《概率统计》练习题及答案

习题一

(A)

1.写出下列随机试验的样本空间：

(1)一枚硬币连抛三次；(2)两枚骰子的点数和；(3)100粒种子的出苗数；(4)-

只灯泡的寿命。

2.记三事件为A,B,C。试表示下列事件：

(1)都发生或都不发生；(2)中不多于一个发生；(3)中只

有一个发生；(4)中至少有一个发生；(5)中不多于两个发生；(6)A,B,C

中恰有两个发生；(7)A,8,C中至少有两个发生。

3.指出下列事件A与5之间的关系：

(1)检查两件产品，事件A="至少有一件合格品"，B="两件都是合格品”；

(2)设T表示某电子管的寿命,事件A={T>2000h}，B={T>2500h}»

4.请叙述下列事件的互逆事件：

(1)A=“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7"；

(2)B="数学考试中全班至少有3名同学没通过”；

(3)C="射击三次，至少中一次”；

(4)D="加工四个零件，至少有两个合格品”。

5.从一批由47件正品，3件次品组成的产品中，任取一件产品，求取得正品的概率。

6.由7个数字组成，每个数字可以是0,1,…,9中的任一个，求：(1)由完全不相同的数字

组成的概率；(2)中不含数字0和2的概率；(3)中4至少出现两次的概率。

7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列，求“取得的三个数字排成的数是三位数

且是偶数”的概率。

8.从一箱装有40个合格品，10个次品的苹果中任意抽取10个，试求：(1)所抽取的10

个苹果中恰有2个次品的概率；(2)所抽取的10个苹果中没有次品的概率。

9.设A,B为任意二事件，且知p(A)=p(B)=0.4,〃(川6)=0.28,求p(Au8)；

P0A)。

10.已知p(A)=1,p(B\A)=—'=—，求p(AuB)。

11.一批产品共有10个正品和4个次品，每次抽取一个,抽取后不放回，任意抽取两次，

求第二次抽出的是次品的概率。

12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒，问一粒出苗一粒不出苗的概率是

多少？

13.一批零件共100个，次品率为10%,每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回，求

第三次才取得正品的概率。

14.10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先、乙次，丙最后。求：

（1）甲抽到难签；（2）甲、乙都抽到难签；（3）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4）甲、乙、

丙都抽到难签的概率。

15.设A，B为两事件，且p（A）=0.6,p（8）=0.7，问（1）在什么条件下p（AB）取到

最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下p（AB）取到最小值，最小值是多少？

16.设事件A与6互不相容，且0<p（B）<l，试证明〃（$8）二/"A）。

11-P（B）

17.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区被淹没。设某时

期甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2,当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为

0.3,求（1）该时期这个地区被淹没的概率？（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多少？

18.12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第三次比赛时取到的3

个球中有2个是新球的概率。

19.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，

35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求：（1）全厂的次品率；（2）如果抽

出的产品是次品，此产品是哪个车间生产的可能性大？

20.设一仓库中有12箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4

箱、3箱，三厂产品的废品率依次为0.1,0.15,0.18,从这12箱产品中任取一箱，再从这箱中

任取一件，求取得合格品的概率；若取得合格品，问该产品为哪个厂生产的可能性大？

21.设患乙肝的人经过检查，被查出患乙肝的人概率为0.95,而未患乙肝的人经过检查，

被误认为有乙肝的概率为0.002；又设全城居民中患有乙肝的概率为0.001。若从居民中随

机抽一人检查，诊断为有乙肝，求这个人确实有乙肝的概率。

22.据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人

群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

23.两射手彼此独立地向一目标射击，设甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,则目

标被击中的概率是多少？

24.某射手的命中率为0.95,他独立重复地向目标射击5次，求：（1）恰好命中4次的概

率；（2）至少命中3次的概率。

25.事件4,8,Cl相互独立，证明也相互独立。

26.高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率

均为0.3»又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6；

若敌机中三弹则必然坠落。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概

率O

27.袋中有10个乒乓球>其中7个黄的，3个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。

试求第一次和第二次都取到黄球的概率。

（B）

1.已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率。

2.甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间它们不需要工人照管的概

率分别为0.9,0.8及0.85。求：（1）在这段时间有机床需要工人照管的概率；（2）机床因

无人照管而停工的概率；（3）若3部机床不需要工人照管的概率均为0.8，这段时间恰有一

部机床需要人照管的概率。

3.设p(A)=a,p(B)=b，贝”p(A忸)>~~~""

