山西省大同市灵丘县上寨镇上寨中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

山西省大同市灵丘县上寨镇上寨中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则等于（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】先解不等式求得集合B,再进行补集交集运算【详解】由题故，.故选A【点睛】本题考查集合的运算，准确求得集合B是关键，是基础题2.定义运算,则函数f(x)＝1⊕2x的图象是()．参考答案：A3.已知定义在(0,+∞)上的函数，其中，设两曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，则的最大值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A4.若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=(

)

A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：C略5.读下面的程序框图（流程图），若输出S的值为－7，那么判断框内空格处可填写（

）

A． B． C． D．参考答案：A填“”时，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，．此时不再满足，则输出，它的值是，判断框内空格处可填写“”．6.已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）对x∈[﹣1，2]恒成立，则a的取值范围为（）A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，3）参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，当x∈[﹣1，2]时，x3﹣2x+a＞（x+1）恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．利用导数求得g（x）=﹣x3+3x+1的最大值，可得a的取值范围．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，故f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，若f（x3﹣2x+a）＜f（x+1）对x∈[﹣1，2]恒成立，则当x∈[﹣1，2]时，x3﹣2x+a＞x+1恒成立，即a＞﹣x3+3x+1恒成立．令g（x）=﹣x3+3x+1，令g′（x）=﹣3x2+3=0，x=±1，在[﹣1，1]上，g′（x）＞0，g（x）是增函数；在（1，2]上，g′（x）＜0，g（x）是减函数，故g（x）的最大值为g（1）=3，∴a＞3，故选：C．7.如图，在矩形中，，，点在线段上且，现分别沿将翻折，使得点落在线段上，则此时二面角的余弦值为(

▲

)A．B．C．

D．参考答案：D8.函数的图象大致为()．参考答案：A9.设函数f(x)=4cos(x﹣)sinx﹣2cos(2x+π)，则函数f（x）的最大值和最小值分别为（）A．13和﹣11 B．8和﹣6 C．1和﹣3 D．3和﹣1参考答案：D【考点】三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式诱导公式和两角和余差的基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用三角函数的有界限求最大值和最小值．【解答】解：函数=4×cossinxcox+4×sinsin2x+2cos2x=sin2x+1﹣cos2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．∵﹣1≤sin（2x+）≤1∴﹣1≤f（x）≤3．故函数f（x）的最大值和最小值分别：3和﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．10.复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=2（i为虚数单位），则z的共轭复数为（） A．1﹣i B． 1+i C． 3﹣i D． 3+i参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P的坐标，过点P的直线l与圆相交于A、B两点，则AB的最小值为

.

参考答案：4略12.已知定义域为R的函数是奇函数，则a+b=

．参考答案：3【考点】函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据函数是定义域为R的奇函数，故f（0）=0且f（﹣1）=﹣f（1），求出a，b值后，检验是否满足题意，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数是奇函数，∴f（0）==0，解得：b=1，且f（﹣1）=﹣f（1），即=﹣，解得：a=2，经检验，当a=2，b=1时，满足f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，为奇函数，故a+b=3，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，方程思想，转化思想，难度中档．13.函数的定义域是

．参考答案：14.(07年全国卷Ⅱ文)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为

．参考答案：答案：解析：一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．15.（5分）（2014?东营二模）设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则=．参考答案：10【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题．【分析】：由已知中E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，我们可以以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系，分别求出向量，的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．解：以A为坐标原点，AB、AC方向为X，Y轴正方向建立坐标系∵AB=3，AC=6，则A（0，0），B（3，0），C（0，6）又∵E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，则E（2，2），F（1，4）则=（2，2），=（1，4）∴=10故答案为：10【点评】：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程．16.已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，anan+1=3n（n∈N+），则S2014=

．参考答案：2?31007﹣2考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由anan+1=3n，得，两式作商得：，由此可得数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的前n项和求得S2014．解答： 解：由anan+1=3n，得，两式作商得：，又a1=1，∴a2=3，则数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，∴S2014=（a1+a3+…+a2013）+（a2+a4+…+a2014）=+=+=2?31007﹣2．故答案为：2?31007﹣2．点评：本题考查数列递推式，考查了作商法求数列的通项公式，考查了数列的分组求和，考查等比数列的前n项和，是中档题．17.函数的定义域是

.

