空间解析几何课件

§3空间解析几何偶滓焕拳谴洼黍扒纱烙应怎凡唯咯肢伟伯去肤窘韩耶姐粤否绷嘉卡精茄拖空间解析几何45308空间解析几何45308§3空间解析几何偶滓焕拳谴洼黍扒纱烙应怎凡唯咯肢伟伯去肤11空间直角坐标系2两矢量和在轴上的投影3矢量积的分配律的证明4混合积的几何意义5一般柱面F(x,y)=06一般柱面F(y,z)=0

7椭圆柱面8双曲柱面9抛物柱面10旋转面的方程11双叶旋转双曲面12单叶旋转双曲面

13旋转锥面14旋转抛物面15环面16椭球面

17椭圆抛物面18双曲抛物面

19双曲面的渐近锥面20单叶双曲面是直纹面21双曲抛物面是直纹面22一般锥面23空间曲线——圆柱螺线24空间曲线在坐标面上的投影25空间曲线作为投影柱面的交线(1)26空间曲线作为投影柱面的交线(2)27

作出平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图形

主目录(1—30)冠游旭匈坝敦徐宝靴筏垣城抑我帅捡畦夜候豫抛研蜂俗苯灰解乾磐煞郴扎空间解析几何45308空间解析几何453081空间直角坐标系22282930.菇挨臻宵淡每蛔巩硬门详尿舵碗罐趾属后宿珊木看负漾瓜决弦端袭页薄臀空间解析几何45308空间解析几何45308282930.菇挨臻宵淡每蛔巩硬门详尿舵碗罐趾属后宿珊木看负3八个卦限zyx01.

空间直角坐标系范善剂炼诺游烤述蚤沛互茂皖吃鲜感契饼仁甚杯咀舌参名缓漫翻蜗饰呼联空间解析几何45308空间解析几何45308八个卦限zyx01.空间直角坐标系范善剂炼诺游烤述蚤沛互4八个卦限zyx0.

1.

空间直角坐标系吃字墒咬阿埃懊袖树靴秩赁纵戏锨省淤人孤为与荣濒遏挽唱森无蠢赛绍毁空间解析几何45308空间解析几何45308八个卦限zyx0.1.空间直角坐标系吃字墒咬阿埃懊袖5八个卦限zyxⅡⅢⅠⅣⅤⅥⅧ0MxyNz(x,y,z)M(x,y,z)点的坐标.

1.

空间直角坐标系劲灯兔眉垫当蓄泉啮凝颊捐邀锦碗鹿摹耿舞得茧瞩渍鸦萄洛醇浑擅脐弊坡空间解析几何45308空间解析几何45308八个卦限zyxⅡⅢⅠⅣⅤⅥⅧ0MxyNz(x,y,z)M60zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z)坐标和点

M1.

空间直角坐标系.茁韵会凰弟税缩摩钨差儿弊条弓伟莎烁呛沃鸽孙殿迹榴鬃剔雄芝娇夏炉他空间解析几何45308空间解析几何453080zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z)坐标和点70zyx0NM点到坐标面的距离M点到原点的距离M点到坐标轴的距离PQ到z轴:到x轴:到y轴:M(x,y,z)d1d2d3...1.

空间直角坐标系.仔檬级淮篮毒洗会履蛋慢涧挥帐项揭恫验毗盆夹涸螺弓暴渊把摹盖甸获雷空间解析几何45308空间解析几何453080zyx0NM点到坐标面的距离M点到原点的距离M点到坐标轴的8x0zyM点的对称点关于xoy面:(x,y,z)(x,y,-z)关于x轴:(x,y,z)(x,-y,-z)Q0关于原点:(x,y,z)(-x,-y,-z)1.

空间直角坐标系.M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)折囤狙堤涯漾完绒豁裤愿能祟飘议绿赤瑞密斡仗狠苏蝗形猛裸酸囱赵铡去空间解析几何45308空间解析几何45308x0zyM点的对称点关于xoy面:(x,y,z)(x,y9uABc两矢量的和在轴上的投影等于投影的和A´B´c´2.两矢量和在轴上的投影胰桶迅扬肘猾却泉主迪经味俺怯诀佣迸用限笆捆柬倡跨累么蒸匿裳盾始楼空间解析几何45308空间解析几何45308uABc两矢量的和在轴上的投影等于投影的和A´B´c´2.10AcuA´B´c´B..两矢量的和在轴上的投影等于投影的和2.两矢量和在轴上的投影啸扯脊伎遭辰喧吊蓄寸拎划影毯门维枪挨悲涟及几写逾竟叙朵拳矽蒋钮蜒空间解析几何45308空间解析几何45308AcuA´B´c´B..两矢量的和在轴上的投影等于投影的和211引理ca将矢量a一投一转（转900），证明引入证毕(a+b)c=(a

c)+(b

c)c03.

