新教材高考数学一轮复习第7章立体几何微专题进阶课7立体几何中的动态问题学案（含解析）新人教A版

第7章立体几何立体几何中的动态问题立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹长度及动角的范围及涉及的知识点，多年来是复习的难点．求动点的轨迹(长度)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为()A．eq\f(π,4)B．eq\r(2)C．2D．πB解析：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(2,0,2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，则平面A1DE的一个法向量为n＝(2,1，－2)．设M(x,2，z)，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x－2,2，z)．由eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝0，得2(x－2)＋2－2z＝0⇒x－z＝1，故点M的轨迹为以BC，BB1的中点为端点的线段，长为eq\r(12＋12)＝eq\r(2).故选B.已知边长为1的正方形ABCD与CDEF所在的平面互相垂直，点P，Q分别是线段BC，DE上的动点(包括端点)PQ＝eq\r(2).设线段PQ的中点的轨迹为s，则s的长度为()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,2)C．eq\f(\r(2),2)D．2A解析：如图，以DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设P(m,1,0)(0≤m≤1)，Q(0,0，n)(0≤n≤1)，M(x，y，z)．由中点坐标公式易知x＝eq\f(m,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(n,2)，即m＝2x，n＝2z.①因为|PQ|＝eq\r(m2＋n2＋1)＝eq\r(2)，所以m2＋n2＝1，②把①代入②得，4x2＋4z2＝1.即x2＋z2＝eq\f(1,4).因为0≤m≤1,0≤n≤1，所以0≤x≤eq\f(1,2)，0≤z≤eq\f(1,2).所以PQ中点M的轨迹方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋z2＝\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(1,2)，0≤z≤\f(1,2)))，,y＝\f(1,2).))轨迹s为在垂直于y轴的平面内，半径为eq\f(1,2)的四分之一圆周．所以s的长度为eq\f(1,4)×2π×eq\f(1,2)＝eq\f(π,4).故选A．求线段的范围问题在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P-ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是()A．[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1] B．[1,3]C．[eq\r(3)－1,2] D．[1，eq\r(3)＋1]A解析：如图所示，若固定正四面体P-ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动．设AB的中点为M，则PM＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径，所以eq\r(3)－1≤|OP|≤eq\r(3)＋1，即|OP|的取值范围是[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1]．故选A．设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在平面BCC1B1所在的平面内．若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P与点C1的最短距离是()A．eq\f(2\r(5),5)B．eq\f(\r(2),2)C．1D．eq\f(\r(6),3)A解析：设P在平面ABCD上的射影为P′，M在平面BB1C1C上的射影为M′，平面D1PM与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角分别为α，β，则cosα＝eq\f(S△DP′M,Seq\s\do3(△D1PM))，cosβ＝eq\f(Seq\s\do3(△PM′C1),Seq\s\do3(△D1PM)).因为cosα＝cosβ，所以S△DP′M＝Seq\s\do3(△PM′C1)设P到C1M′距离为d，则eq\f(1,2)×eq\r(5)×d＝eq\f(1,2)×1×2，d＝eq\f(2\r(5),5)，即点P到C1的最短距离为eq\f(2\r(5),5).求角的最值问题如图，平面ACD⊥α，B为AC的中点，|AC|＝2，∠CBD＝60°，P为α内的动点，且点P到直线BD的距离为eq\r(3)，则∠APC的最大值为()A．30°B．60°C．90°D．120°B解析：因为点P到直线BD的距离为eq\r(3)，所以空间中到直线BD的距离为eq\r(3)的点构成一个圆柱面，它和平面α相交得一椭圆，即点P在α内的轨迹为一个椭圆，B为椭圆的中心，b＝eq\r(3)，a＝eq\f(\r(3),sin60°)＝2，则c＝1，所以A，C为椭圆的焦点．因为椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值，所以∠APC的最大值为60°.故选B.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为()A．eq\f(\r(2),2)