参考答案：答案：{x|3<x<4或2≤x<3}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=|x2﹣2|+x2+ax．（1）若a=3，求方程f（x）=0的解；（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：＜+＜2．参考答案：考点：带绝对值的函数．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）若a=3，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=，即可求方程f（x）=0的解；（2）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，﹣a=g（x）=在（0，2）上有两个零点x1，x2，作出函数g（x）的图象，由图求实数a的取值范围；②由①得，=﹣k，=﹣k，可得+=x2，利用＜x2＜2，即可证明：＜+＜2．解答： 解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x2﹣2|+x2+3x=所以当x或x≥时，得x=﹣2，或x=（舍去）当﹣＜x＜时，2+3x=0得x=﹣所以a=3时，方程f（x）=0的解是x=﹣2或x=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2，﹣a=g（x）=在（0，2）上有两个零点x1，x2，作出函数g（x）的图象，由图可知：当且仅当＜﹣a＜3，即﹣3＜a＜﹣时，g（x）在（0，2）上有两个零点所以，﹣3＜a＜﹣时，函数（x）在（0，2）上有两个零点x1，x2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（②由①得，=﹣k，=﹣k，所以+=x2，而＜x2＜2所以＜+＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查带绝对值的函数，考查函数的零点，考查函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．19.已知函数的图象经过原点，且在处的切线斜率为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值。参考答案：解：（Ⅰ）∵函数的图象过原点，∴即，………….1分∵函数在处的切线斜率为即，∴。……………………….3分（Ⅱ）时，，，令，则，，，，，∴；…………………6分时，，当即时，，……7分

当即时，，……………8分

当即时，；………9分当时，若即时，，若即时，，………11分综上，函数在区间上的最大值为………12分

20.已知数列{an}是公差不为零的等差数列，，且存在实数满足，.（1）求的值及通项an；（2）求数列的前n项和Sn.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）设出等差数列的公差d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，由……①得……②，①-②得，，又因为，解得；将代入①可得，即，又因为，所以.（2）由（1）可得，所以.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式和前项和公式的运用，基本量法是解题常见的方法.21.函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B。（1）求A；（2）若BA，求实数a的取值范围。参考答案：解：（1）A：x＜-1或x≥1；…………6分

（2）B：（x-a-1）（x-2a）＜0…∵φ≠BA，∴①

∴a＞1

或②

∴a≤-2或≤a＜1；

∴a＞1或a≤-2或≤a＜1；…………12分22.（12分）已知函数f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2．（1）若f（x）在定义域上为单调递减函数，求函数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零点，若存在，求出满足a∈（n，n+1），n∈Z的n的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）求导，由题意可知：f′（x）≤0恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性与导数的关系，即可求得函数a的取值范围；（2）求导，当a≤0时，f（x）在[1，+∞）单调递减，则f（1）≤f（1）=﹣（x﹣a）2＜0无零点，当a＞0时，构造辅助函数，求导，利用导数与函数单调性的关系及函数零点的判断，即可求得存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零点．【解答】解：（1）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），则f（x）在定义域上单调递减，则f′（x）≤0恒成立，则g（x）=f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），则g′（x）=﹣2=，当x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，即f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴f′（x）≤f′（1）≤0，则a≤0，函数a的取值范围（﹣∞，0]；（2）当x∈（0，1），xlnx＜0，∴f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2＜0恒成立，当x∈（1，+∞），由（1）可知，f′（x）在[1，+∞）单调递减，①当a≤0时，由（1）可知，f（x）在[1，+∞）单调递减，则f（1）≤f（1）=﹣（x﹣a）2＜0，f（x）无零点，不符合题意；②当a＞0时，设p（x）=ex﹣2x，（x＞0），p′（x）=ex﹣2，则p（x）＞p（ln2）=2﹣lnx2＞0，∴f′（ea+1）=2（a+1）﹣ea+1＜0，由f′（1）＞0，∴存在x0∈（1，ea+1），使得f′（x0）=0，即a=x0﹣1﹣lnx0，①故当且仅当x∈（1，x0）时，f′（x0）＞0，当x∈（x0，+∞），f′（x0）＜0，∴f（x）在（1，x0）内单调递增，在（x0，+∞）内单调递减，由f（x）≤0恒成立，且f（x）有唯一的零点，∴f（x0）=2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=0，②由①②可知：，③联立2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=2x0lnx0﹣[x0﹣（x0﹣1﹣lnx0）]2=2x0lnx0﹣（1+lnx0）2，设φ（x）=2xlnx﹣（1+lnx）2，则φ（1