02-线性定常系统的MATLAB实现课件

2.1连续系统数学模型的Matlab实现2.2基于Matlab的线性系统时域分析2.3基于Matlab的线性系统频域分析第二章基于MATLAB的线性连续系统分析1数学模型是控制系统仿真的基础。在MATLAB中，用来表示线性连续控制系统的数学模型有：分子分母多项式模型，零极点增益模型与Simulink结构图。一、分子分母多项式模型对于单输入单输出(SISO)连续线性定常系统，其传递函数为：2.1连续系统数学模型的Matlab实现2其传递函数分子，分母均按s的降幂排列。在MATLAB里，可直接用分子、分母多项式系数构成的两个向量num与den表示系统。3在MATLAB中，用tf()命令来建立控制系统的分子分母多项式模型。其调用格式为：sys=tf(num,den)：返回连续系统的传递函数模型，num与den分别为系统的分子与分母多项式系数向量；若已知系统传递函数G，其分子与分母多项式系数向量可分别由G.num{1}与G.den{1}指令求出。4已知两系统传递函数分别为试用MATLAB创建系统分子分母多项式模型。例：num1=[8,24,16];den1=[1,12,47,60,0];sys1=tf(num1,den1)num2=6*[1,5];den2=conv(conv([1,3,1],[1,3,1]),[1,6]);sys2=tf(num2,den2)5对连续系统，其传递函数表达式还可以用系统增益、零点与极点表示为：二、零极点增益模型MATLAB中，连续系统可以直接用零点向量z，极点向量p和增益量k来表示系统6sys=zpk(z,p,k)：用来建立连续系统的零极点增益模型；MATLAB中，用函数命令zpk()来建立控制系统的零极点增益模型，其调用格式为：若已知系统零极点增益模型传递函数sys，其零点与极点可分别由sys.z{1}与sys.p{1}指令求出。7已知系统传递函数为试用MATLAB创建系统的零极点增益模型。例：z=[-1,-2];p=[-2-i,-2+i,-3];k=1;sys=zpk(z,p,k)8三、两种数学模型之间的转换这两种数学模型之间是可以相互转换的，其调用格式分别为：

tf(sys)

——将零极点增益模型转换成传递函数模型；

zpk(sys)——将传递函数模型转换成零极点增益模型。例：已知系统的传递函数为：试求其等效的零极点增益模型。sys2=zpk(sys1)9[z,p,k]=tf2zp(num,den)，其中num和den分别为系统传递函数的分子与分母多项式系数向量，z,p,k分别为系统对应的零点向量、极点向量和增益。[num,den]=zp2tf(z,p,k)，其中z,p,k分别为系统的零点向量、极点向量和增益。num和den分别为系统对应的传递函数模型分子与分母多项式系数向量。注意：z,p必须为列向量！10例：已知系统的传递函数为