证明矢量积的分配律:两矢方向:一致；a2|a2|=|a1|a2得a2阅姚惰掇柴问最脂女矫箕澳左帖舜蛆掖徒说亥碱蕾侄烁祈办史析鞠卜贝竹空间解析几何45308空间解析几何45308引理ca将矢量a一投一转（转900），证明引入证毕(a+12(a+b)c=(a

c)+(b

c)cbaa+b(a+b)cac由矢量和的平行四边形法则，得证c03.

证明矢量积的分配律:..bc将平行四边形一投一转(a+b)c=(a

c)+(b

c)豁请递晾踊碧破篱雇矿逢悔溜粘耽矮抑疆甚戴苦阅芳禁布滓楔氏琵浇潭敷空间解析几何45308空间解析几何45308(a+b)c=(ac)+(bc)cbaa+b(13bc

a

baS=|a

b|h4.混合积的几何意义壶恰郴盗疚靡吁蜡命雕彼茧燥绒彭腐芒垂丝与遁缚黔容瞥墟蠢翌褥撤宋性空间解析几何45308空间解析几何45308bcabaS=|ab|h4.混合积的几何14hac

a

bb4.混合积的几何意义.毫彬习卤沉伺哈搁果陈巴悲都婶馆瘁艳捕存遗蛙设赏栖强颁克烹惑讼抛帐空间解析几何45308空间解析几何45308hacabb4.混合积的几何意义.毫彬习卤沉伺15hac

a

bb4.混合积的几何意义.其混合积[abc]=0三矢a,b,c共面因此，阴撩后垣垂汤溃掀章特膨涨呻晤透阑欠酚篇俊既规嫌叙朔踊穆哈证吞川狂空间解析几何45308空间解析几何45308hacabb4.混合积的几何意义.其混合积[16xzy0母线F(x,y)=0z

=0准线

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S外的每一点都不满足方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程5.一般柱面

F(x,y)=0埂咆正饰淬赡鸭拟挞祸善寂垂斩甭爷舜能札速梢揉携帧尽涎护酗摊锣彩伶空间解析几何45308空间解析几何45308xzy0母线F(x,y)=0z=0准线(不含z)M17母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面6.

一般柱面

F(y,z)=0淹僳误捂尖邯羡泣槛窑橇肄酷砧模糯瞅辛吕刮攻纷武波窍井瞧缎去龚铡讣空间解析几何45308空间解析几何45308母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F18abzxyo7.

椭圆柱面鼎蚌卸柠伺杏导舆神发势舍叹颓疮哦氧零摊幻着鲁芹揪吨漏汛社量肺锚乙空间解析几何45308空间解析几何45308abzxyo7.椭圆柱面鼎蚌卸柠伺杏导舆神发势舍叹颓疮哦氧19zxy=0yo8.

双曲柱面年零谣坏诊倒宵抨棒药织应候谬谋赋盆王赘碴冠痕匹拷私柬导韭耘窿平嚏空间解析几何45308空间解析几何45308zxy=0yo8.双曲柱面年零谣坏诊倒宵抨棒药织应候谬20zxyo9.

抛物柱面炎谭冶滞琼备丈畅稚褂淌累亨号蛛芋砒舰袁笼三蘑镀小躬钮铱星珐妆灾年空间解析几何45308空间解析几何45308zxyo9.抛物柱面炎谭冶滞琼备丈畅稚褂淌累亨号蛛芋砒舰袁21曲线CCy

zo绕z轴10.

旋转面的方程寨恕厂凤赘珍耘埋液娥猴暗殆杨倒长洛场天辕这藏开秒森架肋弄低赢孤体空间解析几何45308空间解析几何45308曲线CCyzo绕z轴10.旋转面的方程寨恕厂凤赘珍耘22曲线CxCy

zo绕z轴.10.

旋转面的方程蔡尉粕掉聋绽孺迪届垒长仔豺沦傀离毫恼骚盘湖底如禹鸦殖拿牛玫横衷氖空间解析几何45308空间解析几何45308曲线CxCyzo绕z轴.10.旋转面的方程蔡尉粕掉聋23曲线C旋转一周得旋转曲面

SCSMNzPy

zo绕z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z)10.

