《几何与代数》-科学出版社-第二章-矩阵5课件

几何与代数

主讲:关秀翠

东南大学数学系东南大学线性代数课程教学内容和学时分配

第二章矩阵教学内容学时数§2.1矩阵的代数运算

2§2.2可逆矩阵2§2.3分块矩阵1§2.4矩阵的秩1§2.5初等矩阵2§2.6用Matlab解题

1思考题：初等阵可逆吗？如何证明？若可逆，其逆矩阵是什么？P(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列P(i,j)1=P(i,j)Eri

rjP(i,j)(1)第二章矩阵

§2.5初等矩阵

P(i(k))=第i行1k

11第i列1(P(i(k)))1=P(i(1/k)))ErikP(i(k))

(2)第二章矩阵

§2.5初等矩阵

P(i,j(k))=第i行1……k11……第j行第i列第j列1A1CB1=(00k)P(i,j(k))1=P(i,j(k))

Eri+krjP(i,j(k))(3)第二章矩阵

§2.5初等矩阵

一次初等变换

(左行右列)一次初等行变换

一次初等列变换

Amn

行最简形U

等价标准形初等列变换初等行变换左乘初等阵P1,P2,…,Ps右乘初等阵Q1,Q2,…,Qt一.初等矩阵与矩阵的乘积P1,P2,…,PsA=U§2.5初等矩阵

第二章矩阵

§2.5初等矩阵

二.用初等变换求逆矩阵命题.初等矩阵都可逆,且P(i,j)1=P(i,j),

(P(i(k)))1=P(i(1/k)),(P(i,j(k)))1=P(i,j(k))).

命题.

对mn矩阵A,总存在行最简形阵U和m阶初等阵P1,P2,…,Ps,使得

P1P2…PsA=U

.问题：可逆方阵A的行最简形矩阵U=？E可逆方阵A=Ps1…P21P11.定理2.5n阶方阵A可逆

A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.二.用初等变换求逆矩阵第二章矩阵

§2.5初等矩阵

推论2.1设A,B都是mn矩阵，则AB

存在初等阵使B=P1…PsAQ1…Qt

存在m,n阶可逆阵P,Q使得B=PAQ.定理2.5n阶方阵A可逆

A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.推论2.3

对mn矩阵A,r(A)=r

存在初等阵使A=P1…PsQ1…Qt

存在m,n阶可逆阵P,Q使得A=PQ.A,B同型，且r(A)=r(B)=r(PAQ).第二章矩阵

§2.5初等矩阵

(A,B为方阵.)(方阵A可逆)A为非奇异阵、非退化阵、满秩A与E相抵A的行最简形矩阵为E.

A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.可逆阵APsPs-1…P2P1(A

E)=(E,A1)

PsPs-1…P2P1A=E(A

E)初等行变换(E

A1)A1二.用初等变换求逆矩阵可逆方阵A的行最简形矩阵U=EAmn

行最简形U

初等行变换P1,P2,…,PsA=U初等行变换E用初等变换求逆矩阵PsPs-1…P2P1E=A1例3.设A=123221343,求A1.r22

r1r33

r1r3

r21/2r2;

r3r1

2

r2r25/2r3r1+2r3123100

221010343001解:

A1=

1323/235/2111第二章矩阵

§2.5初等矩阵

例4

求A的逆矩阵：解:为什么？A不可逆r22

r1r3

r2A不与E相抵第二章矩阵

§2.5初等矩阵

注:当求一个逆矩阵时，事先不必知道A是否可逆，因为当A不可逆时，A就不可能通过初等行变换化成单位阵，此时，则可判别A不可逆。(A

E)初等行变换(E

A1)用初等变换求逆矩阵(A

E)初等行变换(E

A1)相当于左乘A1(A

B)初等行变换(E

)相当于左乘A1A1B相当于解AX=EX=A1相当于解AX=BX=A1B第二章矩阵

§2.5初等矩阵

例5.设A=,,B=253143求矩阵X使AX=B.r22

r1r33

r1r3

r21/2r2;

r3r1

2

r2r25/2r3r1+2r312322134312325

2213134343解:

