________________________；结论：________________________________.1234二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4.“如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”.证明：在△ABC中

，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________.(只填序号)1234解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误.答