根据传递函数求解零点、极点和增益值。num=[2,3,4];den=[3,4,5,6,7,8,9];[z,p,k]=tf2zp(num,den)11控制系统框图的化简主要包括串联环节、并联环节和反馈环节的化简。四、控制系统结构图化简1、串联环节化简在MATLAB中，当n个模型串联时，可用sys=sys1*sys2*…*sysn来求串联后的系统模型。还可用命令series()函数来实现两个系统模型的串联，其调用格式为：sys=series(sys1,sys2)。12G1=tf(1,[1,2,1]);G2=tf(1,[1,1]);G=G1*G2G=series(G1,G2)已知两系统传递函数分别为求两系统串联后的系统模型。例：132、并联环节化简在MATLAB中，当n个模型并联时，可用sys=sys1+sys2+…+sysn来求并联后的系统模型。还可用命令parallel()函数来实现两个系统模型的串联，其调用格式为：sys=parallel(sys1,sys2)。14G1=tf(1,[1,2,1]);G2=tf(1,[1,1]);G=G1+G2G=parallel(G1,G2)已知两系统传递函数分别为求两系统并联联后的系统模型。例：153、反馈环节化简sys=feedback(sys1,sys2,sign)——sys1为前向通道传递函数模型，sys2为反馈环节模型，sign为反馈极性，取-1时，为负反馈；取1时，表示正反馈；默认值为-1。MATLAB中，用函数命令feedback()来求反馈连接下的系统模型，其调用格式为：16G1=tf(1,[1,2,1]);G2=tf(1,1);disp('负反馈系统闭环传递函数为：')G=feedback(G1,G2)disp('正反馈系统闭环传递函数为：')G=feedback(G1,G2,1)例：17)(1sG)(2sG)(3sG)(4sG)(1sH)(3sH)(2sH)(sR)(sC－－－例：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)，其中18G1=tf(1,[1,10]);G2=tf(1,[1,1]);G3=tf([1,0,1],[1,4,4]);G4=tf([1,1],[1,6]);H1=tf(1,1);H2=tf(1,1);H3=tf(1,[1,2]);G5=feedback(series(G3,G4),H3);G6=feedback(series(G5,G2),H2/G4);G7=feedback(series(G6,G1),H3)192.2基于Matlab的线性系统时域分析2.2.1线性系统时域响应一、连续系统单位阶跃响应在MATLAB中，用step()命令求连续系统的单位阶跃响应，其调用格式为：step(sys,t)，函数在当前图形窗口中直接绘制出系统的阶跃响应曲线。式中sys是由tf或zpk函数建立的系统模型；t可以指定为一个仿真终止时间，此时t为标量；也可将其设置为一个时间矢量(用t=0:dt:Tfinal的形式)。[y,t]=step(sys)，不绘制阶跃响应曲线，返回阶跃响应幅值y和时间t。20num=80;den=[1,2,0];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1);step(closys,1:0.1:10)

例：已知单位负反馈系统的前向通道的传递函数为：，试作出其单位阶跃响应曲线。21MATLAB中，用函数命令impulse()来求连续系统单位脉冲响应，其调用格式同step()函数。二、连续系统单位脉冲响应num=80;den=[1,2,0];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1);impulse(closys)

例：22MATLAB中，没有求斜坡响应和加速度响应的特定函数，根据闭环传递函数的定义：三、连续系统单位斜坡和单位加速度响应对于单位阶跃信号有：对于单位斜坡信号有：对于单位加速度信号有：23由此可以看出：可以将系统闭环传递函数除以拉氏算子s(s2)

，再使用step函数就求得系统的单位斜坡响应（单位加速度响应）。在MATLAB中，只需在系统闭环传递函数分母多项式向量最末位补上一个（两个）“0”即可。24num=80;den=[1,2,0];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1);sys1=closys*tf(1,[1,0]);step(sys1),figure(2);sys2=closys*tf(1,[1,0,0]);step(sys2)例：已知单位负反馈系统的前向通道的传递函数为：，试作出其单位斜坡响应曲线和单位加速度响应曲线。25

对于其他信号，没有特定的函数相对应，但用函数命令lsim()来求其时间响应，其调用格式为：四、连续系统任意输入下的时间响应

lsim(sys,r,t)，绘制输入信号r作用下系统sys在时间t内的响应曲线。y=lsim(sys,r,t)，不绘制响应曲线，返回系统sys在输入信号r作用下时间响应的幅值y。26num=9;den=[1,4,9];sys=tf(num,den);t=0:.1:4;subplot(221);impulse(sys,t)

subplot(222);step(sys,t)subplot(223);r1=t;lsim(sys,r1,t)subplot(224);r2=sin(4*t);lsim(sys,r2,t)例：已知系统闭环传递函数为：试作出系统在单位脉冲、单位阶跃、单位斜坡和正弦信号作用下的响应曲线。27在自动控制原理中，最常用的阶跃响应性能指标有4个：上升时间tr，峰值时间tp，超调量σ%和调整时间ts。2.2.2阶跃响应动态性能指标计算一、一阶系统28由图中可以看出，一阶系统的阶跃响应是一个按指数规律单调上升的过程。其动态性能指标中无超调量、峰值时间和上升时间等。一般只需计算的动态性能指标就是调节时间ts

