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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第I卷(选择题)

一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

1.已知复数满足,则()

A.B.C.D.

2.已知角的终边经过点,则下列各式一定为正的是()

A.B.C.D.

3.中角,,所对的边分别是,,,若,则角为()

A.B.C.D.

4.()

A.B.C.D.

5.已知向量,,若,则在上的投影向量的坐标为()

A.B.C.D.

6.已知,是两条不同直线,,,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()

A.若,,则

B.若,,则

C.若,,则

D.若,是异面直线,且,,,则

7.一艘海轮从处出发,以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行,小时后到达处,在处有一座灯塔,海轮在处观察灯塔,其方向是南偏东,在处观察灯塔,其方向是北偏东,那么,两点间的距离是()

A.海里B.海里C.海里D.海里

8.已知函数,若函数的图像关于轴对称,则的最小值为()

A.B.C.D.

二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列关于复数的说法正确的是()

A.任意两个虚数都不能比较大小

B.在复平面中,虚轴上的点都表示纯虚数

C.已知,,则

D.

10.在中,,,,则()

A.B.

C.的面积为D.外接圆的直径是

11.将函数的图象向左平移个单位长度后,所得图象关于原点对称,则的值可以是()

A.B.C.D.

12.如图,将一副三角板拼成平面四边形,将等腰直角沿向上翻折,得三棱锥设,点,分别为棱,的中点,为线段上的动点下列说法正确的是()

A.存在某个位置,使

B.存在某个位置,使

C.当三棱锥体积取得最大值时,与平面成角的正切值为

D.当时,的最小值为

第II卷(非选择题)

三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

13.已知向量,满足,,,则与的夹角为______.

14.已知,则______.

15.在锐角中,角,,的对边分别为,,,某数学兴趣小组探究该类三角形时,得出以下四个结论,甲:;乙:;丙:;丁:则上述四个论断中恒成立的是______.

16.已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为和,且两截面间的距离为,则该球的体积为______.

四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.本小题分

已知向量,的夹角为,且,.

求的值;

求的值.

18.本小题分

如图,在四棱锥中,平面,,,,,交于点.

求证:平面平面;

设是棱上一点,过作,垂足为,若平面平面,求的值.

19.本小题分

已知角,角和的终边分别与单位圆交于,两点.

若,求的值;

若,点的横坐标为,求的值.

20.本小题分

已知的内角,,的对边分别为,,,.

求角;

若,,求的周长.

21.本小题分

已知向量,,设函数.

求的单调递减区间;

若函数在区间上的最大值为,求实数的值.

22.本小题分

如图,已知四棱锥的底面为矩形,,,是的中点,平面.

求证:平面;

设平面与平面的交线为.

求证:;

求与平面所成角的大小.

答案和解析

1.【答案】

【解析】解:由题意,复数满足,

则.

故选:.

利用复数的运算法则、复数的模直接求解.

本题考查复数的运算法则、复数的模等础知识,考查运算求解能力,是基础题.

2.【答案】

【解析】解:因为角终边经过点,所以在第四象限,

所以,,,,故C正确.

故选:.

依题意可得在第四象限,根据各象限三角函数值的正负情况判断即可.

本题主要考查了三角函数定义的应用,属于基础题.

3.【答案】

【解析】解:,

根据余弦定理得:,

又为三角形的内角,

则.

故选:.

利用余弦定理表示出,把已知的等式代入求出的值,由为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出的度数.

此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,利用了整体代入的思想,余弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

4.【答案】

【解析】解:因为,

故选:.

根据题意,由,然后结合正弦的和差角公式代入计算,即可得到结果.

本题主要考查了诱导公式及和差角公式的应用,属于基础题.

5.【答案】

【解析】解:,,,

故,解得.

所以,,

,,

所以在上的投影向量为.

故选:.

由向量垂直的坐标表示求解,再根据投影向量的公式进行求解即可.

本题主要考查投影向量的公式,属于基础题.

6.【答案】

【解析】解:由,,可得,故A正确;

当,时,与可能平行,可能相交,相交时也不一定垂直,故B错误;

当,时,与可能相交,可能平行,也可能在平面内,故C错误;

当,是异面直线,且,,时,与平面可能平行,可能相交,故D错误.

故选:.

由直线与平面垂直的性质判断;由垂直于同一平面的两平面的位置关系判断;由直线与平面平行、平面与平面垂直分析线面关系判断;由异面直线的定义结合空间中的线面关系判断.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定,考查空间想象能力与思维能力,是基础题.

7.【答案】

【解析】解:由题意作出图形:,,则,

由图知:,则,又,

所以,则海里.

故选:.

由题意作出示意图,应用正弦定理求出,两点间的距离即可.

本题考查正弦定理的实际应用,属于中档题.

8.【答案】

【解析】解:,

则,

的图像关于轴对称,

,,则,,

当时,取得最小值.

故选:.

用辅助角公式化简函数解析式,再由函数的图像关于轴对称求出的值,最后判断的最小值.

本题主要考查了辅助角公式,正弦函数的对称性的应用,属于基础题.

9.【答案】

【解析】解:对于,任意两个虚数都不能比较大小,A正确;

对于,在复平面中,虚轴上的点都表示纯虚数,不正确,因为原点在虚轴上,原点表示实数,不正确;

对于,设,,

则,,,C正确;

对于,,不正确.

故选:.

根据复数的概念可判断A正确;根据复平面的概念可判断不正确;根据复数的乘法运算和复数的模长公式计算可判断C正确;根据虚数单位的概念计算可判断不正确.

本题主要考查复数的模,以及复数的四则运算,属于基础题.

10.【答案】

【解析】解:由题意可知,,故A正确;

在中,,

由余弦定理得,解得,故B正确;

,故C错误;

设外接圆半径为,由正弦定理得,故D错误.