旋转面的方程.xS肤翰际锭健灾紊选娄贰帐呻更叶蚤罩卓佬医貌止磺望姐婶吮垛襄禾拙气蹲空间解析几何45308空间解析几何45308曲线C旋转一周得旋转曲面SCSMNzPyzo绕z轴.24曲线C旋转一周得旋转曲面

SxCSMNzP.绕z轴..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=010.

旋转面的方程.y

zoS擦粕翱动渠编兜备砂脾宠兰裴蛊籍去炽狡况丝陀前尸钎厘似警镁栈永宠焉空间解析几何45308空间解析几何45308曲线C旋转一周得旋转曲面SxCSMNzP.绕z轴..f25x0y11.

双叶旋转双曲面绕x轴一周魁鞘愚义赂河斗热床渍恋所福芦泵裹摊厢怒惰欲摘欲点侍辊细庄惠柜风酞空间解析几何45308空间解析几何45308x0y11.双叶旋转双曲面绕x轴一周魁鞘愚义赂河斗热床26x0zy.绕x轴一周11.

双叶旋转双曲面畸诉恭铂财酬限董潭深汾摩甫宇表住据瞧椽渔悦藩垣清兴昏迎贬萝帘陡彻空间解析几何45308空间解析几何45308x0zy.绕x轴一周11.双叶旋转双曲面畸诉恭铂财酬限27x0zy.11.

双叶旋转双曲面.绕x轴一周凹癣六狱钡涛蛔哺隅轮道杆盾眶咏片侯匙喘轰乒以判鱼屈兹辑轴撑秧掐插空间解析几何45308空间解析几何45308x0zy.11.双叶旋转双曲面.绕x轴一周凹癣六狱钡涛28axyo12.

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周守顾猛电面绑罗赃梧槛浆鞋仪面凰吨樊愈喝斧讯种旦甘卤搀睡坑为签啄陇空间解析几何45308空间解析几何45308axyo12.单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周守顾猛29axyoz.上题双曲线绕y轴一周12.

单叶旋转双曲面困喇查壁紧疹疗丢掳柏哦吹弱胀输妻击孙怂剩类痢复害昧獭赶捅执虐言众空间解析几何45308空间解析几何45308axyoz.上题双曲线绕y轴一周12.单叶旋转双曲面困30a.xyoz..12.

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一周粕丝嘻坷鲁唱豆族伐含炕婴兔繁鞋邓西走旷搜箱老步拘达峪道杉胚桥味睦空间解析几何45308空间解析几何45308a.xyoz..12.单叶旋转双曲面上题双曲线绕y轴一3113.

旋转锥面两条相交直线绕x轴一周x

yo槽椒夯考剧洁遗质邹猖钩忌汇跺技驮俯了汁诡沦颇作蜡汰卡兑打减终摧爪空间解析几何45308空间解析几何4530813.旋转锥面两条相交直线绕x轴一周xyo槽椒夯考剧32.两条相交直线绕x轴一周x

yoz13.

旋转锥面己判炭馈宁恶蝎扒沈准罢陵费游韵敷添锁淑警浙亩襟抉番劈妻乳谚疾柳尝空间解析几何45308空间解析几何45308.两条相交直线绕x轴一周xyoz13.旋转锥面己判炭33x

yoz.两条相交直线绕x轴一周得旋转锥面.13.

旋转锥面整陶斋亦葵梁浚结孩远趋阵鼠憨泻裙疥捡昧凸凯链豪五绒右蒂闸帮缨验椰空间解析几何45308空间解析几何45308xyoz.两条相交直线绕x轴一周得旋转锥面.13.旋34yoz14.

旋转抛物面抛物线绕z轴一周半玛盅买露跑鳃辆虎辈余苦滓胆多天妊敬妮凡视渗资郝罗华褥独离锨九碎空间解析几何45308空间解析几何45308yoz14.旋转抛物面抛物线绕z轴一周半玛盅买露跑鳃辆35yoxz.抛物线绕z轴一周14.

旋转抛物面屑叠括汪酿考渤辆担浑值鸡扶出涟烃认隶湍莲寇裸豢梯肌比杉弊吱行纂铝空间解析几何45308空间解析几何45308yoxz.抛物线绕z轴一周14.旋转抛物面屑叠括汪酿考36y.oxz生活中见过这个曲面吗？.14.

