高考数学压轴专题专题备战高考《平面向量》难题汇编及答案

【最新】数学《平面向量》试卷含答案一.选择题7T—>fTT1.平面向量;与了的夹角为亍，a=(2,0)，b=1,则a-2b=()A.2^3B.y/6C.0D.2【答案】D【解析】【分析】根据向量的模的计算和向量的数量积的运算即可求出答案.【详解】T•.•d=(2,0)，|°|=2TT_T—>_♦_♦rr:.a-2b=(a-2b)2=0f+4|b|2-4a-b=4+4-4x2xlxcos亍=4,:]a-2b|=2,故选：D【点睛】本题考查了向量的模的计算和向量的数量枳的运算，属于中档题.2・己知顾=4+5厶，NP=-2d+SbPQ=3(a-b)9贝【J()A.MNP三点共线C.N,P,Q三点共线【答案】B【解析】【分析】利用平面向量共线定理进行判断即可.【详解】因为NP=-2a^Sb,PQ=3(a-b)所以=NP+PQ=一2(i+Sb+3^a-b^=a+5b,因为MN=ci+5b”所以MN=NQ由平面向量共线定理可知,MN与NQ为共线向量，又因为丽与N0有公共点N,所以M、N、Q三点共线.故选:B【点睛】

本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题.常考题型.如图，在△仍仑中，AP丄AB,bC=*bB，ad=1,则AC-AD=（）A.2^3【答案】D【解析】yAC=AB+BC=AB+y/3Bb^/.ACAD=(AB+y/3Bb)AD=ABAD+43BbAb，又yAB丄4£>,:.AB•丽=0，=妈BD|-cosZADB=妈AD^=书=妈BD|-cosZADB=妈AD^=书己知菱形ABCD的边长为2,ZABC=60°,则丽•页二OA.4B・6C・2>/3D・4、/I【答案】B【解析】【分析】根据菱形中的边角关系，利用余眩定理和数量积公式，即可求出结果.【详解】如图所示，•••ZC=120。，•••3D，=2’+2,—2X2X2Xcos120°=12,ABD=2>/3,且ABDC=30°,而・而・CD=\BD\x\CD\xcos30Q2屁2xf=6,故选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题・・己知久方是平面向量,满足|^|=4,|^|<1且\3b-a\<2f则cos(a,b)的最小值是()A.HB.IC.逅D.班168816【答案】B【解析】【分析】设OA=a^oB=3b，利用几何意义知B既在以0为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图彖即可得到答案.【详解】设ok=a、oB=3b，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，由|35-万|52,知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B只能在阴影部分区域，要COS〈Z5〉最小，则<方』>应最大，此时(C此时(C。如)如学誹42+32-222x4x3故选：B.【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题・6.已知单位向量d，厶的夹角为彳，c=^+//6(A,//g/?+),若几+“=2,那么冃的最小值为（）A.72B.76c.乎D.忑【答案】D【解析】【分析】——1利用向量的数量积的运算公式，求得ab=-,再利用模的公式和题设条件，化简得到2同'=4-2“，最后结合基本不等式，求得W即可求解.【详解】由题意，向量ab为单位向量，且夹角为：，所以a-b=a-bcos-=Mx-=-,3322又由仑=血+妙（兄,“眾）,所以|c|=（兄d+“5）=才+“，+5=才+“‘+久“=（兄+“）'一2“=4一2“，因为九“R+时，所以兄“彳乙戈彳=（-）2=1,当且仅当/=//时取等号，、2丿2所以同、3,即爪妇.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量枳的运算，以及向量的模的计算，其中解答中熟记向屋的数量积和模的计算公式，以及合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7.在"BC中，D是BC中点，£•是4D中点，CE的延长线交于点尸，则（）A.C.ACB.A.C.ACB.~DF=--AB--AC34D.DF=--AB--AC26【答案】A【解析】【分析】设AB=AAF^由平行四边形法则得出AE=-AF+-AC,再根据平面向量共线定理44得出得出几=3,由£）p——XZ）»即口J"得出答案.【详解】

设AB=AAF^AE=-AD=丄殛+丄AC=iAF+-AC24444因为C、E、F三点共线，则虫+丄=1,2=3所以丽孑一处押一和一挥一扑一挥故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.&己知向量方/满足|方|=2前，⑹=4,且(a+b)b=4,则a与6的夹角为()AZE6【答案】DAZE6【答案】D【解析】B.-D.5兀~6求得cos〈a,5〉=一当，【分析】由(a+b)b=4,求得方巧=_12求得cos〈a,5〉=一当，【详解】由题意,向量N万满足h1=2^3,⑹=4,因为(a+b)-b=49可得ab+b2=crb+16=4^解得方•弘一12,所以cos〈d,b〉=ms又因方与b的夹角e[0^],所以&与/；的夹角为三.6故选：D.【点睛】本题主要考查了向屋的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力.9.己知△43C中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,BD=2DC,AE=EC,则•矩=()A.1D.A.1D.【答案】C【解析】【分析】以丽.就为基底，将AD.BE用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】BD=2DC.BD=^BC,AD=BD-BA=|篦一BA,込EC,耳挥+抨,ADBE=(^BC-BA)^BCADBE=(^BC-BA)^BC+^BA)、1—.1―r=-BC——BCBA——BA362=1一丄x2x3x丄=丄.622故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.10・已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则PC\PB^PD)的最小值为()A.-1【答案】A【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解.【详解】建立如图所示坐标系，

