2023年高考数学圆锥曲线复习题附答案

2023年高考圆锥曲线复习题

1.已知抛物线C：^2px(p>0)的焦点为点F,P为C上一点，若点P到原点的距离与

3

点P到点F的距离都是一.

2

(1)求C的标准方程；

(2)动点M在抛物线C上，且在直线x=2的右侧，过点M作椭圆E：[+*=1的两

条切线分别交直线x=-2于4,8两点.当依8|=10时，求点M的坐标.

【分析】(1)不妨取点P在第一象限，设P(xo,J布)，结合抛物线的定义和勾股定

理，即可得解；

(2)不妨设kMA=k\,kMB=k2,A(xi,yi),B(X2,”)，M[t2,2t)(t>V2),写出过

点M的切线方程，并将其与椭圆的方程联立，再结合韦达定理和弦长公式，即可得解.

【解答】解：(1)不妨取点P在第一象限，设P(xo,J2p%o),

由抛物线的定义知，|PQ=xo+%家

r9

由勾股定理知，|OPr=xl+2pxo=

联立上述两个方程，消去刈可得，p2-2p=0,

解得p=2或0,因为p>0,所以p=2,

故C的标准方程为)?=4工

(2)不妨设kMA=AI,kMB=ki,A(xi,yi),B(%2,y2),M(t2,2t)(t>V2).

设过点M作椭圆的切线方程为)，=&(x-/2)+2t®，

/-

—y2

联立/4X

«_+y2得(3+4r)x2+Sk(2/-?左)1+4(2/-P左)2-12=0,

l)4_=1

\3

由△=(),得(r4-4)F-4m4?-3=0,

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所以卜1+卜2=计―1'卜#2~—4,

在①中令x=-2,得y=-(A2)k+2t,

2

所以|AB|=|yx-y2l=(t+2)1^-fc2|

2

=(^+2)•V(fcx+k2)-4kxk2

-"2|2«J3t4+攻2-12

=10,

_(£+2)一百不〜

解得P=4,

所以点M的坐标为(4,±4).

【点评】本题考查抛物线的定义与几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思

想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

2.根据下列条件写出抛物线的标准方程：

(1)焦点到准线的距离是5；

(2)焦点尸在y轴上，点A(/n,-2)在抛物线上，且|AQ=3.

【分析】(1)首先求得p的值，然后结合抛物线的类型即可确定其标准方程；

(2)首先设出抛物线的方程，然后由抛物线的定义确定p的值即可求得抛物线方程.

【解答】解：(1)由题意知p=5,则2P=10,

因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，

故方程为y2=i0x或/=-10x或7=10)，或/=-10y.

(2)由题意可设抛物线的标准方程为/=-2py(p>0)

由忸用=3,得£+2=3,所以p=2,所以抛物线的标准方程为-4y.

【点评】本题主要考查抛物线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，属于基础题.

x2

3.己知椭圆-7+y2=i(〃>1)的左顶点为A,上顶点为8,右焦点为尸.

(1)若SAAB/=2，求。的值;

(2)点P在椭圆上，且在第二象限内，线段AP的垂直平分线交y轴于点Q.若△APQ

为正三角形，求椭圆的离心率的取值范围.

【分析】(1)根据三角形的面积公式S=：X(q+c)Xb,即可求得。的值；

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（2）设直线AP的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得P点

坐标及M点坐标，即可求得A尸的垂直平分线的方程，当x=0,求得。点坐标，根据两

点之间的距离公式可得|4。|2=4忸例|2,即可求得“4^=3,P在第二象限，则人即可

求得«的取值范围，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率的取值范围.

【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，b=\,=I,

iQ_____r

△ABF的面积S=)x(a+c)XZ?=),则a+7a^—1=3,解得：4=3

•'-a的值*

(2)设P(X,y),x<0,y>0,A(-a,0),B(0,1),设AP的中点M(xo,yo)

由P在第二象限，则

显然直线AP的斜率存在，设直线AP的方程：y=k（x+a）,

[y=fc(x+a)整理得：(i+J必)f+2/必x+J必_/=o,

+azyz—=0

解得：x=-a,x=一。(。2々寸),

l+a2r

a3k2kaa3k2ka

由中点坐标公式可得xo=-即M(匕3,1+a2k2)'

)‘°=1+a2d

ka告）'令x=。,则尸序

则直线AP的方程垂直方程:

y一l+a2k2

a3k_.2)

1+a2k21+a2k2

ka(l-a2)）’则皿2=办2黑炉则HM2王熹+小（ka

则。（0,

l+a2k2l+a2k2

2_a2(l+fc2)

一(1+次必)2'

由△APQ为正三角形，则|AQ|2=4|AM|2，小仁2a2（：一口二小Q2(1+必)

（l+a2fc）(1+a2k2产

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整理得：4%2=3,由攵解得：/<3,则我

由椭圆的离心率e=?