海南大学《大学物理》第8 章 振动

海南大学HaiNanUniversity第8章振动振动的概念振动也称振荡。在力学中，振动是指物体围绕某个平衡位置作周期性往复的运动，又称机械振动。广义的说，任何一个物理量在某一确定值附近的反复变化都可称为振动，如电磁振动，交流电中电流、电压的反复变化等。海南大学HaiNanUniversity物体作机械振动时，来回往复的运动轨迹，最简单的是一条直线，称为直线振动。在平面或空间的复来振动，都可以认为是由多个直线振动叠加而成的。在直线振动中，最基本最常见的振动是简谐振动，任何复杂的振动，都可认为是由多个简谐振动合成的。海南大学HaiNanUniversity物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数〕的规律随时间变化，这种运动就叫简谐振动。

x=Acos(ωt+)或

x=Asin(ωt+)6.1简谐振动的描述

1.简谐振动的定义海南大学HaiNanUniversity

2.描述简谐运动的特征量x=Acos(ωt+)

振幅

A：角频率ω:初相由于简谐运动的数学表达式是三角函数形式，所以，只要确定三个特征量就可以确定简谐运动的数学表达式.海南大学HaiNanUniversity3、简谐振动的速度、加速度简谐振动的位移简谐振动的速度简谐振动的加速度海南大学HaiNanUniversity谐振动的速度、加速度式中

vm=ωA,am=ω2A分别为速度，加速度的振幅，v,a均为谐振动，v比x相位超前/2，a与x反相。海南大学HaiNanUniversity旋转矢量图示法（相量图法）简谐振动可以用一个旋转矢量来描述，有助于了解谐振动表达式中A,ω,的物理意义。质点m以角速度ω做匀速圆周运动，其位矢在x轴上的分量或投影为：yxωtA-AOxmω

称为振幅矢量x=Acos(ωt+)海南大学HaiNanUniversity旋转矢量法OOAAXXOjM(0)Aj初相wM(

t

)twtwM(

t

)twM(

t

)twM(

t

)M(

t

)twM(

t

)twM(T

)Tw周期

TM(

t

)twM(

t

)twXOjM(0)j初相M(

t

)twAw矢量端点在X

轴上的投影对应振子的位置坐标OOt时刻的振动相位(wt﹢j)F旋转矢量A以匀角速w逆时针转动循环往复x=A

cos(wt﹢j)简谐振动方程海南大学HaiNanUniversityA振幅：是质点离开平衡位置的最大幅度，即最大位移，它的大小表征振动的强弱。描述简谐振动的三个特征量x=Acos(ωt+)yxωtA-AOxmω海南大学HaiNanUniversityω角速度：又称圆频率，表征振幅矢量旋转的快慢，也即振动的快慢。yxωtA-AOxmω又称为系统的固有角频率海南大学HaiNanUniversity在单位时间内完成完全振动的次数称为频率

v所以是矢量旋转一周，即质点完成一次完全振动所需的时间，称为周期

T

又称为系统的固有周期v的单位为1/秒(s-1)，称为赫兹(Hz)

的单位为rad/s或s-1海南大学HaiNanUniversityωt+相位：决定了质点在t时刻的振动状态,t=0时的相位称为初相位,简称初相。yxωtA-AOxmω单位弧度(rad)。相位相差2π整数倍时质点的振动状态相同。x=Acos(ωt++2k)=Acos(ωt+)海南大学HaiNanUniversity相差2<1，

振动（1）比振动（2）超前或振动（2）比振动（1）落后；2-1=0或2π的整数倍，也即π的偶数倍，称这两个振动为同相。x1x2海南大学HaiNanUniversity2-1=π或π的寄数倍，称这两个振动为反相。x2x1海南大学HaiNanUniversity由初始条件确定振幅A和初相初始条件由此解得海南大学HaiNanUniversity海南大学HaiNanUniversity练习：p201,习题17.1（1）（2）练习：p202,习题17.5海南大学HaiNanUniversity练习：已知物体沿X轴作简谐运动，振幅A=0.12m，周期T=2s。t=0时，物体背离原点移动到x0=0.06m处。求初相φ，t=0.5s时的位置、速度和加速度解：设振动方程为t=0时又物体背离原点移动到x0处海南大学HaiNanUniversity即所求振动方程为速度为加速度为t=0.5s时海南大学HaiNanUniversityww1j2j21OX2x0x10v01v02A1A2w2pT练习：两质点1,2在x轴上做简谐运动，振幅相同，周期均为T=8.5s。t=0时，质点1在处向平衡点运动，质点2在-A处向平衡点运动。22A求：（1）两质点的相位差；（2）两质点第一次经过平衡位置的时刻解：设振动方程为海南大学HaiNanUniversityww1j2j21OX2x0x10v01v02A1A2w2pT相量图为t=0时相位差为：从相量图中可看出海南大学HaiNanUniversityww1j2j21OX2x0x10v01v02A1A2w2pTA1转过π/4，质点1第一次通过平衡点，时刻为A2转过π/2，质点2第一次通过平衡点，时刻为6.2简谐运动的动力学