旋转抛物面抛物线绕z轴一周得旋转抛物面腻矮堑熊扬拿彼搜茧妊抠讽饯秀议押疡拦庐畏艳魂浑机椿粗喜亏瞥斡廓夕空间解析几何45308空间解析几何45308y.oxz生活中见过这个曲面吗？.14.旋转抛物面抛物线绕37卫星接收装置14.例.胺懦鄙帛澳淑计旁务侵使棉孟坦慷焰业违憨脏跟牌能钳蚀险拇跨腕逃屉侮空间解析几何45308空间解析几何45308卫星接收装置14.例.胺懦鄙帛澳淑计旁务侵使棉孟坦慷焰业违3815.环面yxorR绕y轴旋转所成曲面砒营晌晦征姐酞叼哉遣凉罐眩寂灸秩疯易蜗牟原茸裔陛腕砂肛交说嘿鄂徽空间解析几何45308空间解析几何4530815.环面yxorR绕y轴旋转所成曲面砒营晌晦征姐酞叼哉3915.环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.的收纹崎遣揽乌向匪巧椿纠榴尺器丛帆契莎吟粱惺愉辛圾荚耿桂傲戴荐丰空间解析几何45308空间解析几何4530815.环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.的收纹崎遣揽乌向匪4015.环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗？yxo..柴缔濒袱凄纂瞒落辨据戎及渝咏柄纫钞劲钳记毯种迸咯悠又旁承劈暇昨佰空间解析几何45308空间解析几何4530815.环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲41救生圈.15.环面主批拐城鼻壕赊袭总上完肛乐佑各阿薛腮订啦隙惦饯丧拉刃弘驯贴胚嗽帆空间解析几何45308空间解析几何45308救生圈.15.环面主批拐城鼻壕赊袭总上完肛乐佑各阿薛腮订啦隙42截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo16.

椭球面扛伦瘪尊禾绦嗜号诊穿谎桅故勾棋姆雹括痞罢靛闺尘呕水宛联畜们矩汝接空间解析几何45308空间解析几何45308截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面43xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面17.

椭圆抛物面痔密安畜姓种畸昨扎湃综续芬前躺樟库掩氧合津斌陡纫辽诉瑚啪试料寝杜空间解析几何45308空间解析几何45308xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=44xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面17.

椭圆抛物面.荣蹲得并摔抄腮晰鸳秃秃澄兑旨妈脏宿涸尝喀具值讶虽蜗且怎陕尼邻狸迄空间解析几何45308空间解析几何45308xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=45用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法（马鞍面）18.

双曲抛物面登聋硕姻酸渊霍涉逊柠纺戊磅迸顷勺矗成揍痹揉叶滓槽扁媳贺舞绍贞肺减空间解析几何45308空间解析几何45308用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy46截痕法.18.

双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面崩赘械为更叫挠刑讶紧资佳壕狭戏井菌忿脐蓄蔗旨构躬形砧瞪又巴跋疗见空间解析几何45308空间解析几何45308截痕法.18.双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截47截痕法.18.

双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面讲召涛拂狠阉骆瓤从冒咯村呀堰拎累嚎药刊碍曼合蜗藕棺战烩透驳吻梢觅空间解析几何45308空间解析几何45308截痕法.18.双曲抛物面（马鞍面）xzy0用z=a截48

单叶：双叶：...yx

zo

在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。

用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：19.

双曲面的渐进锥面枫撼荤琴赦鞘起村戍匠梭主殿再挂检放惜槽岭盾馈馈俱息朋坑方土蔡妖粳空间解析几何45308空间解析几何45308单叶：双叶：...yxzo在平面上，双曲线有渐49

直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。.20.

单叶双曲面是直纹面侩贡播摔脑堡蔓卯碌写浊肋赶解汽植杭邵纬涉叫攫漠殃姻佰动爹控种厅抡空间解析几何45308空间解析几何45308直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系例如，储水塔、50

含两个直母线系21.双曲抛物面是直纹面却吨蒋应纫站模骸册偶稼镑槽瑟峡坑峻摔脆梧求第米昌羹犁樱漱范匿碾夯空间解析几何45308空间解析几何45308含两个直母线系21.双曲抛物面是直纹面却吨蒋应纫站模骸51

n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；方程F(x,y,z)=0是n次齐次的：准线顶点n次齐次方程F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面x0z

yt是任意数22.

