平面向量的正交分解及坐标表示教学设计 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课题6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学目标（一）知识与技能1.了解平面向量的正交分解，掌握平面向量的坐标表示；2.正确理解平面向量坐标的概念，准确使用平面向量的三种表示方法。（二）过程与方法通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对平面向量的正交分解加深理解并加以应用。（三）情感、态度与价值观通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。教学重、难点教学重点：理解平面向量坐标的形成过程，领悟学习平面向量坐标的意义。教学难点：会用所学的平面向量的正交分解，解决相关问题。教学方法讲授法、讨论法、提问法课型新授课教学过程（一）创设情境，引入新课预习教材内容，思考以下问题：1．复习回顾，什么平面向量基本定理？2.问题1.平面向量基底的唯一要求就是不共线，因此平面向量有无数个基底.那么选什么样的基底能够更好的解决问题？3.问题2.物理上，我们在做力的分解时，将力进行了正交分解，即，我们选择了两个互相垂直的力作为基底.这对我们研究平面向量基底的选择问题有什么启示?（二）探索新知，整体认知首先让学生阅读课本P105思考题前一段文字，从光滑斜面上木块重力G分解中理解正交分解定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。（说明：选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。）探究活动1：平面向量的坐标表示的定义问题1：如图，取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，分别用、表示向量。易得；；；根据定理，对，有唯一和它对应的实数对（2，3），我们称(2，3）为的坐标，即=(2，3)。类似地，。问题2：更一般地，怎样定义平面内任意一个向量的坐标？学生思考，讨论，作答。（教师要给学生充足时间，并参与讨论、指导、修整）平面向量的坐标表示的定义：在直角坐标系内，取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，任意一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使，则称（x,y）为向量的坐标。记作=（x,y）。师生共同剖析定义，注意并理解定义中的关键词：基底的选择，有序实数对。问题3：写出下图中各向量的坐标。学生思考，作答。探究活动2：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点和终点坐标之间的关系问题4：在问题3相应的课件中，任意拖动点A，求不同位置下的向量的坐标和点A的坐标，由此得到它们之间有何关系？学生在观察及回答过程中得出结论：以原点为起点的有向线段表示的向量坐标就是其终点坐标.即：=(x,y)A(x,y)问题5：向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？在得出特殊情形下的向量坐标和终点坐标之间的关系后，给出问题5让学生思考，探究讨论，在教师的引导下完成证明。结论：若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2-y1)即：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点与起点的相应坐标的差．（三）初步应用，理论迁移探究活动3：向量的坐标运算问题6：当向量用有向线段表示时，我们可以对其进行加、减、数乘等运算，向量用坐标表示了之后，相应的运算法则是什么？即：若，则给学生充分时间进行自主探究，利用实物投影展示部分学生探究证明过程。结论：若，则。以加法为例进行证明（其余类似可得）：学生用文字语言概括向量的坐标运算法则：两个向量和（差）的坐标分别等于这两向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标。学生反思总结证明过程中的关键步骤：从数到形和从形到数的转化。(四)课堂练习，及时反馈练习1：已知，求。变式：已知，求。练习2：已知平行四边形ABCD的点A、B、C分别为（-2，1）、（-1，3），（3，4），求D点坐标。变式：上题中将条件“平行四边形ABCD”改为“A、B、C、D四点构成四边形”，则结果又如何？练习3：已知A（11，12）、B（4，5）、C（10，11），求证：A、B、C三点共线。变式：已知A（k，12）、B（4，5）、C（10，k），且A、B、C三点共线，求k的值。例题与变式都由学生先完成，然后讲评。注意和数的运算的区别和联系。师生共同探索，引导学生发现多种解题思路，并对方法进行总结。（五）梳理小结，深化理解1.平面向量的坐标表示的定义，向量坐标运算法则。2.数形结合、化归与转化、分类讨论思想的应用。3.观察猜想、归纳类比等合情推理及分析、综合等逻辑推理的方法。（六）布置作业，深入研究1.书面作业课本第30页练习1、2题。2.研究题：在平面斜坐标系xoy中，∠xoy=60°,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若=x+y，（其中,分别为与x轴，y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为（x,y）。如果P点斜坐标为（2，-2），求P到O的距离。板书设计1.平面向量的坐标表示的定义在直角坐标系内，取与x轴，y轴同向的单位向量、为基底，任意一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使，则称（x,y）为向量的坐标。记作=（x,y）。2.结论：若A