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文档简介

数学分析3.5无穷小量与无穷大量本节讨论极限的求法。利用极限的定义,从变量的变化趋势来观察函数的极限,对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则首先来介绍无穷小。无穷小在实际应用中,经常会遇到极限为0的变量对于这种变量不仅具有实际意义,而且更具有理论价值,值得我们单独给出定义润西学院数学系分析数学教研室数学分A1定义:极限为零的变量称为无穷小定义1如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式0<x-x0|<8(或x>X)的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式J∫(x)<E,那末称函数f(x)当x→xo(或x→∞)时为无穷小记作limf(x)=0(或lim∫(x)=0)例如,limsinx=0,∴函数sinx是当x→0时的无穷小润西学院数学系分析数学教研室数学分析lim=0,∴函数是当x→∞时的无穷小x→0J(-1)n+=0,∴数列(-1)”1是当n→时的无穷小lm注意1.称函数为无穷小,必须指明自变量的变化过程;2无穷小是变量,不能与很小的数混淆3零是可以作为无穷小的唯一的数润西学院数学系分析数学教研室数学分析2无穷小与函数极限的关系:定理1limf(x)=A分f(x)=A+o(x),x→x其中(x)是当x→>x0时的无穷小证必要性设Iim∫(x)=A,令α(x)=f(x)-A,则有lima(x)=0,∴f(x)=A+a(x).x→x0充分性设f(x)=A+a(x),其中∝(x)是当x→x时的无穷小则limf(x)=lim(A+α(x))=A+lima(x)=A.润西学院数学系分析数学教研室数学分析意义1将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);2给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)≈A,误差为o(x)3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小证设及β是当x

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