2022年广东省东莞市市常平中学高三数学理期末试卷含解析

2022年广东省东莞市市常平中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将边长为的等边三角形沿轴滚动，某时刻与坐标原点重合（如图），设顶点的轨迹方程是，关于函数的有下列说法：①的值域为；②是周期函数；③；④.其中正确的说法个数为：（）A．0

B．

C．

D．参考答案：C2.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

) A．若a∥b，a∥α，则b∥α B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β C．若α⊥β，a⊥β，则a∥α D．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β参考答案：D考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题；综合法．分析：A选项a∥b，a∥α，则b∥α，可由线面平行的判定定理进行判断；B选项α⊥β，a∥α，则a⊥β，可由面面垂直的性质定理进行判断；C选项α⊥β，a⊥β，则a∥α可由线面的位置关系进行判断；D选项a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β，可由面面垂直的判定定理进行判断；解答： 解：A选项不正确，因为b?α是可能的；B选项不正确，因为α⊥β，a∥α时，a∥β，a?β都是可能的；C选项不正确，因为α⊥β，a⊥β时，可能有a?α；D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．故选D点评：本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力．3.若（（））=A. B.1 C. D.2参考答案：C略4.设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=(

)A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}参考答案：A【考点】并集及其运算；指数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．5.设偶函数对任意，都有，且当时，,则

(

)

A．10

B.

C．

D．

参考答案：B6.已知圆C的方程为x2+y22x=0，若以直线y=kx2上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是

A．l

B．0

C．1

D．2参考答案：A略7.已知函数,若,则与的大小关系是(

)A.

B.

C.

D.与的值有关参考答案：答案：C8.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A）

（B）

（C）21

（D）18参考答案：A9.已知△ABC中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的取值范围是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C10.“”是“”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列{an}各项都是正数，且a4﹣2a2=4，a3=4．则an=，S10=．参考答案：2n﹣1，1023。【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{an}的公比为q＞0，由a4﹣2a2=4，a3=4．可得，解出再利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a4﹣2a2=4，a3=4．∴，解得，则an=2n﹣1，S10==1023．故答案分别为：2n﹣1；1023．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列.类比上述结论，写出正项等比数列，若=

，则数列{}也为等比数列.参考答案：答案：13.为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算回归直线方程为，由以上信息可得表中的值为

.天数繁殖数量（千个）参考答案：14.计算：|3﹣i|=，=

．参考答案：，﹣1+3i

【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数模的定义和复数的混合运算法则计算即可．【解答】解：|3﹣i|==，==﹣1+3i，故答案为：，﹣1+3i．【点评】本题考查了复数模的定义和复数的混合运算，属于基础题．15.

(几何证明选讲)如图，在半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为

．

参考答案：16.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离是

cm．参考答案：【考点】抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】先设出抛物线的标准方程，把点（40，30）代入抛物线方程求得p，进而求得即光源到反射镜顶点的距离．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，∴900=2p×40．∴p=．∴=．因此，光源到反射镜顶点的距离为cm．【点评】本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．考查了对抛物线基础知识的掌握．17.在极坐标系中，点到直线的距离等于_____。参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围．参考答案：（1）的定义域为，．若时，则，∴在上单调递增；若时，则由，∴．当时，，∴在上单调递增；当时，，∴在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）由题意得：对时恒成立，∴对时恒成立．令，（），∴．令，∴对时恒成立，∴在上单调递减，∵，∴当时，，∴，在上单调递增；当时，，∴，在上单调递减.∴在处取得最大值，∴的取值范围是.19.（本小题12分）已知在中，角A、B、C的对边长分别为，已知向量，且，（1）求角C的大小；（2）若，试求的值。参考答案：解：（1）由题意得：

即，由正弦定理得，再由余弦定理得

……………6分（2）方法一：，，即从而，

即

即，从而

=

……………12分方法二：设R为外接圆半径，=方法三：

，20.已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．参考答案：考点：绝对值不等式；对数函数图象与性质的综合应用；绝对值不等式的解法．专题：压轴题；选作题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：对于（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域．根据m=5和对数函数定义域的求法可得到：|x+1|+|x﹣2|＞5，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案．对于（2）由关于x的不等式f（x）≥1，得到|x+1|+|x﹣2|＞m+2．因为已知解集是R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x﹣2|≥3，令m+2＜3，求解即可得到答案．解答： 解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）；（2）不等式f（x）≥1即log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）≥1．即|x+1|+|x﹣2|≥m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．点评：此题主要考查绝对值不等式的应用问题，题中涉及到分类讨论的思想，考查学生的灵活应用能力，属于中档题目．21.在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人.（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民农村居民合计经常阅读10024

不经常阅读

合计

200

（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望.附：，其中

参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）根据题意填写列联表，利用公式求出，比较与的大小，即可得出有的把握认为，经常阅读与居民居住地有关。（Ⅱ）根据题意得的可能取值为0,1,2,3,4，利用二项分布公式求出相应的概率，即可得出的分布列和期望。【详解】（Ⅰ）由题意得：

城镇居民农村居民合计经常阅读不经常阅读合计

则，所以，有的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（Ⅱ）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且，所以的分布列为：

【点睛】解独立性检验题目基本步骤：（1）作出列联表（2）求出的观测值（3）通过临界值