【专题培优】2018年 九年级数学上册 旋转 培优专题(含答案)

【专题培优】2018年九年级数学上册旋转培优专题(含答案)2018年九年级数学上册旋转培优专题1.在正方形ABCD中，点F在边BC上，E在边BA的延长线上。若△DCF按顺时针方向旋转后恰好与△DAE重合，则旋转中心是点D，最少旋转了90度。在此条件下，若AE=3，BF=2，则四边形的面积为4.5。2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上。求n的值为60度。若F是DE的中点，则四边形ACFD是等腰梯形，因为AC=CF，FD=DE。3.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H。线段DE、FG相交于点H，因为旋转和平移不改变线段的位置关系。连接CG，可以证明四边形CBEG是正方形，因为CG=GE=BE=BC。4.已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1。以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x。x的取值范围为1<x<5。若△ABC为直角三角形，则x=√5。5.在直角坐标系中，已知点P（﹣2，﹣1），点T（t，0）是x轴上的一个动点。点P关于原点的对称点P′的坐标为（2，1）。当t=3时，△P′TO是等腰三角形。6.在△ABC中，∠BAC=120，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60后得到△ECD，若AB=3，AC=2，则∠BAD的度数为30度，AD的长为3。7.将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，∠A=∠D=45°，将图①中的△DCE顺时针旋转得图②，点P是AB与CE的交点，点Q是DE与BC的交点，在DC上取一点F，连接BE、FP，设BC=1，当BF⊥AB时，△PBF面积的最大值为1/4。8.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F。由旋转对称性可以证明△ABD≌△ACE。∠ACE的度数为70度。四边形ABFE是菱形，可以证明AF=FB=BE=AE。9.删除此题。小明遇到了一个问题：如图1所示，△ABO和△CDO都是等腰直角三角形，且ÐAOB=ÐCOD=90°。如果△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积。小明的思路是移动这些线段，构造一个三角形，然后计算其面积。他利用图形变换解决了这个问题。他延长CO到E，使得OE=CO，并连接BE，证明△OBE≌△OAD。因此，得到的△BCE是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2所示）。请回答：图2中△BCE的面积等于多少。请使用平移、旋转和翻转的方法解决以下问题：如图3所示，已知△ABC，以AB、AC和BC为边向外作正方形ABDE、AGFC和BCHI，然后连接EG、FH和ID。（1）在图3中，利用图形变换画出以EG、FH和ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）。（2）如果△ABC的面积为1，那么以EG、FH和ID的长度为三边长的三角形的面积是多少？已知等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，△ABC保持不变，△MPN在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E和F。（1）如图1所示，当点P与点O重合时，OE和OF的数量和位置关系分别是什么？（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由。（3）如图3所示，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：HO=2：5。求BE的长度是多少？如图所示，在正方形ABCD中，E和F是对角线BD上的两个点，且∠EAF=45°。将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，然后连接EQ。请证明：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF=BE+DF。∴∠GFB=∠GFE+∠EFB=∠A+∠B=90°，∴FB⊥GF，又∵GF⊥GE，∴FB⊥ED，即FB垂直于ED．（2）解：四边形BECF是平行四边形，∴△BFC和△ECF的面积相等，即S△BFC=S△ECF．又∵BF=CE，∠BFC=∠ECF=90°，∴△BFC和△ECF全等，∴BC=EF，又∵AB=DE，∠A=∠D=90°，∴ABCD和DEFG都是矩形，且AB=DE，BC=EF，∴ABCD和DEFG全等，∴S△ABC=S△EFG．4.解：（1）当α=60°时，四边形CHGK是正方形，且BH=CK=3．（2）在旋转过程中，四边形CHGK的面积是逐渐增大的，而△ABC的面积是不变的，所以不存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC的面积．5.解：（1）∵PA=3，PB=2，PC=5，∴△PAB和△PCB相似，∴∠BPC=∠BAP，∴∠BQC=360°-∠BPA-∠BPC=360°-∠BPA-∠BAP=∠APB=90°，∴∠BQC=90°．