28-镜像法教学讲解教学课件

镜像法的实质是在待求场域的区域以外,在适当的位置上人为地设置一些点电荷或线电荷来等效原边界上复杂分布的实际电荷对待求场域的作用.从而可在保持原边界条件不变的情况下,将原边界面移去.镜像法的理论依据就是电磁场的唯一性定理.镜原电荷像电荷

边界7/29/20231第二章2.8

镜像法最后将求解有限区域的边值问题转换为无边界的无限大均匀媒质中的求解问题。镜原电荷像电荷如何求镜像电荷7/29/20232第二章2.8一、平面导体与点电荷无限大接地导体平面为的平面，（xoy）平面，点电荷q距导体平面的距离为h，其周围是介电常数为的介质，求介质中任意一点的场。导体设置坐标系：平面为导体平面，其参考电位为零。

点电荷与导体平面之间的电位满足：＞0q所在点除外电位给定7/29/20233第二章2.8

镜像电荷的设置：镜，，，，，，将无限大导体平面去掉，整个空间充满介电常数为的介质，在的镜像位置上置一电荷，则＞0q所在点除外因而，镜像电荷的作用就相当于原导体平面的作用，至此，有边界的问题转化为无边界的问题。67/29/20234第二章2.8镜，，，，

当z，任意一点电位为：＞0即求解：4当，当＜0导体空间内,由于实际上无场源存在,故7/29/20235第二章2.8

导体平面上的感应电荷面密度由边界条件：在边界上即∴亦即导体127/29/20236第二章2.8

导体平面上的总感应电荷Q：采用极坐标系.如图:即由上述分析可知:可将无限大接地导体平面视为一面镜子,其像电荷只有一个，就是原电荷的虚像,且与q等值异号.平面镜，，，，7/29/20237第二章2.8

平面导体与线电荷:镜像电荷:在其镜像位置上置一密度为的线电荷.见书31面.无限长直导线在任一点P的电场强度为故平面导体与线电荷在z>0的空间里任一点的电位为由高斯定理也可直接推出7/29/20238第二章2.8见书2-67式7/29/20239第二章2.8例:一水平架设的双线传输线,距地面的高度为h,两传输线的距离为D,导线的半径为a,如图.求双线传输线单位长度的电容.设D>>a,h>>a.ahD12解:将大地视为无限大导体平面.

镜像电荷:如图所示.与在P点产生的电位为aD12A与在P点产生的电位为:7/29/202310第二章2.8故P点的电位为:aD12A由于导体是等位体,故取A点计算导线1的电位则导线1的电位为:7/29/202311第二章2.8aD12A同理,导线2的电位为:则导线1与导线2之间的电位差为:故两平行传输线单位长度的电容为:7/29/202312第二章2.8

导体平面为互相垂直的两无限大接地平面,求镜像电荷:首先,镜像电荷的出现,必须保证原边界条件不变.即

去掉导体平面则镜像电荷为在B点的;

去掉导体平面则镜像电荷为在C点的；7/29/202313第二章2.8，

B点的与A点的能保证平面的但不能使平面的,于是令B点的再对平面作镜像,即D点再置一电荷.

C点的与A点的能保证平面的,而与D点的也能使平面的.

镜像电荷有3个,且等值.故A、B、C、D点四电荷共同作用的结果，在第一象限的电位就是原问题的解，复杂的边界已不复存在。7/29/202314第二章2.83、角度为的半无限大导体平面角形区域内的点电荷、线电荷，求其镜像电荷：

n=3,总结：当n为正整数时，镜像电荷的数量为（2n-1)个。当原电荷为点电荷时，像电荷也为点电荷；当原电荷为线电荷时，像电荷也为线电荷。

且所有镜像电荷都位于同一圆上。7/29/202315第二章2.8二、电介质分界面与镜像

问题：分界面为一无限大平面，位于介质1中，距分界面的距离为，求介质1及介质2中的场？导体平面位于点电荷产生的电场中时，会在其上产生感应电荷，其面电荷密度为，利用镜像电荷可代替其感应电荷的作用，从而将导体平面去掉。7/29/202316第二章2.8

那么，电介质平面位于点电荷产生的电场中时，会在其上产生束缚（极化）电荷，则我们是否也可以利电荷（多少个？）场点的作用？答案是肯定的。代替其极化电荷对用镜像7/29/202317第二章2.8取直角坐标系，为分界面。＜0，

边界条件与拉氏方程：＞0，（q点除外）边界条件拉氏方程7/29/202318第二章2.8

介质1中的场：利用镜像法，去掉介质分界面，整个空间充满介质1，在的镜像位置放一像电荷，则＞0处.

