现代信号处理技术及应用第3章

现代信号处理技术及应用Modern

Signal

Processing

Technology

and

Its

Application何正嘉

訾艳阳

张西宁西安交通大学2021年7月28日1机械工程学院机自所动态室西安交通大学研究生创新教育系列教材第三章信号的频域分析2021年7月28日2机械工程学院机自所动态室信号的频谱和FFT算法及应用相干分析及应用频谱细化分析(ZOOM-FFT)倒频谱(Cepstrum)分析及应用信号调制与解调分析时间序列建模与自回归谱分析全息谱理论和方法第三章信号的频域分析2021年7月28日3机械工程学院机自所动态室信号的频谱和FFT算法及应用相干分析及应用频谱细化分析(ZOOM-FFT)倒频谱(Cepstrum)分析及应用信号调制与解调分析时间序列建模与自回归谱分析全息谱理论和方法3.1

信号的频谱和FFT算法及应用频谱是信号在频域上的重要特征，它反映了信号的频率成分以及分布情况。信号频谱分析方法通常分为经典频谱分析和现代频谱分析两大类。经典频谱分析是一种非参数、线性估计方法，其理论基础是信号的傅里叶变换。现代频谱分析属于非线性参数估计方法，以随机过程参数模型的参数估计为基础。2021年7月28日4机械工程学院机自所动态室3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱根据傅里叶级数理论，任何周期性信号简谐信号的叠加。(3.1.1)是第

次均x(t可)

展开为若干¥¥n=1=

A0

+

An

sin(nw

0t

+

fn

)n=1x(t)

=

a0

+

(an

cos

nw

0t

+

bn

sin

nw

0t)其中，A0

是静态分量,w

0

是基频,nw

0

是第n

次谐波(n

=1,2,3,...

),22A0

=

a0

，

An

=

an谐波的相位。+bn

是第n次谐波的幅值,n)2021年7月28日5机械工程学院机自所动态室nnbanf

=

arctan(3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱各系数分别为(3.1.2)2021年7月28日6机械工程学院机自所动态室=

2=

1000000td

t

(

n

=

1,

2

,...)

Tbtd

t

(

n

=

1,

2

,...

)

Ta

=x

(t

)d

tT2aTnTnTx

(t

)

sin

nwx

(t

)

cos

nwT0其中，T

是基本周期，w

=2p

是基频。3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。图3.1.1周期信号的傅立叶级数分解x

(t

)wtw

0时域f(w

)00频域2021年7月28日7机械工程学院机自所动态室ww3w

02w

0A(w)3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱傅里叶级数也可以写成复指数函数的形式。根据欧拉公式(3.1.3)(3.1.4)(3.1.5)(3.1.6)其中离散频谱(3.1.7)=

cosw

0t

–

j

sin

w

0te–

jw

0t1200jw

t(

e

+

e

)cos

w

0

t

=-

jw

t1200(esin

w

t

=

j-

jw

t

-

e

jw

0t

)0(

n

=

0

,–

1,–

2

,...

)C

ex

(t

)

=

nn

=

-¥jn

w

tT2021年7月28日8机械工程学院机自所动态室n-C

=T

2T21x

(

t

)

e

-

jn

w

0

t

dt式(3.1.1)中x(t)可写为¥3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.1

傅里叶级数与离散频谱频率对应。在实轴上的合成结果正好形成了代表谐波幅值的实向量，而在虚轴上的合成结果正好抵消为零。周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性三个特点。图3.1.2谐波幅值的向量分解n及频信息。频率为C

一复数，由周期信号确x(定t)。它综合反映了 次谐n波的幅值、相位的取w值范围也扩展到负频率。n展开系数

和C

与C正-n负-

w

0I

m2AARew0j-

j2021年7月28日9机械工程学院机自所动态室3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.2

傅里叶变换与连续频谱当周期信号就变成积分符号∫，于是得到傅里叶积分。(3.1.8)(3.1.9)(3.1.10)x的(t周)期趋于T无穷大时，变成n连w

0续变量 ，求和w符号Σ-

¥+

¥ +

¥-

¥[

1

2px

(t

)

e

-

jw

t

d

t

]e

jw

t

d

wx

(t

)

