2022届高考数学考前模拟题

2022年高考数学考前模拟题

1.如图，在直三棱柱ABC-481。中，/8AC=90°,AB=AC,D,E,尸分别为441,

B\C,8c的中点.

(1)证明：DE与4尸在同一平面内；

(2)已知异面直线81c与44所成的角为45°,求直线OE与平面DBC所成角的大小.

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【分析】(1)连接AF,EF,证明EF〃A4i,然后证明OE与A1F1在同一平面内.

(2)以4为坐标原点，以AB,AC,A4i所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，求出平面。8c的一个法向量，求出法=6=(1,1,0),利用空间向量的数量

积求解直线与平面所成角的大小即可.

【解答】(1)证明：连接AF,EF,

:E,尸分别为BiC,BC中点，EF//BB\,

'：AA\//BBi,：.EF//AA\,(3分)

：.AA\,EF在同一平面内，设为a,则4,F,D,E&a,

AAiFca,DEua,...DE与41F1在同一平面内.(6分)

(2)解：；A4i〃CCl,，N81CC1为异面直线BiC,A41所成的角，二NBiCCi=45°,

设AB=AC=2,贝ICC]=BiG=2近，(7分)

以A为坐标原点，以A8,AC,A41所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，

则8(2,0,0),C(0,2,0),F(L1,0),D(0,0,a),

：.AF=(1,1,0),BC=(-2,2,0),BD=(-2,0,V2),

(TT

m•BC=-2x+2y=0

设平面£>8C的一个法向量为zn=(x,y,z),则

m-BD=-2x+\[2z=0

令x=l,则y=l,z-V2,

所以平面。BC的一个法向量就=(1,1,&)，(10分)

由因为法=G=(1,1,0),设直线QE与平面。所成角为。，

则sin。=\cos(m,AF)\=£?=孝，

又。e(0,J),所以o=£(12分)

【点评】本题考查平行的基本性质的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能

力，转化思想以及计算能力，是中档题.

2.如图，在多面体A8C0EF中，四边形ABCQ和CDEF都是直角梯形，AB//CD,CD//

EF,AB=EF=\,DA=DC=DE=2,NAQE=NA£>C=NEQC=%,点〃为棱CF上一

点，平面4EM与棱BC交于点N.

(I)求证：E£)J_平面ABC。；

(II)求证：AE/IMN：

2FM

(III)若平面AEM与平面CDEP所成锐二面角的余弦值为求正的值.

【分析】(I)证明E£)_LA。，EDLDC.然后推出E£>_L平面ABCD.

(II)证明四边形是平行四边形.得至l」AE〃BE推出AE〃平面BCF.然后证明

AE//MN.

(Ill)建立空间直角坐标系O-xyz,求出平面AEM的法向量，平面CQEF的法向量,

利用空间向量的数列；就求解二面角的平面角的余弦函数值，即可推出结果.

【解答】(I)证明：因为乙4DE=NEDC=*,

所以EQ_LA。，EDIDC.

因为AQrWC=£>,AD,OCu平面ABC。，

所以E£>_L平面ABCD............................(4分)

(II)证明：因为AB〃C。，CD//EF,

所以AB〃EF.

因为AB=EF,

所以四边形A8FE是平行四边形.

所以AE〃叱

因为AEC平面BCF,Bfu平面BCF,

所以AE〃平面BCF.

因为AEu平面AEM,平面AEMQ平面BCF=MN,

所以AE〃MM............................(8分)

(III)解：因为EDJ_AO,EDI.DC,ADLDC,所以如图建立空间直角坐标系。-xyz,

由AB=EF=1,DA^DC=DE=2,

可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,I,0),C(0,2,0),E(0,0,2),F(0,

1,2),

AE=(-2,0,2),FC=(0,1,-2),

,nFM

设正=A(0<A<1),

则京=扇+局=6+义局=(0,I,0)+X(0,I,-2)=(0,1+X,-2入)，

设蓝=(x,»z)是平面AEM的法向量,

TT

—x+z=0

则m•AE=0

(l+4)y—2/lz=O'

m•EM=0

所以m=(l+A,2入，1+A).

因为£=(1,0,0)是平面C£>EF的法向量,

m-n__________1+2________

所以cosOn,n>=

面向J(1+A)2+(2A)2+(1+A)2

1

因为OW入Wl,解得;1=余

2FM1

所以平面AEM与平面CDE尸所成锐二面角的余弦值为§时,正=.............(14

分)

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应

用，二面角的平面角的求法与应用，是中档题.

3.如图1,在等边△ABC中，点。、E分别为边A8、AC上的动点且满足QE〃BC,记下=4.将

/XADE沿DE翻折到△〃£>£'的位置并使得平面平面DECB,连接MB,MC得到

图2,点N为MC的中点.

(1)当EN〃平面时，求入的值；

(2)试探究：随着入值的变化，二面角的大小是否改变？如果是，请说明

理由；如果不是，请求出二面角的正弦值大小.

【分析】(1)取MB的中点为P,连接。P,PN,推出N尸〃BC,证明NEQP为平行四边

形，利用比例关系求解即可.

(2)取。E的中点O,如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面

的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值然后求解即可.

【解答】解：(1)取MB的中点为P,连接DP,PN,因为MN=CN,MP=BP,所以

NP//BC,

又DE//BC,所以NP〃DE,即N,E,D,P四点共面，又EN〃面BMD,ENu面NEDP,

平面NEDPCI平面MBD=DP,所以EN〃PD,即NEOP为平行四边形,

11

所以NP〃DE,且NP=DE,即。E=^BC,即;I=去

(2)解：取DE的中点。，由平面平面DECB,且MOLDE,所以MO_L平面

DECB,

如图建立空间直角坐标系，不妨设BC=2,则"(0,0,V3A),。(入，0,0),8(1,73(1-

4),0),所以薪=(30,-V3A),DB=(1-A,V3(l-A),0).

设平面8Mo的法向量为益=(%,y,z),则MD-m=Ax—V3Az=0

BD-m=(l-X)x+V3(l-A)y=0

令x=g,即蔡=(6，-1,1),又平面EMO的法向量£=(0,1,0),

—>—>-

所以cos说