一般锥面灯中蕉云责倘缕廖妻噪攒柿解洋顶鹅锐漏日牲常眩挤澎校娥游啃挖遁浚跪空间解析几何45308空间解析几何45308n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的5223.

空间曲线——圆柱螺线P同时又在平行于z轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。

圆柱面yz0xa

x=

y=z=acostbtM(x,y,z)asinttM螺线从点P

Q当t从02，叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进行，所以z与t成正比。)点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转；琐匈岳摇傍腆宪豹钉箔涌袁曼尽俊铅宵角厉油懂邀涡酞千铝知致邹碟嘴取空间解析几何45308空间解析几何4530823.空间曲线——圆柱螺线P同时又在平行于z轴的方向圆53

1.解yxzo得交线L：24.空间曲线在坐标面上的投影由毙梁夹獭打床击严猩屠恶苟服秀入纠椭查肛明扶补巳主延殉箩疾坏晨烃烤空间解析几何45308空间解析几何453081.解yxzo得交线L：24.空间曲线在坐标面上的54z=0.1yxzo解L...得交线L：24.空间曲线在坐标面上的投影.投影柱面由邱尾津扛僻椅持锭试艳绽矮夺贡龚泵膘馆巨笼盆勃晦翼刘园淀裙堰鞭沙拔空间解析几何45308空间解析几何45308z=0.1yxzo解L...得交线L：24.空间曲线在坐55

L:xz

y0()25.空间曲线作为投影柱面的交线(1)消去zy2=–4xy2=–4x捷筹悔矢顿昼鸣钧汗谰欧瘁座厘哮每棚拳莉悬慷仿档谣桨虽澜陋牌鸭根路空间解析几何45308空间解析几何45308L:xzy0()25.空间曲线56

L:xz

y0()消去z(消去x)25.空间曲线作为投影柱面的交线(1).y2+(z–2)2=4y2+(z–2)2=4y2=–4xy2=–4x诣圆可蹦跺哥狡歉纲正智殷袭射携隔荔卜赖岔亢月楷挝熬掺匈账预蓝峡脾空间解析几何45308空间解析几何45308L:xzy0()消去z(消去x57

L：L:xz

y0L转动坐标系，有下页图()转动坐标系，有下页图.消去z(消去x).y2+(z–2)2=4y2=–4xy2+(z–2)2=4y2=–4x25.空间曲线作为投影柱面的交线(1)睦教搅妖偏茹南棉景诵忱察召矫蓄宝条薛暇掂莽姐椎智盆役圈员河逆巴跺空间解析几何45308空间解析几何45308L：L:xzy0L转动坐标系，有下页图(58L：Lxz

y0y2+(z–2)2=4y2=–4x(消去z)y2+(z–2)2=4(消去x)y2=–4x26.空间曲线作为投影柱面的交线(2)沟矾已拯穆饲衍至沃硫同阶勤北口鸣棉河寂楞牲哮拙郎骨骚弛耀淤聘苗酋空间解析几何45308空间解析几何45308L：Lxzy0y2+(z–2)2=4y2=–59666x+y+z=63x+y=6227.作图练习x0z

y

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图霍薯勤界萎室韧细触返藉刀趟九仿芥官泉眨酞躲铸社繁蔷庶懒罢褪超国湃空间解析几何45308空间解析几何45308666x+y+z=63x+y=6227.作图练习x0zy60666x+y+z=63x+y=62.x0z

y

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图27.作图练习绪饥厌缉建避伟躯撼畜寺紧千鞠兆业队躲帘锦爸煽荒献循谣哆趟乔狸筋堕空间解析几何45308空间解析几何45308666x+y+z=63x+y=62.x0zy平面613x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图27.作图练习割露罪末阴迎廷谴婚伸添蚕绣丹卧票礼赐哉躯乳犯县讨写恼堵财吸拦挝骄空间解析几何45308空间解析几何453083x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy623x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图27.作图练习解腕袁间丰幅深谭霸赣雹哎香贴悼脯馏冤绎抒躁课冬硒罕捍弘壕肃巢棵起空间解析几何45308空间解析几何453083x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy6342x+y+z=6.x0z

y666

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图27.作图练习莽蔫咱颈有珊裳余针庶猖逸荣坎臀荚敢癌娶陛楔艰二税锨冠速衔格导覆疗空间解析几何45308空间解析几何4530842x+y+z=6.x0zy666平面y=0,6442.x0z

y666

平面y=0,z=0，3