河南省南阳市高三第三次联考（高考模拟）文科数学试卷

河南省南阳市高三第三次联考（高考模拟）文科数学试卷1．设全集是实数集,集合，，则为（

）A．B．C．D．2．设复数满足（为虚数单位），则的实部是（

）A．1B．2C．3D．43．等差数列中，如果，，则数列前9项的和为（

）A．297B．144C．99D．664．下列命题中正确命题的个数是（

）

（1）命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；

（2）设回归直线方程中，增加1个单位时，一定增加2个单位；

（3）若为假命题，则均为假命题；

（4）对命题，使得，则，均有；A．1B．2C．3D．45．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是变长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（

）

6．一个算法的程序框图如图，则其输出结果是（

）

A．0B．C．D．7．若函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是（

）A．B．C．D．8．已知抛物线的准线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，且，则双曲线的离心率e为（

）A．2B．C．D．9．已知且，则下面结论正确的是（

）A．B．C．D．10．已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（

）A．B．C．D．11．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（

）A．B．C．D．12．动圆C经过点，并且与直线相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（

）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值13．设实数x，y满足约束条件，若目标函数（）的最大值为8，则的最小值为

.14．设，，，则的大小关系是

.15．若点在直线上，则的值等于

.16．在三棱锥中，，，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是

.17．在等差数列中，，其前n项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为q，且，.

（1）求与；

（2）设数列满足，求的前n项和.18．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频率分布表.

（1）求正整数的值；

（2）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.19．如图所示，ABCD是正方形，平面ABCD，E，F是AC，PC的中点.

（1）求证：；

（2）若，求三棱锥的体积.20．已知圆，直线与圆相切，且交椭圆于两点，c是椭圆的半焦距，.

（1）求m的值；

（2）O为坐标原点，若，求椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，设椭圆的左右顶点分别为A，B，动点，直线与直线分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值.21．已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.22．如图，直线AB过圆心O，交于F（不与B重合），直线与相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC.

求证：（1）；（2）.23．已知曲线C的极坐标方程为，直线的参数方程为（t为参数，）.

（1）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；

（2）若直线经过点，求直线被曲线C截得的线段AB的长.24．设.

（1）当时，，求a的取值范围；

（2）若对任意，恒成立，求实数a的最小值.参考答案1．C[※解析※]试题分析：∵，∴或，∴，∵，∴，

∴，∴，∴.

考点：1.一元二次不等式的解法；2.对数不等式的解法；3.集合的补集、交集运算.2．A[※解析※]试题分析：∵，∴，∴的实部是1.

考点：1.复数的除法运算；2.复数的实部与虚部.3．C[※解析※]试题分析：∵，，∴，，，，∴，，∴.

考点：1.等差数列的性质；2.等差数列的通项公式；3.等差数列的前n项和公式.4．B[※解析※]试题分析：（1）正确；（2）设回归直线方程中，增加1个单位时，平均增加2个单位；（3）若为假命题，则至少有一个是假命题；（4）正确.

考点：1.命题的否定；2.复合命题的真假判断；3.回归直线方程；4.正态分布；5.逆否命题.5．C[※解析※]试题分析：由条件得直观图如图所示:正视图是直角三角形,中间的线是看不见的线PA形成的投影为虚线.

考点：三视图.6．B[※解析※]试题分析：由题意可知：

.

考点：1.程序框图；2.三角函数的周期性.7．D[※解析※]试题分析：∵函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，

∴，∴.

考点：1.三角函数图像；2.函数的极值.8．D[※解析※]试题分析：抛物线的准线为，双曲线的渐近线为，两者联立，求出交点坐标为，，，即，则，

即.

考点：1.双曲线的渐近线；2.抛物线的准线；3.两点间距离公式.9．D[※解析※]设，，∴，

当时，，∴为减函数，当时，，∴为增函数，

且函数为偶函数，∵，∴，∴，∴.

考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性.10．A[※解析※]∵，∴，

∴，∴，∴，∴.

考点：1.向量的运算；2.余弦定理.11．C[※解析※]试题分析：由图像可知:，，∴，∴答案选C.

考点：函数图象.12．D[※解析※]设圆心为，半径为，，即，即，

∴圆心为，，圆心到直线的距离为，

∴或，当时，，∴.

考点：1.点到直线的距离；2.圆与直线的位置关系.13．4[※解析※]试题分析：约束条件所表示的区域如图所示：目标函数在处取得最大值，所以，即，所以，当且仅当时取等号.

考点：线性规划.14．[※解析※]试题分析：由题意可知：，，，，，∴，

∴.

考点：1.指数函数、对数函数的性质；2.比较大小.15．[※解析※]试题分析：∵点在直线上，∴，∴，

.

考点：1.诱导公式；2.倍角公式；3.齐次式.16．6[※解析※]试题分析：取中点，连接，∵，∴，∵，

∴，平面.∴为二面角.在中，，，

∴.取等边的中心，作平面，过作平面，为外接球球心，

∴，二面角的余弦值是，所以，，

∴，∴点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为.

考点：三棱锥的外接球.17．(1)，；（2）.[※解析※]试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、裂项相消法求和等数学知识，考查学生的计算能力和分析问题的能力.第一问，利用等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式将已知表达式展开，求出和，从而求出等差数列、等比数列的通项公式；第二问，利用等差数列的前n项和公式先求出，得到进行裂项，用裂项相消法求数列的前n项和.