=x

(t

)

e

-

jw

t

d

t由于时间

是t积分变量，故上式括号内积分之后仅是

的w函数，记作+¥-

¥X

(w

)

=2p2021年7月28日10机械工程学院机自所动态室1jwtX

(w

)e

dw+¥-¥x(t)

=式(3.1.9)为x(t)的傅里叶变换，式(3.1.10)为其傅里叶逆变换，互称为变换对。机械工程学院机自所动态室113.1

信号的频谱和FFT算法及应用(3.1.10)称由信号 求出它的频谱 的过程为对信号作谱分析。3.1.2

傅里叶变换与连续频谱X为(w

)

的x连(t续)

频谱。一般是复X函(w数)，可写成X

(w

)

=|

X

(w

)

|

e

jf(w

)式中，|

X

(|w为)信号的连续幅值谱，

为f信(w号)

的连续相位谱。非周期信号的幅值谱|

X|和(w周)

期信号的幅值谱|差别的：n|很相C似，但两者是有| |的Cn量纲与信号幅值的量纲一样；|

X|的(w量)纲与信号幅值的量纲不一样，它是单位频带上的d幅w

值。求矩形窗x(t函)数2021年7月28日频谱的例X子(，w

)见p45。w(t)3.1

信号的频谱和FFT算法及应用傅里叶变换的性质1、线性叠加性质若2、时移性质3、频移性质4、时间伸缩性质5、时间微分性质6、时间积分性质7、卷积定理x1

(t)«X1

(w

)，则x2

(t)«X

2

(w

)[a1

x1

(t)

+

a2

x2

(t)]«

[a1

X1

(w

)

+

a2

X

2

(w

)]X

(w

)

，则

X

(w

)e

–

jw

t0x(t

–

t0

)

«X

(w

)，则若x(t)«若x(t)«0x

(t

)e

jw

0t

«

X

(w

–

w

)a

aX

(w

)，a为正实数，则x(at)«1

X

(w

)dtdx(t)«

(

jw

)

X

(w

)X

(w

)，则X

(w

)，且设x(t)«若x(t)«若x(t)«X

(w

)|w

=0

=0，则jwtx(t)dt

«

1

X

(w

)-¥若x1

(t)«X1

(w

)，x2

(t)«X

2

(w

)，则x1

(t)

*

x2

(t)

=

X及1

(w

)

X

2

(w

)1

22021年7月28日12机械工程学院机自所动态室2p1

X

(w

)

*

X

(w

)x1

(t)

x2

(t)

«3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.3

离散傅里叶变换(DFT)离散傅里叶变换对为2021年7月28日13机械工程学院机自所动态室正变换(3.1.15)逆变换逆变换。(n

=

0,1,2,...,

N

-1)k

=0N

-1X

(

n

)

=

x(kDt)e-

j

2pnk

/

NNDtNDtN

n=0(3.1(.k16=)

0,1,

2,...,

N

-1)N

-1x(kDt)

=

1

X

(

n

)e

j

2pnk

/

N式中，x(kDt)

是

x(t)

采样值，N是序列点数，Dt是采样间隔，

n是频域离散值的序号，k

是时域离散值的序号。采样间隔Dt不影响离散傅里叶变换的实质，通常略去。有(n

=(03,.11,.127,.)..,

N

-1)x(k

)W正变换

X

(n)

=nkNN

-1k

=0((k3.=1.108,)1,2,...,

N

-1)NX

(n)W

-nkNN

-1x(k

)

=

1

n=0式中，WN=

e-

j

2p

/

N3.1

信号的频谱和FFT算法及应用2021年7月28日14机械工程学院机自所动态室3.1.4

快速傅里叶变换(FFT)当N

=4

时，离散傅里叶变换式(3.1.17)可写成(3.1.19)(3.1.20)9N

N

NNNNN

N

NX

(1)x(1)W

0

W

1

W

2

W

3x(3)WW

0

W

0

W

0

X

(0)W

0

x(0)

N

N

=

W

0

W

2

W

4W

6

x(2)

N

W

0

W

3

W

6

X

(2)

X

(3)

