第8章概率知识点清单 高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

2/2新教材苏教版2019版数学选择性必修第二册第8章知识点清单目录第8章概率8.1条件概率8.2离散型随机变量及其分布列8.3正态分布第8章概率8.1条件概率8.1.1条件概率一、条件概率1.一般地，设A，B为两个事件，P(A)>0，我们称P(AB)P(A)为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为P(B|A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”，即P(B|A)=P(AB)P(A)二、概率的乘法公式1.由条件概率公式可知P(AB)=P(B|A)·P(A).说明：假设Ai表示事件，i=1，2，3，且P(Ai)>0，P(A1A2)>0，则P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，而P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率.三、条件概率的性质(1)P(Ω|A)=1(Ω为样本空间)；(2)P(⌀|A)=0；(3)若B1，B2互斥，则P((B1+B2)|A)=P(B1|A)+P(B2|A).四、条件概率的计算方法1.计算条件概率的方法一般有两种(1)利用定义计算，先分别计算概率P(AB)和P(A)，然后代入公式P(B|A)=P(AB)P(A)(2)利用缩小样本空间法计算(局限在古典概型内)，即P(B|A)=n(AB)n(A)五、求较复杂事件的概率1.当所求事件的概率比较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件，求出这些简单事件的概率，再利用公式便可求得较复杂事件的概率.2.求较复杂事件的概率的一般步骤(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；(2)厘清事件之间的关系(两个事件是互斥事件还是对立事件)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接计算其对立事件的概

率，再求出符合条件的事件的概率.六、乘法公式及其应用1.乘法公式的特点及注意事项(1)知二求一：若P(A)>0，P(B)>0，则①已知P(A)，P(B|A)，P(AB)中的两个值就可以求

得第三个值；②已知P(B)，P(A|B)，P(BA)中的两个值就可以求得第三个值.(2)P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概念，在数值

上一般也不同.8.1.2全概率公式8.1.3贝叶斯公式*一、全概率公式1.一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和i=1nAi=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)=二、贝叶斯公式1.一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有P(Ai|B)·P(B)=P(B|Ai)P(Ai).因此P(Ai|B)=

P(Ai)P(B|Ai)P(B)2.特别地，当0<P(A)<1且P(B)>0时，有P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)三、全概率公式及其应用1.全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=A1∪A2∪…∪An，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，

An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P(B|

A1)，P(B|A2)，…，P(B|An)，再利用全概率公式求解.2.运用全概率公式计算事件B发生的概率P(B)时，一般步骤如下：(1)求划分后的每个小事件的概率，即P(Ai)，i=1，2，…，n；(2)求每个小事件发生的条件下，事件B发生的概率，即P(B|Ai)，i=1，2，…，n；(3)利用全概率公式计算P(B)，即P(B)=i四、贝叶斯公式及其应用1.贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知的条件如下：(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即

P(Ai)已知；(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已

知，即P(B|Ai)已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件

概率P(Ai|B).8.2离散型随机变量及其分布列8.2.1随机变量及其分布列一、随机变量1.随机变量的概念一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X为随机变量.2.随机变量的表示随机变量通常用大写英文字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示，而用小写英文字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值.3.随机变量的分类离散型随机变量取值为离散的数值的随机变量连续型随机变量取值为连续的实数区间的随机变量二、随机变量的概率分布1.概率分布列一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n，称上式为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.2.概率分布表Xx1x2…xnPp1p2…pn将上表称为随机变量X的概率分布表，概率分布列和概率分布表都叫作随机变量X的概率分布.3.概率分布的性质概率分布里的pi(i=1，2，…，n)满足条件：(1)pi≥0；(2)p1+p2+…+pn=1.三、两点分布1.随机变量X只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布.四、两个相关的随机变量的概率分布问题1.一般地，若X是随机变量，则Y=f(X)也是随机变量.2.已知随机变量X的概率分布，求随机变量Y=f(X)的概率分布，其关键是弄清X取每

一个值时相对应的Y的值，若f(X)的取值出现重复，则需要把它们的相应概率相加，

所求即为Y的取值概率.五、求离散型随机变量的概率分布1.求离散型随机变量的概率分布的步骤(其中i=1，2，…，n)2.求离散型随机变量概率分布时应注意的问题(1)确定离散型随机变量X的概率分布的关键是要弄清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值时的概率.当随机变量X取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程.(2)在求离散型随机变量X的概率分布时，要充分利用概率分布的性质，这样不但可