=？即１2r

7/29/202319第二章2.8

介质2中的场:利用镜像法，去掉介质分界面，整个空间充满介质2，在的镜像位置放一像电荷(位于q处).则＜0处:？１7/29/202320第二章2.8利用边界条件:时,即:1

即2联立两式:12、故镜像电荷总与同性,则取决于两介质的介电常数的大小。7/29/202321第二章2.8三、球面导体与点电荷：1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外

镜像电荷：P点在导体球面上17/29/202322第二章2.8

边界条件：球面：如图1即亦即P点在导体球面上126方法一：7/29/202323第二章2.8而由余弦定理：∴上式对所有均成立的充要条件为：则277/29/202324第二章2.8

边界条件：球面：如图1即24P点在导体球面上1取P点为特殊的两点，即A、B两点，则对于A点，有对于B点，有7/29/202325第二章2.8P点在导体球面上1故∴257/29/202326第二章2.8球外电位：如图2P点在导体球面外27/29/202327第二章2.8

球面上感应电荷面密度（自由电荷）由边界条件：介质2为球内：-7/29/202328第二章2.8

球面上感应的总电荷Q：故7/29/202329第二章2.82、对地绝缘的导体球与点电荷，如图所示，求球外电位

球面边界条件：时，

导体球上的净电荷为零。

镜像电荷的设置：P点在导体球面上1球面为等位面

7/29/202330第二章2.8P点在导体球面上1则不满足边界条件1）

球心再置一镜像电荷，如图：则为常数为保证导体球上的净电荷为零。则至此，满足边界条件1）和2）7/29/202331第二章2.8P点在导体球面外2球外任意一点P的电位：如图27/29/202332第二章2.83、导体球壳与球壳内的点电荷：求球内球壳为接地的情况：分析：球壳内表面的感应电荷可在球外连线上置一镜像电荷来等效。7/29/202333第二章2.8根据前面的结论：当时，则球壳为零电位。故球壳内的场为两点电荷产生的场。、∴即接地7/29/202334第二章2.8球壳不接地：球壳表面上将有感应电荷，由于它的存在，球壳内的电位为：（设球外介质均匀）若球外介质均匀，则球壳外的感应电荷分布均匀。提高了一个电位常数7/29/202335第二章2.8球壳外的场：则根据高斯定理：球对称分布。球外电位：好似在点一样。7/29/202336第二章2.8例：一个点电荷Q与无穷大导体平面相距为d,如果把它移到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为–Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷Q离导体板的距离为x时，电荷Q受到的静电力为根据库仑定律静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力。7/29/202337第二章2.8在移动过程中，外力f所作的功为当用外力将电荷Q移动到无穷远处，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为7/29/202338第二章2.8方法二：用静电能计算。在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：移动点电荷Q到无穷远以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为7/29/202339第二章2.8例：接地无限大导体平板上有一个半径为a的半球形突起，在点（0，0，d)处有一个点电荷q（如图所示），求导体上方的电位。解：计算导体上方的电位时，要保持导体平板部分和半球部分的电位都为零。7/29/202340第二章2.8先找平面导体的镜像电荷位于（0，0，-d)处。再找球面镜像电荷

位于（0，0，处，当叠加这两个镜像电荷和原电荷共同产生的电位时，在导体平面上和球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷位于（0，0，）处，这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零，且三个镜像电荷都在要计算的区域以外。7/29/202341第二章2.8故导体上方的电位为四个点电荷电位的叠加。7/29/202342第二章2.8例：证明一个点电荷和一个带有电荷、半径为的导体球之间的作用力为其中D是到球心的距离（D＞R）D7/29/202343第二章2.8证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球外的影响。在距离球心处，镜像电荷；在球心处，镜像电荷。点电荷受导体球的作用力就等于球内两个镜像点电荷对的作用力，即D7/29/202344第二章2.8D证毕7/29/202345第二章2.8例：两个点电荷和位于一个半径为的接地导体球的直径处延长线上，分别距离球心和。

证明镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为。令和分别趋于无穷，同时保持不变，计算球外的电场。解：

证明：如图。7/29/202346第二章2.8使用导体球面的镜像法和叠加原理分析。在球内应该加上两个镜像电荷：一个是在球面上的镜像电荷，距离球心；另一个是在球面上的镜像电荷，，距离球心。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为7/29/