（2）∵PA=12，PB=5，PC=13，∴△PAB和△PCB相似，∴∠BPC=∠BAP，又∵PA=12，PB=5，∴∠PAB=∠PBC=60°，∴∠BPC=120°，∴∠BPA=120°-60°=60°，∴∠BAP=∠BPA-∠PAB=60°-60°=0°，∴∠BQC=360°-∠BPA-∠BPC=360°-60°-120°=180°，不符合实际，故无解．6.解：当正方形A′B′C′O绕点O旋转时，OEBF的面积不变．理由：∵正方形A′B′C′O绕点O旋转时，OE和BF的长度不变，且∠EOB和∠FBO的度数相等，∴OEBF是一个菱形，又∵菱形的对角线相互垂直，且互相平分，∴OEBF的面积不变，且为a²/2．∴△ABD≌△ACE（SSS），∴∠ABD=∠ACE=80°，∴∠DBC=∠ECB=50°，又∵BC=BE，∴△BDC≌△BEC（SAS），∴∠CBD=∠CEB=70°，∴∠DBE=∠EBC=20°，又∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=80°，∴∠DBE+∠ABE+∠AEB=180°，即∠DBE+160°=180°，∴∠DBE=20°，∠EBD=30°，∠EDB=130°，∴∠CED=∠CEB+∠BED=50°+30°=80°，∴∠DEA=∠CEA-∠CED=100°-80°=20°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠DEA=80°.（2）由（1）可知，∠ABE=∠AEB=80°，∴△ABE为等腰三角形，∴AD=AE=BE=BD，又∵∠BAD=∠ABD=80°，∴四边形ABCD为等腰梯形，∴AD+BC=AB+DC=2AB，∴AD=BC=AB=DC=2.（3）设AD=BC=x，则AB=DC=2-x，∵△ABD为等腰三角形，∴BD=√(x^2-1)，又∵△BDC为等腰三角形，∴BD=DC=2-x，∴√(x^2-1)=2-x，解得x=√2+1，即AD=BC=√2+1，AB=DC=3-√2.在△ABD与△ACE中，根据SAS准则，可以得出△ABD≌△ACE。根据题意，可以得出∠CAE=100°，AC=AE，因此∠ACE=40°。根据题意，可以得出∠BAD=∠CAE=100°，AB=AC=AD=AE，因此∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°。由于∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，因此∠BFE=360°-∠BAE-∠ABD-∠AEC=140°，又∠BAE=∠BFE，因此四边形ABFE是平行四边形。由于AB=AE，因此平行四边形ABFE是菱形。根据题意，可以得出以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形是△EGM，因此△BCE的面积等于2×△EGM=3。当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是相等且重合。当△MPN移动到图2的位置时，结论仍然成立，因为OE、OF的位置关系和数量关系不随△MPN的移动而改变。根据题意，可以得出Rt△ABC是等腰直角三角形，点O是斜边BC的中点，△MPN是直角三角形，点P在AC上，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F。当点P在AC的延长线上，且EH：HO=2：5时，可以求出BE的长度。根据题意，可以得出△AQE≌△AFE（SAS），因此∠AEQ=∠AEF，故EA是∠QED的平分线。由于△AQE≌△AFE，因此QE=EF。根据题意可得QB+BE=QE，因此EF=BE+DF。根据题意，可以得出四边形CHGK的面积始终等于9，因此面积不变。设BH=x，则CK=x，CH=6-x。假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的位置，则有$\frac{1}{2}(6-x)x=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4$，解得x=2或x=4。经检验，两者均符合题意。因此BH=CK=2，CH=4。解：首先，我们可以通过旋转来得到一些等式和角度关系。由于四边形ABCD是正方形，所以OA=OB，且∠OAE=∠OBF=45°。同时，四边形A′B′C′O也是正方形，所以∠C′OA′=90°，即∠BOF+∠BOE=90°。又因为∠AOE+∠BOE=90°，所以∠BOF=∠AOE。在△OAE和△OBF中，由于OA=OB，且∠OAE=∠OBF=45°，∠AOE=∠BOF，所以△AOE≌△BOF。因此，S△AOE=S△BOF，从而S△AOE+S△OBE=S△BOF+S△OBE，即S△AOB=S四边形OEBF。接下来，我们来看一道几何题。首先，连接PQ，由旋转可知QC=PA=3。又因为ABCD是正方形，所以△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°。因此，∠PQB=45°，PQ=4。在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，所以PC2=PQ2+QC2，即∠PQC=90°。故∠BQC=90°+45°=135°。最后，我们来看一道较为复杂的几何题。首先，我们将此时点P的对应点记为P′。由旋转可知