故X=

322313.第二章矩阵

§2.5初等矩阵

XA=BX=BA1

(A

E)初等行变换(E

A1)(A

B)初等行变换(E

A1B)相当于左乘A1AX=BX=A1B初等列变换ABEX=E

BA1

相当于右乘A1初等列变换AEE

A1

左行右列第二章矩阵

§2.5初等矩阵

三.用初等变换求逆矩阵(左行右列)A可逆A

E

A=P1…Ps(A

E)初等行变换(E

A1)(A

B)初等行变换(EA1B)解AX=BX=A1B解XA=BX=BA1一.初等阵与初等变换一次初等行变换

(左行右列)一次初等变换

AB存在可逆阵P,Q使得B=PAQA,B同型r(A)=r(PAQ)初等列变换ABE

BA1

第二章矩阵

§2.5初等矩阵

1.分块初等变换与分块初等阵分块初等变换:分块初等矩阵:一次分块初等变换

三.矩阵的代数运算与矩阵的秩第二章矩阵

§2.5初等矩阵

定理.

一次分块初等行变换

一次分块初等列变换

其中E’为相应的分块初等阵.左行右列分块初等矩阵:一次分块初等变换

第二章矩阵

§2.5初等矩阵

证明:A,B的最高阶非零子式也是的非零子式.设U1,U2为A,B的行最简形.推论2.4.则存在可逆阵P1,P2,使得P1A

=U1,P2B

=

U2.第二章矩阵

§2.5初等矩阵

2.矩阵的秩的性质r(A,B)证明:推论2.5.若矩阵A,BRmn,则

r(A+B)

r(A)+r(B).则(A,B)与(A+B,B)相抵.推论2.4.证明:可逆r(AB)

r(A)+r(B).推论2.5.1第二章矩阵

§2.5初等矩阵

推论2.5.r(A)r(B)

r(AB)

r(A)+r(B).推论2.4.推论2.6.GH=s+t设A,B的最高阶非零子式分别为|As|,|Bt|

,则可得到G,H的一个s+t阶非零子式=|As||Bt|0

,对G,这是一个最高阶非零子式,r(G)=s+t对H,至少有这样一个s+t阶非零子式,r(H)s+t=3第二章矩阵

§2.5初等矩阵

推论2.4.推论2.7.若矩阵ARsn,BRnt,推论2.5.r(A)r(B)

r(AB)

r(A)+r(B).推论2.6.证明:第二章矩阵

§2.5初等矩阵

第一章矩阵

§1.7矩阵的秩

性质1.7.推论2.7.若矩阵ARsn,BRnt,性质1.8.r(A)r(B)

r(AB)

r(A)+r(B).性质1.9.设r(A)=r,可逆阵P,阶梯阵Ur,证明:推论2.4.推论2.7.若矩阵ARsn,BRnt,推论2.5.r(A)r(B)

r(AB)

r(A)+r(B).推论2.6.推论2.8.第二章矩阵

§2.5初等矩阵

解:设例6.若向量Rn,0,A=T,求r(A),|A|.r(A)=1即A中存在一个一阶非零子式.r(A)1另一方面,r(A)=r(T)r()=1r(A)=1<nA不可逆|A|=0.第二章矩阵

§2.5初等矩阵

解2:设例6.若向量Rn,0,A=T,求r(A),|A|.r(A)=1A中各行之间成比例.|A|=0.设r1/a1riair1i=2,,n

A第二章矩阵

§2.5初等矩阵

例7.设n阶方阵A满足,试证证明：

第二章矩阵

§2.5初等矩阵

00思考性质：非零子式的最高阶数矩阵的秩初等行变换(阶梯数)

r(A)r(B)

r(AB)r(A)+r(B)r(A)=rA中至少有一个

r级子式0,任一k(>r)级子式=0.

r(Amn)min{m,n}8)设