均值不等式综述课件

第十九讲均值不等式教材知识整合回归教材1.常用的几个重要不等式3.利用均值不等式求最值已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是 .(简记:积定和最小)(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是

(简记:和定积最大)(3)应用均值不等式求最值问题要注意满足条件“一正､二定､三相等”.即①各项或各因式均为正值;②和或积为定值;③各项或各因式有相等的值.基础自测答案:3答案:C答案:C重点难点突破题型一 利用均值不等式求最值【例1】已知x>0,y>0,且求x+y的最小值.[分析]要求x+y的最小值,根据均值不等式,应构建某个积为定值.这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细体会.[点评]本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察学会变形.另外解法二通过消元,化二元问题为一元问题,要注意被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响.题型二 利用均值不等式证明不等式【例2】已知a,b,c是正数,求证:[分析]由于要证的不等式两边都是三项,而我们掌握的均值不等式只有两项,所以可以考虑多次应用均值不等式,然后相加.[点评]利用基本不等式证明不等式问题时要创造运用基本不等式的条件,合理拆分项或配凑因式,而拆与凑的目的在于使等号能够成立.题型三 均值不等式的实际应用【例3】(2010·镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;(2)该楼房建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)

[分析]利用题设条件写出函数关系式,对函数关系式进行变形,应用均值不等式求解.[点评]解实际应用问题要注意以下几点:(1)设出变量,根据实际问题抽象出函数的解析式,注明定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围). (2)在利用均值不等式求函数的最值时,一定要在定义域内.

变式3:(2009·湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a

m.则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360.由已知xa=360,得∴解题方法拾遗运用基本不等式求最值时要强调a､b应满足条件:“一正､二定､三相等”,在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件获得,(若不明确,则应分情况讨论),“相等”条件也易验证确定,而获得“定位”的条件往往设计为一个难点,它需要一定的灵活变形能力,因此,“定位”条件是运用基本不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行“拆”､“拼”､“凑”､“合”变形.创造应用基本不等式及等号成立的条件.当连续应用基本不等式时,要注意各不等式取等号的条件相一致,否则是不能求出最值的.答案:A答案:B教师备课资源答案:C点评:注意到从左向右,分式变成了整式,可考虑在左边每一个分式后加上该分式的分母,利用基本不等式消去分母,再利用不等式的可加性,从而使问题获得解决.分析:从函数解析式的结构上看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面最值的方法不易求解,怎么办呢?事实上,我们可以把分母视为一个整体,用它来表示分子,原式可展开求解.5.某工厂拟建一座平面图为矩形,面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图所示).如果污水池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.(2)若由于地形限制,该污水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 分析:首先把造价表示为某一变量的函数,再利用基本不等式､函数单调性等知识求出最小值.(2)∵0<x≤16,0<≤16,∴12.5≤x≤16,x≠18.∴不能用基本不等式,但我们可以用函数单调性的定义证明上述目标函数在区间[12.5,16]上是减函数,从而利用单调性求得最小值.∴φ(x1)>φ(x2),故y=φ(x)在[12.5,16]上为减函数,从而有φ(x)≥φ(16)=45000,∴当污水池的长