2022年山西省阳泉市古城中学高一数学理期末试题含解析

2022年山西省阳泉市古城中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U=R，集合，，则等于

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.若函数有两个零点，其中，那么在两个函数值中

(

)A．只有一个小于1

B．至少有一个小于1C．都小于1

D．可能都大于1参考答案：B3.在数列中，，前项和，则数列的通项公式为

（

）参考答案：A4.方程的解的个数是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（

）

（1），；（2），；

（3），；（4），；（5），。A.（1），（2）

B.（2），（3）

C.（4）

D.（3），（5）参考答案：C6.已知函数f（x）=，满足对任意的实数x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，） C．[，） D．[，1）参考答案：C【考点】分段函数的应用．【分析】利用已知条件判断函数的单调性，然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围．【解答】解：对任意的实数x1≠x2，都有＜0成立，可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数的减函数，可得：，解得a∈[，）．故选：C．7.的部分图象大致为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．【详解】f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，排除C，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．8.在△ABC中，∠A=60°,a=,b=4,满足条件的△ABC(

)(A)无解

(B)只有一解

(C)有两解

(D)不能确定参考答案：A略9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论不正确的是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,是余弦定理，所以该选项正确；选项B,实际上是正弦定理的变形，所以该选项是正确的；选项C,由于,所以该选项正确；选项D,,不一定等于sinC,所以该选项是错误的.故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．参考答案：C因为，，，所以，故选C.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（本小题满分12分）在中，已知是的方程的两个根．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且满足，求的值．参考答案：（Ⅰ）方程可整理得．…………1分由条件可知，．…………3分所以,…………6分所以．…………7分（Ⅱ）在中，，所以．…………8分因为，所以．…………9分由有，所以或，所以或，即的值为或．…………12分12.f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是＿．参考答案：13.命题“若x＞0，则”的逆否命题为__________．参考答案：若，则x≤0考点：四种命题间的逆否关系．专题：计算题；规律型；转化思想；数学模型法；简易逻辑．分析：直接利用逆否命题写出结果即可．解答：解：命题“若x＞0，则”的逆否命题为：若，则x≤0．故答案为：若，则x≤0．点评：本题考查逆否命题的定义的应用，基本知识的考查14.函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:①函数是单函数;②函数是单函数;③若为单函数,且,则;④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是_

_(写出所有真命题的编号).参考答案：③15.函数的定义域为

(用区间表示)．参考答案：解得，即定义域为.16.为了解某社区居民的家庭年收入与市支出的关系.随机调查了该社区5户家庭，得到如图统计数据表:

收入x（万元）8.38.59.911.411.9支出y（万元）6.37.48.18.59.7

据上表得回归直线方程，其中，据此估计该社区一户收入为15万元家庭的年支出为

万元.参考答案：11.8，所以，所以，所以当时，。

17.若平面向量满足，，则的取值范围为 .参考答案：，设，则，，由平行四边形的性质可得，，，的取值范围为，故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．组号分组频数频率第1组50.050第2组①0.350第3组30②第4组200.200第5组100.100

（1）请先求出频率分布表中①，②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．参考答案：（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）.【分析】（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．（2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．（3）设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率．【详解】（1）①由题可知，第2组的频数为人，②第3组的频率为，频率分布直方图如图所示，

（2）因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（3）设第3组的3位同学为，第4组的2位同学为，第5组的1位同学为，则从这六位同学中抽取两位同学有种选法，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，其中第4组的2位同学中至少有一位同学入选的有9种，分别为：，，，∴第4组至少有一名学生被考官面试的概率为．【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．19.已知函数对任意实数恒有且当，

（1）判断的奇偶性；

（2）求在区间上的最大值；

（3）解关于的不等式参考答案：解（1）取则取对任意恒成立

∴为奇函数．

（2）任取，则

又为奇函数

∴在（－∞，+∞）上是减函数．对任意，恒有而∴在[－3，3]上的最大值为6

（3）∵为奇函数，∴整理原式得进一步可得

而在（－∞，+∞）上是减函数，

当时，

当时，当时，

当时,当20.如图，在三棱锥P-ABC中，，．D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD；（Ⅲ）在图中作出点P在底面ABC的正投影，并说明理由．参考答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理可以证明出平面；（Ⅱ）利用等腰三角形三线合一的性质，可以证明线线垂直，根据线面垂直的判定定理，可以证明出线面垂直，最后根据面面垂直的判定定理，可以证明出平面平面；（Ⅲ）通过面面垂直的性质定理，可以在△中，过作于即可.【详解】（Ⅰ）证明：因为，分别是，的中点，所以．因为平面，所以平面．（Ⅱ）证明：因为，，是的中点，所以，．所以平面．所以平面平面．（Ⅲ）解：在△中，过作于，则点为点在底面的正投影．理由如下：由（Ⅱ）知平面平面，且平面平面，又平面，，所以平面，即点为点在底面的正投影．【点睛】本题考查了等腰三角形性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定定理和性质定理，考查了推理论证能力.21.某网店经营的一种商品进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P（件）与单价x（元）之间的关系如图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．（I）根据周销量图写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式；（Ⅱ）写出周利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（I）根据函数图象，求出解析式，即可写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式；（Ⅱ）分段求出最值，即可得出结论．【解答】解：（I）当x∈[12，20]时，P=k1x+b1，代入点（12，26），（20，10）得k1=﹣2，b1=50，∴P=﹣2x+50；同理x∈（20，28]时，P=﹣x+30，∴周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式P=；（Ⅱ）y=P（x﹣10）﹣25=，当x∈[12，20]时，y=，x=时，ymax=；x∈（20，28]时，y=﹣（x﹣20）2+75，函数单调递减，∴y＜75，综上所述，x=时，ymax=．22.已知向量，的夹角为120