以减少运算量，还可以验证概率分布是否正确.8.2.2离散型随机变量的数字特征一、离散型随机变量的均值1.一般地，随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2…xn概率pp1p2…pn其中pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+…+pn=1，我们将p1x1+p2x2+…+pnxn称为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ.2.离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.3.若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b(a≠0)，则由X与Y之间概率分布的关系可知E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.二、离散型随机变量的方差与标准差1.一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pn其中，pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+…+pn=1，则(xi-μ)2(μ=E(X))描述了xi(i=1，2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，故(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2，即D(X)=σ2=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn.2.随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为

X的标准差，即σ=D(X).3.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就越小.4.若X和Y都是离散型随机变量，且Y=aX+b(a≠0)，则由X和Y之间概率分布和均值的关系可知D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).三、两点分布的均值和方差1.随机变量X的概率分布如下表所示.X01P1-pp则E(X)=p，D(X)=p(1-p)，σ=p(1−p).四、求离散型随机变量的均值与方差1.求离散型随机变量的均值与方差的类型及解决方法(1)已知概率分布型：直接利用定义求解.(2)未知概率分布型：求解时可先借助已知条件等求得概率分布，然后利用定义求解.(3)已知E(X)，D(X)，求E(aX+b)，D(aX+b)型：利用E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a2D(X)求解.五、实际生活中的离散型随机变量的数字特征1.求实际生活中离散型随机变量X的均值与方差的步六、数学期望与方差在实际生活中的应用1.在实际生活中存在许多决策问题，在确定性现象中，我们决策和优化的目的通常是使损失最小或利益最大.2.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量的取值相对于均值的离散程度(或波动大小).因此，在利用均值和方差的意义去分析、解决实际问题时，两者都要考虑.(1)若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量X1，X2的均值，当E(X1)=E(X2)时，不应认为它们一样好，还需要用D(X1)，D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度，偏离程度越小越好.(2)若我们希望随机变量的取值比较稳定时，则应先考虑方差，再考虑均值是否相等或接近.8.2.3二项分布一、二项分布1.伯努利试验我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.二项分布若随机变量X的分布列为P(X=k)=Cnkpkqn-k，其中0<p<1，p+q=1，k=0，1，2，…，n，则称X服从参数为n，pX012…nPCn0p0Cn1Cn2p2…Cnnpn二、二项分布的数学期望与方差一般地，当X~B(n，p)时，E(X)=np，D(X)=np(1-p)，σ=np(1−p).三、二项分布的实际应用1.利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量是否服从二项分布；(3)若服从二项分布，则求出参数n和p的值；(4)根据需要列出相关式子并解决问题.2.解决二项分布问题的两个关注点(1)公式P(X=k)=Cnkpkqn-k(0<p<1，p+q=1，k=0，1，2，…(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，

事件发生与否，二者必居其一；二是重复性，即试验是否独立重复地进行了n次四、二项分布中的最大值1.求二项分布中的最大值的步骤(1)由X~B(n，p)，得P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k，k=0，1，2，(2)令P(X=k)-P(X=k-1)≥0或P(X=k)P(X=k−1)≥1，求出k的取值区间，此区间即为的单调递增区间，它的补集区间为单调递减区间.(3)结合P(X=k)的单调性确定P(X=k)的最大值和对应的k值.8.2.4超几何分布一、超几何分布1.对一般情形，一批产品共N件，其中有M件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数X的概率分布如表所示.X012…lPCMCMCM…CM其中l=min{n，M}.2.一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X=r)=CMrCN−Mn−rCNn，其中r=0，1，2，3，二、超几何分布的均值1.当X~H(n，M，N)时，E(X)=k=0lkPk=三、超几何分布的应用1.解决超几何分布问题的关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同值时的概率，从而求出X的概率分布.四、二项分布与超几何分布的区别1.判断是不是二项分布就是看它是不是n次独立重复试验，随机变量是不是在这n

次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则不服从二项分布.2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.8.3正态分布一、正态密度曲线1.概率密度曲线在频率直方图中，如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，将此曲线称为概率密度曲线.2.正态密度曲线将函数P(x)=12πσe−3.正态密度曲线的特征(1)当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线.(2)曲线关于直线x=μ对称.(3)σ越大，曲线越扁平；σ越小，曲线越尖陡.(4)在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.二、正态分布1.正态分布设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b]，P(a<X≤b)是正态密度曲线下方和x

轴上(a，b]上方所围成的图形的面积(如图所示)，则称随机变量X服从参数为μ和σ2

的正态分布，简记为X~N(μ，σ2). 2.标准正态分布μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布，记作X