。29特征方程：特征根：时间常数阻尼系数无阻尼自然振荡频率二、二阶系统)s(snnζww22+R(s)C(s)+-特征方程有一对共轭复数根。其响应曲线是一条衰减振荡曲线。30超调量调整时间峰值时间上升时间0<ζ<1二阶系统动态性能指标31（1）绘制其单位阶跃响应曲线：num=[1.25];den=[110];G=tf(num,den);phi=feedback(G,1);step(phi)设一单位负反馈控制系统的开环传递函数为：

试绘制出该闭环系统的单位阶跃响应曲线并计算系统的动态性能指标。例：

1.25--------------s^2+s+1.2532（2）计算系统的性能指标：wn=sqrt(1.25);zeta=solve('2*zeta*sqrt(1.25)=1','zeta');系统的单位阶跃响应曲线是衰减振荡曲线。属于欠阻尼系统。由前面的计算公式可知，系统的动态性能指标与阻尼系数ζ和无阻尼自然振荡频率ωn有关系。故首先要求出这两个参数。beta=acos(zeta);tr=(pi-beta)/(wn*sqrt(1-(zeta)^2))tr=simplify(tr)tp=pi/(wn*sqrt(1-(zeta)^2))tp=simplify(tp)ts=3/(zeta*wn)ts=simplify(ts)sigma=exp(-pi*zeta/(1-(zeta)^2)^(1/2))sigma=simplify

(sigma)

1.25--------------s^2+s+1.2533例：已知系统结构如图所示。试确定k值，使阻尼系数ζ=0.5，绘制此系统单位阶跃响应曲线并计算此时的单位阶跃响应的动态性能指标。

8.016+ss1K--RC34（1）首先求出此系统闭环传递函数：symssG1G2H1H2phi1phiK;G1=16/(s+0.8);H1=K;phi1=G1/(1+G1*H1);G2=phi1*1/s;H2=1;phi=factor(G2/(1+G2*H2))（2）已知ζ=0.5，求K。wn=sqrt(16);zeta=0.5;k=(2*zeta*wn-0.8)/1635（3）绘制单位阶跃响应曲线：step([80],[52080])（4）计算系统的性能指标：zeta=0.5;wn=4;beta=acos(zeta);tr=(pi-beta)/(wn*sqrt(1-(zeta)^2))tp=pi/(wn*sqrt(1-(zeta)^2))ts=3/(zeta*wn)sigma=exp(-pi*zeta/(1-(zeta)^2)^(1/2))362.2.3线性系统稳定性分析控制系统稳定的充要条件：闭环传递函数的极点全部具有负实部，即闭环传递函数的极点全部在[s]平面左半平面。系统稳定的定义：设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，则系统不稳定。37控制系统稳定性的判断方法：根据系统脉冲或阶跃响应判断系统稳定性；直接由闭环传递函数求系统特征根（闭环极点）；劳斯稳定性判据；由开环系统传递函数求闭环系统极点（根轨迹法）；Nyquist稳定性判据；由Bode图判断系统的稳定性。38一、求闭环极点在MATLAB中，由闭环传递函数求系统特征根的函数为pole()，其调用格式为：p=pole(sys)——式中sys是系统闭环传递函数，此指令可以得到sys的极点数据，保存在变量p中。39num=[12];den=[1

3

20];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1)pole(closys)den1=closys.den{1};roots(den1)step(closys);holdonimpulse(closys)例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为：试判断闭环系统稳定性。40二、绘制零、极点图在MATLAB中，绘制零极点图的函数指令为pzmap()，其调用格式为：[p,z]=pzmap(sys)——式中sys是系统开环传递函数，此指令可以得到sys的零点和极点数据，不绘制零、极点图；零点数据保存在变量z中，极点数据保存在变量p中；pzmap(p,z)——用于在复平面绘制零、极点图。在图中，极点用“×”表示，零点用“○”表示；极点p为行向量，零点z为列向量。41num=[12];den=[1