N

N

N N

N乘法和由于W和x可(k能)

都是复数，若计算所有的离散值

，X需(n要)

进行 =16次N

2复数N次(N复-数1)加=法12的运算。计算量将以 进行增长。N

2以Cooley-Tukey计算序列数长

N(

=为2正i

整i

数)的算法来说明FFT的基本原理。将离散傅里叶变换式(3.1.17)写成如下形式N

-1n

kx

eX

=-

j

2pnk

/

Nk

=0式中，X

n

=X

(n),n

=0,1,2,...,N

-1,xk

=x(k

)3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.4

快速傅里叶变换(FFT)FFT先对原数据序列按奇、偶逐步进行抽取。x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7 1个长度为8的序列x0

x2

x4

x6

x1

x3

x5

x7

2个长度为4的序列原始序列

第一次抽取第二次抽取第三次抽取x0

x4

x2

x6

x1

x5

x3

x7

4个长度为2的序列x0

x4

x2

x6

x1

x5

x3

x7

8个长度为1的序列N=8时的计算流程图。x1x2x3x45xx6x3x5x13x2x6x15

53x

xx

xx

x7x'2x'6537-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1X

0X

12021年7月28日15机械工程学院机自所动态室X2X3

X4X5X6X7x7

x7

7x0

x0

x0

x0

x'

0x

2

x4

x

4

x'

4x4

x

2x6

x6x

1W

0

NNW

0x'x'x'

W

0

NNx'

1

W

0W

N0W

0

NNW

1W

1

NW

N1W

0

NWW

2

NW

3

N逆变换的计算同理。计算量由

N降2

为N

log2

N3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.5

FFT的校正算法当FFT计算时，矩形窗引起能量泄漏，使得谱峰幅值变小，精度降低。

1）比值校正算法通过主瓣中心两侧的两根谱线的幅值和频率的大小，利用窗函数的频谱图形，去求主瓣中心点A点的坐标。设x

为主瓣中心与左谱线的距离，由窗函数的频谱函数构成如下函数:(3.1.25)2）峰值搜寻算法

优化(3.1.33)取得极小值的x。W

(w

0

-

x)

=

ylW

(w

r

)

W

(w

0

+

Dw

-

x)

yrF

(x)

=

W

(w

l

)

=校正频率为w0yk=kDw

+DK

，校正幅值A

=W

(DK

)0k，校正相位j

=j

-DKp

/Dwmin(U

(x))，约束条件x

˛

[0,

Dw

]x

˛

[0,

Dw

]-

yl

]22021年7月28日16机械工程学院机自所动态室U

(x)

=

[W

(w

0

+

Dw

-

x)

yrW

(w

0

-

x)3.1

信号的频谱和FFT算法及应用，虚频(3)幅频、相频率特性或奈魁斯特图表示，变权重谱(权重大小不同)。3.1.6

确定性信号的傅里叶谱分析确定性信号

x的n

傅里叶谱

是X个m

复数，因此它包含实频、虚频或幅频、相频等信息。工程中为了方便起见，常采用以下几种表示方法：实频特性及虚频特性表示X

m

=X

mR

+实j频X

mI幅频特性及相频特性表示。X

mRX

mImjfX

m

=幅A频m

e，A相=频

X

2

+

X

2m

mR

mImR2021年7月28日17机械工程学院机自所动态室mXf

=

arctan(

X

mI

)将

视X

为m

极坐标中的一矢量，用此矢量端点随频率而变化的轨迹来表示

的X幅m频、相频率特性。傅里叶谱的幅值信息，有三种不同的表示方法。(1)幅值谱

A。m

Am

=，|

X等m权|

(权重均为1)谱。2

2,变权重|

谱(权重取决于频率分量幅值)。mm

m均方谱

S。m

S

=

A

=|

X对数谱

。LmLm

=

log

Am

=

log

|

X

m

|(3.1.34)(3.1.35)(3.1.36)(3.1.37)3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.7

功率谱密度函数功率谱密度函数反应了信号的功率在频域随频率

的w分布。自功率谱密度函数是信号

x(的t)

自相关函数

R的x

(t傅)