设Pgy),则4(0,0),3(2,0),C⑵2)Q(0,2),所以PC=(2-x92一y),PB+PD=(2-兀一y)+(-兀2-y)=(2-2x,2一2y),^.PC(PB+PD)=(2-x)(2-2x)+(2-y)(2-2y)=2\x--v2丿3所以当x=y=-时，pc+PD）的最小值为—1.故选：A.【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量枳的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.如图，己知05=OB=1如图，己知05=OB=19oC=忑4tanZAOB=——3Z5OC=45°,OC=mOA+nOB，则一筹于（）D.D.7【答案】A【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m.n的方程，求解即可・【详解】建立直角坐标系如图所示:以OA所在的直线为x轴，过0作与OA垂直的直线为y轴,建立直角坐标系如图所示:V因为网冃词=1,且tanZAOB=--|,AcosZAO^=-|,smZAOB=,34AA(1,0),B(一一,-),又令ZAOC=e,则Q=ZAOB-ZBOC9:.55taiiO=taiiO=又如图点C在ZAOB内，.・.cose=亚，朮4上渥,又|况|=JI,.・.C(丄,？),TOC\o"1-5"\h\z10101155——_17343•OC—ni0A+hOB9(m,〃WR),••(—,—)=(m,0)+(—m—n)=(m—n>55555幼)5HII1374加“75・〃？55555447?7故选4【点睛】本题考查了向屋的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向屋运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题.在△ABC中，4P丄肋，BC=3BD.|AD|=1,则ACAD的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由题意转化ACAD=(AB+3B。)•AD,利用数量枳的分配律即得解.【详解】-AD丄AB,BC=3BD,|AD|=1,:.ACAD=(AB+BC)•AD=(AB+3B“)•AD

=AB・AD+3BD・AD=3AD=3故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.1——A.——AB+AD2C.1——A.——AB+AD2C.AB+-AD2【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】B・-AB-AD2D.AB--AD2如图，过E作EF//BC,由向量加法的平行四边形法则可^BE=BF+BC=—丄AB+AD・2故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.已知数列仙｝的前门项和为S”且an+i=On+o(ne/V\。为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量O瓦0丘况满足OC=alQ05OA+ai()()6OB,A,B,C三点共线且该直线不过0点，则S201。等于()A.1005B.1006A.1005B.1006C.2010D.2012【答案】A【解析】OA+a^OB9及三点A,【分析】根据加尸&+6OA+a^OB9及三点A,B,C共线即可得出01+02010=1，从而根据等差数列的前门项和公式即可求出S2010的值.【详解】由an^l=On^a9得，Qn+l-Gn=a：•••｛曲为等差数列；由OC=再005°A+^100(5OB,所以4B,C三点共线；G1005+O1006=Ol+a2010=l，2010(4+6。"2010x1“2••:>2010===1UUJ-2故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前门项和公式以及共线向屋定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.已知向量a=(cosa,sina)»b=(cos/7,smp),:丄5，则当虫［一2,1］时，a-tb的最大值为()A.^2B.y/3C.2D.y/5【答案】D【解析】【分析】根据a=(cosa,sina)>厶=(cos0,sin0),2丄厶，得到a=l,b=lfa-b=0»再利用p-tb\=-tb)2=J1777求解.【详解】因为a=(cosa,sina)>b=(cos/?,sinp)>a丄厶，所以a=1,|5=1,a-b=0»所以a-tb=>J(a-tb)2=Jl+尸,Sre［-2,1］时，Q一币辱=厉•故选：D【点睛】本题考查向屋的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.设a，厶不共线，AB=a+3b>BC=a+2bCD=3ci+mb»若A，C,D三点共线，则实数加的值是()2171)A.-B.C.一D.—3522【答案】D【解析】

【分析】计算AC=2a+5b>得到2方+5万=2（3方+〃呵，解得答案.【详解】^AB=a+3b^BC=a+2b^^AC=AB+BC=2a+5b^AB=a+3b^BC=a+2b^^AC=AB+BC=2a+5b•••4,C,D三点共线，・••疋=几页，即2方+5乙=兄（3方+必可,22故选：D・【点睛】本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.设方=（1,加），5=（2,2）,若（2。+皿）丄门则实数加的值为（）TOC\o"1-5"\h\z11A.—B・2C.——D.-323【答案】C【解析】【分析】计算2方+mb=（2+2/77,4/7?）,根据向量垂直公式计算得到答案.【详解】2a+mb=（2+2m,4/m）,T（2a+皿）丄厶，（2a+〃?b）・/j=0,即2・（2+2加）+8〃7=0,解得〃?=一*.故选：C・【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.已知△43C是边长为1的等边三角形，若对任意实数k,不等式\kAB+tBC\>1恒成立，则实数/的取值范闱是（）・【答案】B【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于R的二次不等式恒成立的问题，由❷<0,即可求得结果.【详解】因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以亦•=COS1200=一丄，2由|kAB+tBC\>i两边平方得k2(AB)2+2ktAB•BC+t2(BC)2>1,即k2-kt+t2-l>0^构造函数f(k)=k2-tk+t2-l,由题意，△=广一4(尸一l)v0,解得t<-^H或f>仝3故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范I制的问题，属综合中档题.已知平面向量a,b,c满足|厶冃引=2,方丄/；,(a-c)丄(厶一2),则(a+b)-c的取值范围是()A.[0,2]B.[0,2>/2]C.[0,4]D.[0,8]【答案】D【解析】【分析】以点O为原点，oA，oA分别为X轴，V轴的正方向建立直角坐标系，根据AC丄BC,得到点C在圆(x-l)2+(y-l)2=2,再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】设OA=a,OB=b.OC=c,以点o为原