3

20];sys=tf(num,den);closys=feedback(sys,1)[p,z]=pzmap(closys)pzmap(p,z)例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制该系统的零、极点图。422.2.4控制系统稳态误差计算稳态误差定义：稳定系统误差的终值称为系统的稳态误差。当时间t趋于无穷时，e(t)极限存在，则稳态误差为稳态误差求法：根据稳态误差定义和终值定理；静态误差系数法；43一、用终值定理求稳态误差例：一单位反馈系统开环传递函数为试计算输入单位阶跃信号时系统输出端的稳态位置误差。%先判断闭环系统稳定性num1=[10];den1=[12];G=tf(num1,den1);phi=feedback(G,1)pole(phi)44单位负反馈系统单位阶跃信号输入时，系统稳态误差：symssessess=limit(1/(1+10/(s+2)),s,0)45例：一负反馈系统前向通道传递函数为试计算输入单位斜坡信号时系统输出端的稳态位置误差。反馈环节传递函数为num2=[10];den2=[120];G2=tf(num2,den2);H2=tf([101],[1]);phi2=feedback(G2,H2)p=phi2.den{1};roots(p)46输入单位斜坡信号时，系统稳态误差：symssessess=limit((1/(s*(1+(10/(s*(s+2)))*(1+10*s)))))47一、极坐标图（Nyquist图）2.4基于Matlab的线性系统频域分析nyquist(sys)，sys系统传递函数。此时绘制出来的极坐标图的默认角频率ω是从-∞~+∞。这点与自动控制原理略有不同。nyquist(num,den)，num,den系统传递函数分子与分母多项式系数向量。MATLAB中用来绘制连续系统极坐标图的指令为nyquist()，其调用格式为：48nyquist(sys，{wmim,wmax})，绘制ω为wmin~wmax范围内sys的极坐标图。[re,im]=nyquist(sys,w)，计算给定频率点w处频率特性的实部re和虚部im。[re,im,w]=nyquist(sys)，返回频率特性实部re和虚部im的数值及频率点w。49num=1;den=[0.2,1];sys=tf(num,den);nyquist(sys)例：试绘制一阶惯性环节的极坐标图。50二、Nyquist稳定判据若系统开环不稳定，即开环传递函数Gk(s)在右半平面上有P个极点，闭环系统稳定的充要条件是：开环系统Nyquist曲线及其镜像当ω从－∞→＋∞变化时，以逆时针方向包围(-1,j0)点P圈；若系统开环稳定，即开环传递函数Gk(s)极点均在左半平面，则闭环系统稳定的充要条件是：开环系统Nyquist曲线及其镜像当ω从－∞→＋∞变化时，不包围(-1,j0)点。51MATLAB中运用Nyquist稳定判据的步骤为：(1)绘制开环系统Nyquist曲线。(2)根据开环传递函数Gk(s)在右半平面上的极点个数p判断开环系统是否稳定。(3)根据Nyquist曲线绕(-1,j0)点的圈数和p来判断闭环系统是否稳定。52num1=[5];den1=conv([11],[0.11]);sys1=tf(num1,den1);nyquist(sys1)答案：开环稳定，不包围(-1,j0)点。例：已知系统开环传递函数为：试绘制开环系统Nyquist图，并判断闭环系统的稳定性。num2=[5];den2=conv([11],[0.1-1]);sys2=tf(num2,den2);nyquist(sys2)答案：开环不稳定，包围(-1,j0)点。但是是顺时针，不稳定？？53bode(sys)——绘制系统sys的Bode图，sys为由tf、zpk建立起来的控制系统数学模型。bode(sys，w)——绘制给定频率点w处的对数幅频特性曲线，w可由logspace()函数生成。bode(num，den)——绘制系统Bode图，num和den分别为系统传递函数的分子分母多项式系数向量。MATLAB中用来绘制连续系统Bode图的指令为bode()，它的调用格式为：三、对数坐标图(bode图)54bode(sys，{wmim,wmax})，绘制ω为wmin~wmax范围内sys的Bode图。[mag,phase]=bode(sys,w)，计算给定频率点w处频率特性的幅值mag和相角phase。[mag,phase,w]=bode(sys)，返回频率特性幅值mag和相角phase的数值及频率点w。55Bode稳定性条件如果开环特征多项式没有右半平面的根，且在幅值L(W)≥0的所有角频率范围内，相角范围都大于-π线，那么闭环系统是稳定的。56num=8000;den=[1302000];sys=tf(num,den);w=logspace(-1,3);bode(sys,w)Grid例：试绘制一阶惯性环节的Bode