里叶变换。¥-¥t-

jwtxxR

(t)e

dS

(w

)

=自功率谱密度函数Sx

(w是)实偶函数。自功率谱密度函数

S

x的(w傅)

里叶逆变换为。R

(t)x¥-¥2p

xxS

(w

)e

jwtdwR

(t)

=

1S的x

(w物)理意义为信号能量的度量,于信号的均方值。当t

=时0

，函数2021年7月28日18机械工程学院机自所动态室¥-¥2p12Sx

(w

)dwRx

(0)

=y

x

=Sx

(w称)为双边功率谱。实际中常用其单边功率谱(w

‡

0)(w

<

0)Gx

(w

)

=

0Gx

(w

)

=

2Sx

(w

)3.1

信号的频谱和FFT算法及应用3.1.7

功率谱密度函数(3.1.38)相应的傅里叶逆变换为(3.1.39)单边互谱密度函数定义为(3.1.40)(3.1.41)x和(t)两组信号

的y互(t)谱密度函数定义为互相关函数傅里叶变换的

R

(t)xy¥-¥xyxyR

(t)e-

jwtdtS

(w

)

=¥-¥2p

xyxyS

(w

)e

jwtdwR

(t)

=

1(w

‡

0)(w

<

0)Gxy

(w

)

=

0Gxy

(w

)

=

2Sxy

(w

)由于互谱密度函数是复函数，所以单边互谱密度函数

G

(又w

可)

写成xyGxy

(w

)

=

Gxy

(w

)

e

qxy

=

Cxy

(w

)

+

jQxy

(w

)j

(w

)2021年7月28日19机械工程学院机自所动态室Cxy

(称w

)为共谱、协谱或余谱，Q称(为w

)正交谱、方谱或重谱。xy第三章信号的频域分析2021年7月28日20机械工程学院机自所动态室信号的频谱和FFT算法及应用相干分析及应用频谱细化分析(ZOOM-FFT)倒频谱(Cepstrum)分析及应用信号调制与解调分析时间序列建模与自回归谱分析全息谱理论和方法3.2

相干分析及应用(3.2.1)有明确的物理意义，它反映了信号一般情况下相干函数(1)测量中存在外部噪声；谱估计中存在分辨率偏差；系统是非线性的；除了输入信号之外还有其它输入。0

£

g2

(w

)

£

12021年7月28日21机械工程学院机自所动态室g2

(w

)

=xyxyxySx

(w

)S

y

(w

)|

S

(w

)

|2相干函数是频率的函数。它在频域内描述信号

x(t和)

的y(t相)

关性。

具2g

(w

)x(t)2xy中频率y(t)的分量在w

多大程度上来源于信号

。取值在0～1之间:g

(w

)xyS和(w互)功率y3.2.1

相干函数的概念相干函数分析建立在平稳机械信号的自功率谱密度函数

S

(、w

)x谱密度函数

之S上xy

(。w

相)

干函数(凝聚函数)的定义如下3.2

相干分析及应用3.2.2

相干函数的工程应用(1)判断系统输出与某特定输入的相关程度。利用相干函数可发现系统是否还有其它输入干扰及系统的线性程度。(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，可以分析出机械系统和基础振动的传递特性，为结构动态分析提供依据。(a)输入信号的功率谱和输出信号的功率谱(b)

幅频特性、相频特性和相干函数2021年7月28日22机械工程学院机自所动态室第三章信号的频域分析2021年7月28日23机械工程学院机自所动态室信号的频谱和FFT算法及应用相干分析及应用频谱细化分析(ZOOM-FFT)倒频谱(Cepstrum)分析及应用信号调制与解调分析时间序列建模与自回归谱分析全息谱理论和方法3.3