故选:.

利用余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系,结合余弦定理及三角形的面积公式,再利用正弦定理即可求解.

本题主要考查解三角形,考查转化能力,属于中档题.

11.【答案】

【解析】解:将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象,

该图象关于原点对称,所以,

即,所以的值可以是,.

故选:.

根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式,再根据所得图象关于原点对称,即可求出答案.

本题主要考查三角函数的图象与性质,属于基础题.

12.【答案】

【解析】解:对于:若,又,,则平面,即,

所以当时,使,故存在某个位置,使,故A正确,

对于:若,又,,则平面,则,则是以为斜边的直角三角形,

又由题意知,故不存在某个位置,使,故B错误;

对于:当三棱锥体积取得最大值时,平面平面,即是三棱锥的高,

又,平面平面,所以平面,

所以是直线与平面所成的角,

由,则,又是的中点,所以,

所以故C正确;

对于:当时,由,则在内的射影是的外心,

又的外心是斜边的中点,故AF平面,

所以,,所以,,

将绕旋转,使到,使与在同一平面内,

的最小值即为,

在中,由余弦定理可得,

故CF,故当时,的最小值为,故D正确.

故选:.

由平面,可判断;不可能是以为斜边的直角三角形,可判断;当三棱锥体积取得最大值时,平面平面,即是三棱锥的高,求解可判断;当时,由,则在内的射影是的外心,可得平面,将绕旋转,使到,使与在同一平面内,可求的最小值判断.

本题考查空间几何体的性质,考查线面角的求法,考查线面的位置关系,考查距离和的最小值的求法,属中档题.

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查数量积表示两个向量的夹角,属于基础题.

先设与的夹角为,再根据由向量夹角公式即可求解.

【解答】

解:设与的夹角为,

则,

又,所以与的夹角为.

故答案为:.

14.【答案】

【解析】解:因为,则,

故答案为:.

利用二倍角公式结合弦化切可求得所求代数式的值.

本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用,属于基础题.

15.【答案】丙

【解析】解:因为是锐角三角形,但不确定,,的大小,也不确定,的大小,故甲,乙均错误;

由题意得且,,所以,

因为在上单调递增,所以,丙正确;

可能大于,也可能等于,可能小于,

即与的大小关系不确定,丁错误.

故答案为:丙.

由,,的大小和,的大小不确定,判断甲乙;根据正弦函数的单调性判断丙;由差角公式结合,的大小判断丁.

本题主要考查了正弦函数的性质,考查了两角和与差的三角函数公式,属于基础题.

16.【答案】

【解析】解:设球的半径为,依题意,截面圆的面积分别为和,则截面圆的半径分别为,,

可得球心到两截面圆的距离分别为,.

当两截面在球心的同一侧时,因为两截面间的距离为,

所以,解得或舍;

当球心在两截面之间时,可得,即,该方程无解.

综上,,故该球的体积为.

故答案为:.

求出球心到两截面圆的距离,再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况,得出半径,进而得出球的体积.

本题主要考查球的体积的求法,考查运算求解能力,属于中档题.

17.【答案】解:向量,的夹角为,且,,

,,,

【解析】本题主要考查平面向量的数量积公式,考查计算能力,属于基础题.

根据已知条件,结合平面向量的数量积公式,即可求解.

根据已知条件,对平方再开方,即可求解.

18.【答案】解:证明:由平面,可得,

又,,

可得平面,

而平面,则平面平面;

是棱上一点,过作,垂足为,

又,可得,

则.

若平面平面,又平面平面,平面平面,

则,

可得,

又,,可得,

则,

即有,即.

【解析】由线面垂直的性质和判定推得平面,再由面面垂直的判定定理可得结论;

运用面面平行的性质定理和相似三角形的性质和平行线成比例,可得结论.

本题考查面面垂直的判定定理和面面平行的性质定理,以及相似三角形的性质,考查转化思想和推理能力,属于中档题.

19.【答案】解:角和的终边分别与单位圆交于,两点,

,,

,,即,

点的横坐标为,,,

,,,

,,,

【解析】由得,再由诱导公式化简后即可求得;

由题意求出的坐标,再由求出,从而得到,再由和差角公式求出,即可.

本题考查平面向量的数量积运算和三角函数的求值,属于中档题.

20.【答案】解:因为,

由正弦定理可得,

所以,

即,

因为,所以,

因为,则,故.

因为,所以.

根据正弦定理有,所以.

因为,所以,所以,

所以,

所以的周长为.

【解析】由正弦定理边角互化、两角和的正弦公式以及三角形内角的关系化简计算,从而得角的值;

由正弦定理计算的值,根据结合两角和的正弦公式计算,再利用正弦定理计算的值,从而得的周长.

本题主要考查解三角形,考查运算求解能力,属于中档题.

21.【答案】解:

解,得,

的单调递减区间为:;

,,,

设,,,,

,即时,时,取最大值,即,解得;

,即时,时,取最大值,即,解得,不合题意,应舍去;

,即时,时,取最大值,即,解得,

综上得,的值为或.

【解析】根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出,然后解即可得出的减区间;

根据的解析式可得出,然后设,根据即可求出,然后得出,然后讨论和区间的关系,根据的最大值为即可求出的值.

本题考查了二倍角的正余弦公式,两角和与差的正弦函数,配方求二次函数最值的方法,分类讨论的思想,正弦函数的最值,考查了计算能力,属于中档题.

22.【答案】证明:已知四棱锥的底面为矩形,,,是的中点,平面,

在中,,在中,,

则,

于是,所以,

因为平面,平面,则,

又,,平面,所以平面;

证明:因为,平面,平面,

所以平面,

又平面平面,平面,所以

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