4.若Z?(A|B)>p(A)>则p(@A)>p(B)°

5.已知三事件A，4,4都满足A,uA(i=l,2,3)，证明：

p(A)>p(A,)+p(A2)+〃(4)-2。

6.酒店一楼有三部电梯，今有5位客人要乘电梯.假定选择哪部电梯是随机的，求每部

电梯至少有一位旅客的概率。

7.有6匹赛马，编号为1,2,3,4,5,6.比赛时，它们越过终点的顺序是等可能的，记A=1

号马跑在前三位，B=2号马跑在第二位，求p(A)-p(B)和p(AB)。

8.设A,B,C是两两独立且不能同时发生的随机事件，且p(A)=p(B)=p(C)=x，

求x的最大值。

9.带活动门的小盒子中有采自同一巢的20只工蜂和10只雄峰，现随机地放出5只做实

验，求其中有3只工蜂的概率。

习题二

(A)

1.下列函数中哪些可以作为某个随机变量的分布函数，并说明理由。

1/

(l)F(x)=,—e2,(XG7?);(2)F(x)=sinx；

J21

"i[0,x<0

-----Y<f1

(3)尸(x)=h+/；(4)/(x)={0.6,x=0。

、LxZ11,x>0

2.设离散型随机变量X的分布函数

0,x<—1

0.2,-l<x<0

F(x)=《

0.7,0<x<l

1,x>1

求X的分布列。

3.设离散型随机变量X的分布列为

X|-112

p0.20.50.3

求：(1)X的分布函数；(2)p[X>0.5]；(3)p{-l<X<3]。

4.设随机变量X的概率函数为：p{X=k}=—,k=0,1,…,〃，试确定常数。。

n

5.设随机变量X服从泊松分布，且p{X=1}=p{X=2}，求p[X=4}及p[X>1}。

6.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信

号.

(1)进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；

(2)进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.

7.设随机变量X的密度函数为

jx,0<x<1

⑴/(幻=;(2)f(x)=b-x,l<x<2，

、°，其它0,其它

求X的分布函数E(x).

8.设随机变量X的密度函数

6Z+Zzx,0<X<1

/(幻=,

0,其它

13

且p{XW—}=一，试求出Q，b0

28

9.设随机变量X的密度函数为

ce',x>-1

/(%)=

0,其它

求：(1)c；(2)p\\<X<2}：(3)X的分布函数。

10.设糖机变量X的概率密度为

求：(1)A：(2)/?{0<X<4}：(3)X的分布函数。

11.在长度为f的时间间隔到达某港口的轮船数X服从参数为"3的泊松分布，而与时

间间隔的起点无关(时间以小时计)。某天12至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为

多少？

12.若幅机变量X在[1,6]上服从均匀分布，试求方程f+Xx+l=O有实根的概率。

13.设随机变量X~N(2,cr°)，且〃{2<X<4}=0.3，求概率p{X<0}。

14.设X~N(4,25)，求例0<X<8}。

15.由某机器生产的螺柱的长度（cm）服从正态分布N（10.05,0.062）,规定长度在围

10.05±0.12为合格品，求一螺柱为合格品的概率。

16.某种型号器件的寿命X（以小时计）具有密度函数

1000

,x>1000,

/（%）="X1

0,其它.

现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于

1500小时的概率是多少?