试题解析：（1）设的公差为.

因为所以

3分

解得或（舍），

故

，.

6分

（2）由（1）可知，，

7分

所以.

9分

故

12分

考点：1.等差数列、等比数列的通项公式；2.等差数列的前n项和公式；3.裂项相消法求和.18．（1），，；（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；（3）.[※解析※]试题分析：本题主要考查频率分布直方图、分层抽样、随机事件的概率等数学知识，考查学生的分析问题解决问题的能力，考查学生的读图能力和计算能力.第一问，由频率分布直方图分析与两组的人数相同，所以人，由于的高是的4倍，所以为100人；第二问，由第一问知，第1，2，3组共有150人，用分层抽样列出表达式，求出各层中需要抽取的人数；第三问，分别设出第1，2，3组抽取的人为，分别写出从6人中选取2人的情况共15种，在所有情况中选出符合题意的种数共8种，然后求概率.

试题解析：（1）由频率分布直方图可知，与两组的人数相同，

所以人．

1分

且人．

2分

总人数人．

3分

（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取人，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为，

4分

第2组的人数为，

5分

第3组的人数为，

6分

所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．

7分

（3）由（2）可设第1组的1人为，第2组的1人为，第3组的4人分别为，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：

，，，，，，，，，，，，，，，共有种．

9分

其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：，，，，，，，，共有8种．

11分

所以恰有1人年龄在第3组的概率为．

12分

考点：1.频率分布直方图；2.分层抽样；3.随机事件的概率.19．（1）证明过程详见解析；（2）.[※解析※]试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线平行、线线垂直、线面垂直、三棱锥的体积等数学知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、转化能力和计算能力.第一问，因为是正方形，所以对角线互相垂直，在中分别是中点，利用中位线，得，因为平面，∴平面，∴垂直面内的线，利用线面垂直的判断，得平面，所以得证；第二问，因为平面，所以显然是三棱锥的高，在正方形中求出的边长及面积，从而利用等体积法将转化为，利用三棱锥的体积公式计算.

试题解析：（1）连接，

∵是正方形，是的中点，

∴

1分

又∵分别是的中点

∴

∥

2分

又∵平面，∴平面，

3分

∵平面,

∴

4分

又∵

∴平面

5分

又∵平面

故

6分

（2）∵平面，∴是三棱锥的高，

∵是正方形，是的中点，∴是等腰直角三角形

8分

，故,

10分

故

12分

考点：1.中位线；2.线面垂直的判断与性质；3.三棱锥的体积；4.等体积转换.20．（1）；（2）；（3）.[※解析※]试题分析：本题主要考查圆的标准方程、椭圆的标准方程、直线的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，考查转化能力和计算能力.第一问，利用直线与圆相切，利用圆心到直线的距离为半径，列出等式，求出；第二问，直线与椭圆相交，两方程联立，消参，得到关于的方程，利用两根之和，两根之积和向量的数量积联立，得到和，从而求出椭圆的方程；第三问，设直线的斜率，设出直线的方程，直线与椭圆联立，消参，利用两根之积，得到的值，则可以用表示坐标，利用点坐标，求出直线的方程，直线的方程与直线联立，求出点坐标，利用两点间距离公式，得到的表达式，利用均值定理求出最小值.

试题解析：（1）直线与圆相切,

所以

4分

(2)将代入得

得:①

设则

因为

②

由已知代人（2）

所以椭圆的方程为

8分

(Ⅲ)显然直线AS的斜率存在，设为且则

依题意，由得：

设则即

，又B（2，0）所以

BS：

由

所以时：

12分

考点：1.点到直线的距离；2.向量的数量积；3.韦达定理；4.均值定理.21．（1）的极小值为，无极大值；

（2）①当时，在和上是减函数，在上是增函数；

②当时，在上是减函数；

③当时，在和上是减函数，在上是增函数

（3）.[※解析※]试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.

试题解析：（1）当时，

1分

由,解得.

2分

∴在上是减函数，在上是增函数.

3分

∴的极小值为，无极大值.

4分

（2）.

5分

①当时，在和上是减函数，在上是增函数；

6分

②当时，在上是减函数；

8分

③当时，在和上是减函数，在上是增函数.

8分

（3）当时，由（2）可知在上是减函数，

∴.

9分

由对任意的恒成立，

∴

10分

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

11分

由于当时，，∴.

12分

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质.22．(1)证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.[※解析※]试题分析：本题主要考查以圆为背景考查角相等的证明及相似三角形等基础知识，考查学生的转化能力和推理论证能力.第一问，通过AB为直径，所以为直角，又因为GC切⊙O于C，所以，所以得证；第二问，利用EC与⊙O相切，得出，所以三角形相似得与相似，利用相似三角形的性质，得出比例值，化简即可，得证.

试题解析：：(1)连结,∵是直径，

∴,∴.

∵切于,∴.

∴

.5分

(2)连结,∵切于,

∴.

又,

∴.

∴,∴.

.10分

考点：1.圆的切线的性质；2.相似三角形.23．（1），曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F(1,0)的抛物线；（2）8.[※解析※]试题分析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线的参数方程，韦达定理等基础知识，考查学生的转