频谱细化分析(ZOOM-FFT)图3.3.1

频谱细化示意图要使频谱的分辨率增加K倍，只要将信号的采样点数N增加到KN点就可以实现。这样使频谱范围内所有的频率分辨率都增加了K倍，相应的代价是运算次数的增加。所谓细化变换，即只对选定的某频带进行细化。0w

maxw

22021年7月28日24机械工程学院机自所动态室3.3.1

频谱细化的概念频率分辨率由谱线数(一般是原始采样点数的一半)决定。细化谱分析是在频谱分析中用来增加频谱中某些部分频率分辨率的方法。aw

1bw1w

23.3

频谱细化分析(ZOOM-FFT)3.3.2

复调制细化分析的原理点新的离散复序列到了频率 处。采样频率图3.3.2

复调制细化分析过程w

s用采样频率

=

2进p行/

D采t

样，得到N点离散序列。细{化xn的}频带是中心k频率为 的一个窄w

带2

1。用一个w

复-w正弦序列乘以 进行e复-

jw调k

nD制t

，得{Nxn

}。根据傅里叶变{换yn

的}频移定理，复调制将频率原点移也移w

k动了

。w

s

=

2p

/

Dt2021年7月28日25机械工程学院机自所动态室–

w

s

w

ke-

jw

k

nDt3.3

频谱细化分析(ZOOM-FFT)2021年7月28日26机械工程学院机自所动态室3.3.2

复调制细化分析的原理设w

c

为原来信号抗混滤波的截止频率，由于新的序列{yn

}的频率频率上限(w

c

+w

k

)可能高于原序列{xn

}的奈奎斯特频率w

s

/2

，产生频率混淆。需进行低通滤波。得到序列{gn}。如果要进行D倍的细化，应保证原始信号的采样长度为DN。对低通滤波后的复序列{gn

}以采样频率w

's

=w

s

/D

进行重抽样，即每隔D个点抽取一个数据，得到新的长度为N的复序列{rn

},其时间跨度增长D倍，频率分辨率也将提高了D倍。对序列{rn进}

行FFT变换，得到中心频率为

带w

k宽为w的2

-细w化1

谱。第三章信号的频域分析2021年7月28日27机械工程学院机自所动态室信号的频谱和FFT算法及应用相干分析及应用频谱细化分析(ZOOM-FFT)倒频谱(Cepstrum)分析及应用信号调制与解调分析时间序列建模与自回归谱分析全息谱理论和方法3.4

倒频谱(Cepstrum)分析及应用2021年7月28日28机械工程学院机自所动态室(3.4.1)有相同的时间量纲。倒频谱是频域函数的傅里叶再变换，是频谱的频谱，可以提取频谱上的周期性分量。此外，它与相关函数量纲相同，不同之处只差对数加权。3.4.1

倒频谱的数学描述定义：倒频谱

Cp

(是q)信号

的x(t功)

率谱

的Sx对(

f数)

值的傅里叶逆变换。-1Cp

(q)

=

F

{log

Sx

(

f

)}倒频谱自变量q称为倒频率，与自相关函数Rx

(t)的自变量q值大者称为高倒频率，表示谱图上的低频波动。q值小者称为低倒频率，表示谱图上的高频波动。倒频谱 可定义为信号Cp

(q)的功率谱x(t)的对数值的傅里叶变换。Sx

(

f

)两种定义方法实质一C

p样(q。)因=

F为{log

是S

x实(f偶)}函数，log正、逆傅里叶变换相等，并且也Sx是(

f一)

个实偶函数。也是实偶函数。其Sx

(

f

)3.4

倒频谱(Cepstrum)分析及应用2021年7月28日29机械工程学院机自所动态室3.4.2

倒频谱与解卷积对于线性系统(3.4.2)(3.4.3)(3.4.4)或(3.4.5)、x(t)

、h(t)三者y(的t)

关系可用卷积公式表示¥0x(t)h(t

-

t)dty(t

)

=

x(t

)

*

h(t

)

=对式(3.4.2)

进行傅里叶变换，将时域卷积变为频域乘积。有Sy

(

f

)

=

Sx

(

f

)Sh

(

f

)对式(3.4.3)两边取对数，将乘积变为线性相加。有log

Sy

(

f

)

=

log

Sx

(

f

)

+

log

Sh

(

f

)对式(3.4.4)再进一步作傅里叶逆变换，可得倒频谱F

-1{log

S

(

f

)}

=

F

-1{log

S

(

f

)}

+

F

-1{log

S

(

f

)}y

x

hCy

(q)

=

Cx

(q)

