2022-2023学年辽宁省沈阳市郊联体高一（下）期末数学试卷（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数满足，则()

A.B.C.D.

2.已知角的终边经过点，则下列各式一定为正的是()

A.B.C.D.

3.中角，，所对的边分别是，，，若，则角为()

A.B.C.D.

4.()

A.B.C.D.

5.已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为()

A.B.C.D.

6.已知，是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A.若，，则

B.若，，则

C.若，，则

D.若，是异面直线，且，，，则

7.一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是()

A.海里B.海里C.海里D.海里

8.已知函数，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列关于复数的说法正确的是()

A.任意两个虚数都不能比较大小

B.在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数

C.已知，，则

D.

10.在中，，，，则()

A.B.

C.的面积为D.外接圆的直径是

11.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的值可以是()

A.B.C.D.

12.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥设，点，分别为棱，的中点，为线段上的动点下列说法正确的是()

A.存在某个位置，使

B.存在某个位置，使

C.当三棱锥体积取得最大值时，与平面成角的正切值为

D.当时，的最小值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量，满足，，，则与的夹角为______．

14.已知，则______．

15.在锐角中，角，，的对边分别为，，，某数学兴趣小组探究该类三角形时，得出以下四个结论，甲：；乙：；丙：；丁：则上述四个论断中恒成立的是______．

16.已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为和，且两截面间的距离为，则该球的体积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知向量，的夹角为，且，．

求的值；

求的值．

18.本小题分

如图，在四棱锥中，平面，，，，，交于点．

求证：平面平面；

设是棱上一点，过作，垂足为，若平面平面，求的值．

19.本小题分

已知角，角和的终边分别与单位圆交于，两点．

若，求的值；

若，点的横坐标为，求的值．

20.本小题分

已知的内角，，的对边分别为，，，．

求角；

若，，求的周长．

21.本小题分

已知向量，，设函数．

求的单调递减区间；

若函数在区间上的最大值为，求实数的值．

22.本小题分

如图，已知四棱锥的底面为矩形，，，是的中点，平面．

求证：平面；

设平面与平面的交线为．

求证：；

求与平面所成角的大小．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意，复数满足，

则．

故选：．

利用复数的运算法则、复数的模直接求解．

本题考查复数的运算法则、复数的模等础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】

【解析】解：因为角终边经过点，所以在第四象限，

所以，，，，故C正确．

故选：．

依题意可得在第四象限，根据各象限三角函数值的正负情况判断即可．

本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：，

根据余弦定理得：，

又为三角形的内角，

则．

故选：．

利用余弦定理表示出，把已知的等式代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数．

此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

4.【答案】

【解析】解：因为，

则

，

．

故选：．

根据题意，由，然后结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果．

本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：，，，

故，解得．

所以，，

，，

所以在上的投影向量为．

故选：．

由向量垂直的坐标表示求解，再根据投影向量的公式进行求解即可．

本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：由，，可得，故A正确；

当，时，与可能平行，可能相交，相交时也不一定垂直，故B错误；

当，时，与可能相交，可能平行，也可能在平面内，故C错误；

当，是异面直线，且，，时，与平面可能平行，可能相交，故D错误．

故选：．

由直线与平面垂直的性质判断；由垂直于同一平面的两平面的位置关系判断；由直线与平面平行、平面与平面垂直分析线面关系判断；由异面直线的定义结合空间中的线面关系判断．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

7.【答案】

【解析】解：由题意作出图形：，，则，

由图知：，则，又，

所以，则海里．

故选：．

由题意作出示意图，应用正弦定理求出，两点间的距离即可．

本题考查正弦定理的实际应用，属于中档题．

8.【答案】

【解析】解：，

则，

的图像关于轴对称，

，，则，，

当时，取得最小值．

故选：．

用辅助角公式化简函数解析式，再由函数的图像关于轴对称求出的值，最后判断的最小值．

本题主要考查了辅助角公式，正弦函数的对称性的应用，属于基础题．

9.【答案】

【解析】解：对于，任意两个虚数都不能比较大小，A正确；

对于，在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数，不正确，因为原点在虚轴上，原点表示实数，不正确；

对于，设，，

则，，，C正确；

对于，，不正确．

故选：．

根据复数的概念可判断A正确；根据复平面的概念可判断不正确；根据复数的乘法运算和复数的模长公式计算可判断C正确；根据虚数单位的概念计算可判断不正确．

本题主要考查复数的模，以及复数的四则运算，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：由题意可知，，故A正确；

在中，，

由余弦定理得，解得，故B正确；

，故C错误；

设外接圆半径为，由正弦定理得，故D错误．

故选：．

利用余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系，结合余弦定理及三角形的面积公式，再利用正弦定理即可求解．

