多元函数的极限与连续教学课件

多元函数的极限与连续第8章多元函数微分法及其应用∫(x,y)8.1多元函数的极限与连续上册已经讨论了一元函数微积分.但在自然科学、工程技术和经济生活的众多领域中,往往涉及到多个因素之间关系的问题.这在数学上就表现为个变量依赖于多个变量的情形,因而导出了多元函数的概念及其研究与应用本章在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分方法及其应用以二元函数为主,但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数同时,还须特别注意一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点第8章多元函微分法8.1多元函数的极限与连续81多元函数的极限与连续functionofmanyvariables平面点集多元函数的概念多元函数的极限■多元函数的连续性■小结思考题作业8.1多元函数的极限与连续平面点集建立了坐标系的平面称为坐标面.二元有序实数组(x,y)的全体,即R2=RXR={(x,y)x,y∈R}xOy坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)(x,y)具有性质P8.1多元函数的极限与连续邻域(Neighborhood)设P0xoyo)是xOy平面上的一个点,δ>0,令U(P,6)={(x,y)(x-xn)2+(y-yn)2<6}它是以P为中心、以S为半径的开圆(“开”意味着不包括边界也称为点P的域,几何表示有时简记为U(P)①将邻域去掉中心,称之为去心邻域U(P,δ)②也可将以P为中心的某个矩形内(不算周界)的全体点称之为点P0邻域81多元函数的极限与连续下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.任意一点P∈R2与任意一点集EcR2之间必有以下四种关系中的一种:(1)内点设E为一平面点集,点P∈E,若存在6>0,使U(P)cE,称P为E的内点(P1)显然,E的内点属于EP(0外点如果在在点P的某个邻域Up/使U(P∩E=,则称P为E的外点、(P,)P2(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.(P3)E的边界点的全体称为E的边界,记作OE8.1多元函数的极限与连续(4)聚点如果对于任意给定的δ>0,P的去心邻域U(P,δ)内总有E中的点(P本身可属于E,也可不属于E),则称P是E的聚点聚点从直观上讲:这点附近有无穷多个E的点例如设点集E={(x,y)1≤x2+y2<2点P(xn,y)∈R2,若1<x2+y2<2,则P为E的内点;也是E的聚点;若x2+y2=1或x2+y2=2,则P为E的边界点,也是E的聚点;E的边界aE={(x,y)x2+y2=1或x2+y2=2}.8.1多元函数的极限与连续根据点集所属点的特征,下面再定义一些重要的平面点集的概念开集若点集E的任意一点都是E的内点,称E为开集.例E1={(x,y)1<x2+y2<4}→E1为开集闭集若点集E的边界OE<E,称E为闭集例E2={(x,y)1≤x2+y2≤4}→E2为闭集例E3={(x,y)1≤x2+y2<4}→E3既非开集,也非闭集88.1多元函数的极限与连续连通集如果点集E内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,称E是连通集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域闭区域开区域连同其边界一起所构成的点集,称为闭区域如(x,y)≤x2+y2≤4,(x,y)x+y≥0}都是闭区域8.1多元函数的极限与连续》连通的开集称为区域或开区域E=(x,y)x+y>0,|E={(x,y)x≠0,y≠0}是区域吗?不是区域.因为不连通是区域连结两点的任何折线都与x+y=0x+y>0y轴相交,相交点不属于Ey26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰

28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。