+

Ch

(q)3.4

倒频谱(Cepstrum)分析及应用3.4.3

倒频谱的应用表示系统特性位置。机械故障诊断：识别齿轮、轴承故障频谱中多簇等间隔的调制边频带。语音和回声分析及解卷积：分离和提取源信号与传递系统影响。log是S

(

f

)由式(3.4.4)得到的

与log

S

(的f

)线性lo和g

S。(

在f

)

倒频域上由两部y

x

h分组成，低倒频率 和高倒频率

。q1

前者表示源信q2

号 的谱特征，而后x(t者)的谱特征，它们各h(自t)在倒频谱图上占有不同的倒频率2021年7月28日30机械工程学院机自所动态室第三章信号的频域分析2021年7月28日31机械工程学院机自所动态室信号的频谱和FFT算法及应用相干分析及应用频谱细化分析(ZOOM-FFT)倒频谱(Cepstrum)分析及应用信号调制与解调分析时间序列建模与自回归谱分析全息谱理论和方法3.5

信号调制与解调分析当机械出现故障时，信号中包含的故障信息往往以调制的形式出现，提取调制信号的过程就是信号的解调。本节介绍常用的Hilbert解调。3.5.1

实信号的复数表示(3.5.1)，得(3.5.2)其中就是 的复信号。cos((2其pf中0t)对简单的余弦信号

)，2p可f0

用>

0复数形式表示为i

2pf

t

-i

2pf

tcos(2pf0t)

=

(e

0

+

e

0

)

/

2显然有

cos(2pf0t)

=

Re{e

0

，}

=称Re{e为

0

}i

2pf

t

-i

2pf

t的复e信iw

0t号。cos(2pf

t)0因为X

(-f

)=，X

*所(f以)有2021年7月28日32机械工程学院机自所动态室¥¥00X

(

f

)e

dfX

(-

f

)e

df

=i

2pft-i

2pft¥¥-¥¥

¥-¥=0000X

(-

f)e

dfX

(

f

)e

df

+X

(

f

)e

df

+X

(

f

)e

df

=x(t)

=-i

2pfti

2pftX

(

f)ei

2pft

dfi

2pfti

2pft0df

}

=

Re{q(t)}x(t)

=

Re{ 2

X

(

f

)e¥i

2pft¥02

X

(

f

)e

dfq(t)

=i

2pftx(t)3.5

信号调制与解调分析(3.5.3)(3.5.4)(3.5.6)3.5.2

Hilbert变换设

q的(t频)

谱为

，Q由(

f式)

(3.5.2)知0,当f

‡0时当f

<0时Q(

f

)

=

2

X

(

f

),设Q(f是)由X滤(波f

)得到，则相应的滤波器频谱为H

(f

)10,1当f

‡0时当f

<0时H

(

f

)

=

2,1Q(f

)=H

(滤f

)X波(器f

)1对应H的时(

f

间)

函数是pt1h(3(.t5).5=)

d(t)

+

i

1任何一个实信号x(t的)复信号q((解t)析信号)可由滤波得到1q(t)

=

h

(t)

*

x(t)

=

x(t)

+

i

1

*

x(t)

=

x(t)

+

ix'

(t)ptp

-¥

t

-tpt脉冲响应为的x(t)dt称x'(t)=

1

*

x(t)=1为¥

Hilbert变x(换t)。相当于进行滤波处理，滤波单位pt2021年7月28日33机械工程学院机自所动态室，Hilberth变(t)换=又1称为90°移相滤波。3.5

信号调制与解调分析3.5.3

Hilbert解调原理设窄带调制信号(3.5.10)(3.5.11)(3.5.11)(3.5.11)x(t)=a(t)cos，(2pf

0是t

+缓j

(慢t))变化a(的t)调制信号。0q(t)

=，2pf

t

+j

(t)dt

dt0+率d。j

(设t)m(t)是=dq(的t)瞬=时2p频f的xH(t)ilbert变换令为x(t)。则它x'的(t)解=析a(信t)s号in(为2pf0t

+j

(t))q(t)

=

x(t)

+

ix'

(t)

=

a(t)[cos(2pf0t

+

j

(t))