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

该图象关于原点对称，所以，

即，所以的值可以是，．

故选：．

根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答案．

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．

12.【答案】

【解析】解：对于：若，又，，则平面，即，

所以当时，使，故存在某个位置，使，故A正确，

对于：若，又，，则平面，则，则是以为斜边的直角三角形，

又由题意知，故不存在某个位置，使，故B错误；

对于：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面，即是三棱锥的高，

又，平面平面，所以平面，

所以是直线与平面所成的角，

由，则，又是的中点，所以，

所以故C正确；

对于：当时，由，则在内的射影是的外心，

又的外心是斜边的中点，故AF平面，

所以，，所以，，

将绕旋转，使到，使与在同一平面内，

，

的最小值即为，

在中，由余弦定理可得，

故CF，故当时，的最小值为，故D正确．

故选：．

由平面，可判断；不可能是以为斜边的直角三角形，可判断；当三棱锥体积取得最大值时，平面平面，即是三棱锥的高，求解可判断；当时，由，则在内的射影是的外心，可得平面，将绕旋转，使到，使与在同一平面内，可求的最小值判断．

本题考查空间几何体的性质，考查线面角的求法，考查线面的位置关系，考查距离和的最小值的求法，属中档题．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．

先设与的夹角为，再根据由向量夹角公式即可求解．

【解答】

解：设与的夹角为，

则，

又，所以与的夹角为．

故答案为：．

14.【答案】

【解析】解：因为，则，

．

故答案为：．

利用二倍角公式结合弦化切可求得所求代数式的值．

本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．

15.【答案】丙

【解析】解：因为是锐角三角形，但不确定，，的大小，也不确定，的大小，故甲，乙均错误；

由题意得且，，所以，

因为在上单调递增，所以，丙正确；

可能大于，也可能等于，可能小于，

即与的大小关系不确定，丁错误．

故答案为：丙．

由，，的大小和，的大小不确定，判断甲乙；根据正弦函数的单调性判断丙；由差角公式结合，的大小判断丁．

本题主要考查了正弦函数的性质，考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：设球的半径为，依题意，截面圆的面积分别为和，则截面圆的半径分别为，，

可得球心到两截面圆的距离分别为，．

当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为，

所以，解得或舍；

当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解．

综上，，故该球的体积为．

故答案为：．

求出球心到两截面圆的距离，再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况，得出半径，进而得出球的体积．

本题主要考查球的体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

17.【答案】解：向量，的夹角为，且，，

．

．

，，，

．

【解析】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查计算能力，属于基础题．

根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，即可求解．

根据已知条件，对平方再开方，即可求解．

18.【答案】解：证明：由平面，可得，

又，，

可得平面，

而平面，则平面平面；

是棱上一点，过作，垂足为，

又，可得，

则．

若平面平面，又平面平面，平面平面，

则，

可得，

又，，可得，

则，

即有，即．

【解析】由线面垂直的性质和判定推得平面，再由面面垂直的判定定理可得结论；

运用面面平行的性质定理和相似三角形的性质和平行线成比例，可得结论．

本题考查面面垂直的判定定理和面面平行的性质定理，以及相似三角形的性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．

19.【答案】解：角和的终边分别与单位圆交于，两点，

，，

，，即，

；

点的横坐标为，，，

，，，

，，，

，

，

，

．

【解析】由得，再由诱导公式化简后即可求得；

由题意求出的坐标，再由求出，从而得到，再由和差角公式求出，即可．

本题考查平面向量的数量积运算和三角函数的求值，属于中档题．

20.【答案】解：因为，

由正弦定理可得，

所以，

即，

因为，所以，

因为，则，故．

因为，所以．

根据正弦定理有，所以．

因为，所以，所以，

所以，

，

所以的周长为．

【解析】由正弦定理边角互化、两角和的正弦公式以及三角形内角的关系化简计算，从而得角的值；

由正弦定理计算的值，根据结合两角和的正弦公式计算，再利用正弦定理计算的值，从而得的周长．

本题主要考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．

21.【答案】解：

，

解，得，

的单调递减区间为：；

，，，

，

设，，，，

，

，

，即时，时，取最大值，即，解得；

，即时，时，取最大值，即，解得，不合题意，应舍去；

，即时，时，取最大值，即，解得，

综上得，的值为或．

【解析】根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出，然后解即可得出的减区间；

根据的解析式可得出，然后设，根据即可求出，然后得出，然后讨论和区间的关系，根据的最大值为即可求出的值．

本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和与差的正弦函数，配方求二次函数最值的方法，分类讨论的思想，正弦函数的最值，考查了计算能力，属于中档题．

22.【答案】证明：已知四棱锥的底面为矩形，，，是的中点，平面，

在中，，在中，，

则，

于是，所以，

因为平面，平面，则，

又，，平面，所以平面；

证明：因为，平面，平面，

所以平面，

又平面平面，平面，所以