太原理工微积分与数学模型10年修改版第二章理工大高数

第二节 函数的极限~

函数极限的定义二 函数极限的性质一、函数极限的定义本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限。函数的极限与自变量的变化过程有关。自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同。主要研究两种情形：1.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量

x

fi

¥

表示

x

fi

+¥

及x

fi

-¥

，对正数X

，|

x

|>

X

表示

x

>

X

及

x

<-X定义1

如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数X，使得对于适合不等式|

x

|>X

的一切x

，所对应的函数值f

(x)都满足不等式|

f

(x)-A

|<e，那么常数A

就叫函数f

(x)当x

fi

¥

时的极限，记作xfi

¥lim

f

(

x)

=

A2)x

fi-¥

情形:lim

f

(

x)

=

Ax

fi

-¥"e

>0,$X

>0,使当x

<-X时,恒有f

(x)-A

<e1)x

fi+¥

情形:"e

>0,$X

>0,使当x

>X时,恒有f

(x)-A

<elim

f

(

x)

=

Ax

fi

+¥另两种情形lim

f

(

x)

=

Axfi

¥lim

f

(

x)

=

A且

lim

f

(

x)

=

Axfi

+¥

xfi

-¥结论几何解释--

XX当x

<

-

X或x

>

X时,

函数

y

=

f

(

x)图形完全落在以直线y

=

A为中心线,

宽为2e的带形区域内y

=

sin

xxAxy

=

sin

x例1xxfi

¥证明lim

sin

x

=0证：

sin

x

-

0

=

sin

x

<

1

<

1

=x

x

x

Xe"e>0,

取X

=1

,则当

x

>

X时恒有-

0

<

e,xsin

xxsin

x故lim

=

0xfi

¥定义如果lim

f

(x)=c,则直线y

=c是函数xfi

¥y

=f

(x)的图形的水平渐近线。例2证明lim(e

-x

+1)=1xfi

+¥证明：

因为

e-x

+1

-1

=

e-x

"

e>

0,要使

e-

x

+

1

-

1

<

e,

即e-

x

<

e也即

x

>

ln

1

故取

X

=

ln

1则当

x>

X时恒有

e-x

+

1

-1

<

e所以

lim

(

e

-

x

+

1)

=

1x

fi

+¥2.自变量趋于有限值时函数的极限考虑自变量

x

趋近于有限值

x0

，记这一变化过程为x

fix0仿照数列极限的定义，给出x

fi数的极限的定义。x0

时函"

e

>

0,

$d

>

0,

使当0

<

x

-

x0

<

d

时,恒有

f

(

x

)

-

A

<

e成立。lim

f

(

x)

=

Axfi

x0“e

-d

”定义就叫函数f

(x)当x

fi定义2

设函数

f

(

x)在点

x0

的某一去心邻域内有定义,如果对于任意给定的正数 (不论它多么小），总存在正数d

，使得对于适合不等式0

<|

x

-

x

|<

d

的一切

x

,对应的函数值f

(x)0都满足不等式|

f

(

x)

-

A

|<

e

，那么常数

Ax

时的极限，记作0或

f

(

x)

fi

A

(

x

fi

x0

)y

=

f

(

x)A

-

eA

+

eAx0

-dx0

+dx0ddxyo宽为2e的带形区域内图形完全落在以直线y

=A为中心线,域时,函数y

=f

(x

)0当x在x

的去心

d邻3)

几何解释注:1)

函数极限与f

(x)在点x0是否有定义无关；2)d与任意给定的正数e有关；显然,找到一个d后,d越小越好例3证明lim(3

x

-1)=2xfi

1证：因为|

f

(

x)

-

A

|=|

(3

x

-

1)

-

2

|=

3(

x

-

1)为使对于任意给定的正数，有3

|

x

-1

|<e3只要|

x

-1

|<e

,所以对任意3>0

，取d

=e则当x

适合不等式0

<|x

-1

|<d

时，对应的函数值f

(x)就满足不等式|

f

(

x)

-

A

|=|

(3

x

-

1)

-

2

|<

elim(3

x

-

1)

=

2x

fi

1所以所以

lim

x

=

x0xfi

x00证：

f

(

x)

-

A

=

x

-

x任给e

>0,x0e}当0

<

x

-

x0

<

d

时0x

-

x0x

+

x=要使f

(x)-A

<e取d

=min{

x0

,就有

x-

x0

<

e0xx

-

x£

0只要

x

-

x0

<

x0ex

=

x0xfi

x0例4

证明当x0

>

0时,

lim讨论单侧极限验证lim

f

(

x

)

=

2xfi

02x

<

0x

+

2

x

‡

0设f

(x)=

2

-xy

=

2

-

xyoy=

x2

+

2x2分x

>0和x

<0两种情况分别讨论x从左侧无限趋近

0,

函数值无限接近于2x从右侧无限趋近0,函数值无限接近于2左极限"e

>0,$d

>0,使当x0

-d

<x

<x0时,注意

{

x

0

<

x

-

x0

<

d}={

x

0

<

x

-

x0

<

d}

{

x

-

d

<

x

-

x0

<

0}xfi

x

-0右极限

"

e

>

0,

$d

>

0,

使当

x0

<

x

<

x0

+

d

时,恒有f

(x

)-A

<e恒有f

(x

)-A

<e记作

lim

f

(

x)

=

A

或

f

(

x0

-

0)

=

A+xfi

x0记作

lim

f

(

x)

=

A

或

f

(

x0

+

0)

=

Ayx1-

1oxfi

0左右极限存在但不相等，\lim

f

(x)不存在xx验证lim

不存在xfi

0例5x-

xxx

fi

-0

xlim

=

limx

fi

-0证：=

lim

(-1)

=

-1x

fi

-0xx

fi

+0

x

x

+0lim

x

=

lim

x

=

lim

1

=

1x

fi

+0f

(

x0

-

0)

=

f

(

x0

+

0)

=

Alim

f

(

x)

=

Axfi

x0结论二、函数极限的性质局部有界性定理

若在某个过程下

,

f

(

x)有极限,则存在过程的某一时刻,在此时刻以后

f

(

x)有界。唯一性定理若lim

f

(x)存在，则极限唯一。若lim

f

(x)=A,且A

>0(或A

<0),则$d

>0，xfi

x0当x

˛

U

0

(

x

,d

)时,

f

(

x)

>

0(或f

(

x)

<

0)0推论定理(保号性)f

(x)‡0(或f

(x)£

0),则A

‡0(或A

£

0)00xfi

x0若lim

f

(x)=A,且$d

>

0,当x

˛

U

(

x

,d

)时,3.局部保号性4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)0

0

0有数列

{xn

}(

xn

„

a),

使得n

fi

¥

时xn

fi

a，则称数列{f

(xn

)}即f

(x1

),f

(x2

),,f

(xn

),为函数f

(x

)当x

fi

a时的子列。定义

设在过程

x

fi

a(a可以是x

,

x

+

,

或x

-

)中nfi

¥当x

fi

a时的一个子列,则有lim

f

(xn

)=Axfi

a若lim

f

(x)=A,数列{f

(xn

)}是f

(x)定理xy

=

sin

x例如,

limxfi

0=

1sin

xxlim