组成物质的分子、原子间的相互作用在很多情况下都可以用一个弹簧振子的振动来描述。

不考虑弹簧的质量和任何摩擦，弹簧振子的振动是一种典型的简谐振动。海南大学HaiNanUniversity

1.弹簧振子模型胡克定律给出弹簧的恢复力mxO由牛顿第二定律

2.简谐振动的动力学方程海南大学HaiNanUniversity令是简谐振动的动力学方程，其解为

x=Acos(ωt+)或x=Asin(ωt+)式中A,

为待定积分常量。习惯上用余弦形式。海南大学HaiNanUniversity动力学角度：若质点受的力与位移成正比，方向相反，则该质点的振动称为简谐振动。运动学角度：若质点加速度与位移成正比，方向相反，则称为简谐振动。a=-ω2x广义地讲，任何物理量的变化满足下面的微分方程都称为简谐振动。海南大学HaiNanUniversity

简谐振动的判据海南大学HaiNanUniversity例：弹簧振子的质量m=5×10-3kg，k=2×10-4N/m。t=0时，X0=0,V0=0.4m/s。求振动方程解：设振动方程为海南大学HaiNanUniversityt=0时又所求振动方程为练习题：劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为海南大学HaiNanUniversity

(A)

(B)

(C)

(D)．

解：两个轻弹簧可以等效为一个轻弹簧海南大学HaiNanUniversity设两个轻弹簧的伸长分别为x1和x2,等效轻弹簧的伸长为x,则另得海南大学HaiNanUniversity选（D）五、简谐振动实例系统所受力矩角加速度1.单摆海南大学HaiNanUniversity令有

较小时（）则单摆作简谐振动。海南大学HaiNanUniversity对单摆的另一种处理方法

摆球所受合力摆球切向角加速度ft（

时）称为准弹性力有海南大学HaiNanUniversity复摆（物理摆）的振动对比谐振动方程知：但若做小幅度摆动即当由转动定律得动力学方程一般情况不是简谐振动时满足的方程：海南大学HaiNanUniversity振动的物理量固有圆频率角位移振动表达式对比海南大学HaiNanUniversity练习题：一质点作简谐振动．其振动曲线如图所示．根据此图，它的周期T=___________，用余弦函数描述时初相φ=_________________．海南大学HaiNanUniversity解：设振动方程为由图知：t=0时取海南大学HaiNanUniversity故：由图周期为初相为合矢量

A将与矢量

A1与

A2

一起以角速度ω转动。21A2A1Ax2x1xωxy1.同一直线上两个同频率简谐振动的合成6简谐振动的叠加海南大学HaiNanUniversity即在同一直线上两个同频简谐振动的合振动，仍是一个同频率的简谐振动。21A2A1Ax2x1xωxy海南大学HaiNanUniversity两个特例AA2A1tx,k=0，1，2，…两分振动同相

合振幅最大。海南大学HaiNanUniversity问题：A1=A2时，合振动情况如何？AA1-A2tx,k=0，1，2，…两分振动反相

合振幅最小。海南大学HaiNanUniversity海南大学HaiNanUniversity例：一物体同时参与两个同方向的简谐振动：

(SI),求此物体的振动方程．

(SI)解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为则代入，得≈127°≈2.22rad

以A1=0.04m，A2=0.03cm，海南大学HaiNanUniversity2.同一直线上n个同频率简谐振动的合成海南大学HaiNanUniversity在轴上的个同频率简谐振动合成的相量图

海南大学HaiNanUniversity线性相加用旋矢法求解由图得海南大