+

i

sin(2pf0t

+

j

(t))]解析信号的模或信号的包络为|

a(t)|=

x2

(t)

+

x'2

(t)解析信号的相位为0x(t)解析信号相位的导数或瞬时频率为q(t)

=

arctan

x'

(t)

=

2pf

t

+

j

(t)dt2021年7月28日34机械工程学院机自所动态室0+

dj

(t)m(t)

=

dq(t)

=

d[arctan

x'

(t)] dt

=

2pfdt

x(t)第三章信号的频域分析2021年7月28日35机械工程学院机自所动态室信号的频谱和FFT算法及应用相干分析及应用频谱细化分析(ZOOM-FFT)倒频谱(Cepstrum)分析及应用信号调制与解调分析时间序列建模与自回归谱分析全息谱理论和方法若已知白噪声的功率 和系统的2021年7月28日36机械工程学院机自所动态室信号的功率谱密度函数

。(3.6.1)(3.6.2)3.6

时间序列建模与自回归谱分析随机信号

x的(m参)

数模型频谱估计的步骤可以分为以下三步:对给定的随机信号确定合理的参数模型；根据信号的自相关函数估计所确定的模型的参数；用估计出的模型参数计算信号的功率谱密度函数。3.6.1

谱估计原理及常见的参数模型设随机信号

x是(m由)

白噪声

激n励(m某)

一确定性的线性系统所产H生(z的)

。2ns传递函数 ，就可根H

据(e

j式w

)(3.6.1)估计出xS

(e

jw

)S

(e

jw

)

=|

H

(e

jw

)

|2

S

(e

jw

)

=|

H

(e

jw

)

|2

s

2x设参数模型的输入

n(m和)

输出n

nx满(m足)差分方程系数{ak和}q

px(m)

=

bk

n(m

-

k)

-

ak

x(m

-

k

)k

=0

k

=1{就bk

}是模型的参数，常数

和

p被称q为参数模型的阶数。3.6

时间序列建模与自回归谱分析3.6.1

谱估计原理及常见的参数模型(3.6.3)(3.6.4)(3.6.5)(3.6.7)为H：(z)p-k

k进行

变Z换，得到参数模型的传递函数q-k

ka

zb

z=

k

=0

1

+N

(z)X

(z)H

(z)

=显然，H

(是z)一个有理分式。根据1）自回归(Auto-regressive，AR)模型k

=1H的(不z)同，参数模型可分为三类：当b0

=1,bk

=0(k

=1,2,3,...,q)，模型AR(P)为kk

=1px(m)

=

n(m)

-

a

x(m

-

k

)-k2021年7月28日37机械工程学院机自所动态室k

=1AR模型的传递函数中只含有极点，不含有零点，是全极点模型。输出功率谱为1

+

ak

z1pA(z)H

(z)

=

1

=pjxa

e

||

A(e

jw

)

|2s

2

s

2-

jwk

2

kk

=1|1+S

(e

w

)

=

n

=

n

3.6

时间序列建模与自回归谱分析2021年7月28日38机械工程学院机自所动态室3.6.1

谱估计原理及常见的参数模型(3.6.8)(3.6.9)2）滑动平均(Moving-average，MA)模型当ak

=0(k

=1,2,3,...,p)，模型MA(q)为qkx(m)

=

b

n(m

-

k

)q

kb

z

-kk

=0

k

=0H

(

z)

=

B(z)

=参数模型的输出是该时刻的输入和以前q

个输入的线性组合，称为滑动平均模型，其传递函数中只含有零点，不含有极点，所以MA模型也叫作全零点模型。3）自回归滑动平均(Auto-regressive

&

Moving-average，ARMA)模型若ak(k

=1,2,3,...,p)不全为零，bk

(k

=1,2,3,...,q)也不全为零，则称为自回归滑动平均模型，记为ARMA(p,q)，其中p

和q

为ARMA模型的阶数。ARMA模型的传递函数既包含零点，又包含极点，所以ARMA模型也叫作极零点模型。所建立的模型H

(e

jw

)是多项式的有理分式，因此得到的功率谱密度函数是频率w

的连续函数。以上3种模型适用较短的信号，对非平稳性信号的频谱分析也有利。3.6

时间序列建模与自回归谱分析3.6.2

AR模型的建立从数学逼近的角度来讲，三种模型可以互相转换。由于AR模型的参数估计可以归结为求解一组线性方程组，计算简单。因此，AR模型便成为研究最多且应用最广的一种参数模型。2021年7月28日39机械工程学院机自所动态室AR模型：(3.6.4)自相关估计(3.6.10)(3.6.11)(3.6.12)pk

xk

=1=

E{n(m)x(m

-

i)}

-

a

R

(k

-

i)Rx

(i)

=

E{x(m)x(m

-

i)}px(m)

=

n(m)

-

ak

x(m

-

k

)k

=10+¥i

=

0i

>

0E{n(m)x(m

-

i)}

=

E{n(m)[

h(l)n(m

-

i

-

l)]}

=

2nl

=0sp-

k

xpnx

k

=1k

=12i

>

0a

R

(i

-

k

)i

=

0R

(i)

=

s

-

ak

Rx

(-k

)3.6

时间序列建模与自回归谱分析2021年7月28日40机械工程学院机自所动态室3.6.2

AR模型的建立得如下的规范方程(3.6.13)式(3.6.13)就是AR模型的Yule-Walker方程。。只要已知令A(p)=

(1,

a

,

a

,

a

,...,

a

)T1

2

3

pxxxxxR

(0)R

(

p

-1),

R

(

p),R

(

p

-

2)

R

(1),=

R

(2),Rx(

p

-1)

Rx

(1),

Rx

(0),R

(

p)x

xRx

(1),

Rx

(

p)Rx

(0),

n，且有E

(p)=(s

2

,0,,0)TR(

p

)

A(

p

)

=

E

(

p

)由于一个

p

阶AR模型共有

p

+1

个参数，即

a

,

a

,

a

,a

和1

2

3

p2ns输出信号x(m)的前p+1

个自相关函数Rx

(0),Rx

(1),Rx

(2),Rx

(3),...,Rx

(p)，就可求出这p

+1

个参数。3.6

时间序列建模与自回归谱分析3.6.2

AR模型阶次的确定AR模型建模的另一个问题就是如何选择合适的阶次p

。阶次的判据有1）最终预测误差判据FPE(Final

Prediction

Error

Criterion)(3.6.14)(3.6.15)(3.6.16)N

-1

-

p2）信息论判据AIC(Akaika’s

Information

Criterion)FPE(

p)

=

N

-1

+

p

J

(

p)NAIC准则的改进形式称为BIC准则，即AIC(

p)

=

2

p

+

ln

J

(

p)BIC(

p)

=

p

ln

N

+

ln

J

(

p)2021年7月28日41机械工程学院机自所动态室N其中，N为数据长度，p

为阶次，J

(p)为预测误差的均方值。选择判据的极小值对应的p

作为AR模型的最佳阶次。经验公式：数据序列长度在20

~

50之间，阶次p

可取长度的一半；当数据序列长度在50

~

100之间，阶次p

可取长度的三分之一到一半第三章信号的频域分析2021年7月28日42机械工程学院机自所动态室信号的频谱和FFT算法及应用相干分析及应用频谱细化分析(ZOOM-FFT)倒频谱(Cepstrum)分析及应用信号调制与解调分析时间序列建模与自回归谱分析全息谱理论和方法3.7

全息谱理论和方法3.7.1

全息谱理论和技术西安交通大学屈梁生院士提出了一种全息谱理论和分析方法。综合考虑了振动信号幅值、频率和相位信息，真实地反映机组振动状态。全息谱基础全息谱技术要求在每个测量面上安装两个相互垂直的位移传感器。全息谱要求参与集成融合的各个传感器的输出信号必须具有高度的一致性。让键相信号触发多通道信号采集，这样就保证了各个通道的同步采样，各通道信号的起始时刻就是键相信号的触发时刻。全息谱方法在集成融合过程中对参数的精确性有要求。在进行频域转换后，能够精确确定谱线的频率、幅值和相位。这实质上也是构造全息谱的一项关键技术。13530120Y45X

XYX