0,x<0

17.设连续型随机变量X的分布函数为F（x）=rx2,oj<i，求：（1）系数〃；（2）

1,x>1

p{0.3<X<0.7}；（3）密度函数/（幻。

18.设（x,y）的联合分布为下表

01

0noTT

10.8o

（1）求x,y的边缘分布：（2）判别x,y是否独立。

19.设二维随机变量（x,y）只能取数组（o,o）,（-,（2,0）的值，且取

这些组值的概率依次为！二二二,写出（x,y）的联合分布列并求出x,y的边

631212

缘分布。

20.已知随机变量x,y的分布列分别为

X-101Y01

P1/41/21/4P1/21/2

且Mxy=o}=i>求（1）x,y的联合分布列；（2）x,y是否独立？为什么？

21.已知二维随机变量（x,y）的联合联合分布列为

023

11/61/91/18

21/3aB

问当a,夕为何值时，X,y相互独立？

'ce~2(x+y>,x>0,y>0,

22.设二维随机变量(X,F)的联合密度函数为f(x,y)=<~•/,试、上求4

0,其它

常数c，并判别X,Y是否独立。

工叫x>0,y>0

23.设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=<

0,其它

(1)试求联合分布函数F(x,j)：(2)求概率p{(x,y)eG},其中区域G由x轴，y轴以

及直线x+y=l所困成。

k(l—x),0<y<x<l

24.设(XJ)的联合密度函数为f(x,y)=<，求常数攵及边缘概

0,其它

率密度，并讨论随机变量x与y的相互独立性。

25.已知随机变量X的分布列如下：

X-10123

P0.20.30.20.20.1

求y=2x+i，z=x2-i的分布。

26.设(x,y)的联合概率分布如下表所示，

X^-102

00.10.20

10.30.050.1

20.1500.1

求Z1=x+y，Z2=xy的概率分布。

e~x,x>0

27.设随机变量X的密度函数为/'(%)=jo0，求y=X-9的概率密度。

2x,0<x<l

28.设陵机变量X的密度函数为f(x)=<，求y=2X；z=—x+i的密

0,其它

度函数。

29.设二维随机变量(X,y)在矩形G={(x,y)|0WxWl,04yWl}上服从均匀分布，试

求边长分别为x和y的矩形面积z的分布函数与密度函数。

30.设x与丫分别服从参数为,与'的指数分布，并且二者相互独立，求z=x+v的

23

密度函数。

31.设(x,y)的联合密度函数为

3x,O<x<l,O<y<x

A%y)=<

0,其它

求2=X—y的分布函数与密度函数。

(B)

1.设随机变量x与y相互独立，且x~〃(4),Y〜，(丸2),在已知x+v="的条件

下，求X的条件分布。

2.设二维连续型随机变量(x,y)的联合密度函数为

,2122//I

/(x,y)=丁~y'

o,其它

求条件概率/(涉0，并求p{Y20.75|X=0.5}。

3.某商场经统计发现顾客对某商品的日需求量X~N(〃,b2)〃=4O，且日平均需求量

〃=40(件)，销售在30-50(件)之间的概率为0.5.若进货不足每件损失利润70元，进

货过量每件损失100元>求日最优进货量。

4.设二维随机变量(X,F)服从G={(x,y)|OWxW1,0WyW2}上的均匀分布。求(1)

p{iX>7}：(2)Z=min{X,Y}的密度函数。

5.设随机变量x与y相互独立，试在以下情况下求z=x+y的密度函数：

(1)X~U(O,1)，Y~t/(O,l)；(2)X~U(O,1)，Y~e(l).

6.设随机变量x与丫独立同分布于标准正态分布，试求z=Jx?+丫2的分布。

7.设随机变量X与y相互独立同分布，X的密度函数为/(x)，并且Z=max{X,y}，

W=min{X,Y}，求Z,W的密度函数。

8.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各8杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全

部挑出来，算是试验成功一次.

(1)某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？

(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的，

还是他确有区分的能力(假设各次试验是相互独立的).

9.一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的，有一只鸟从开着的窗户飞入了房

间，它只能从开着的窗户飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间，假定鸟是没有记忆

的，它飞向各扇窗子是随机的.

(1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律.

(2)户主声称他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一扇窗子的尝试不多于一次，以丫表示

这只聪明的鸟儿为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求y的分布律.

(3)非次数x小于y的概率和试飞次数y小于x的概率.

10.设X与Y独立同分布于标准正态分布N(O,1)，试证明z=x/y服从柯西分布。

习题三

(A)

1.设随机变量X的分布列为

X-100.512

P1/31/61/61/121/4

求EX，E(-X+1)，EX-«

2.设随机变量X的分布为下表所示，

X012

Pa1/61/2

求(1)a；(2)/?{1<X<1.5}；(3)EX,OX及E(2X?+3)。

3.已知E(X+4)=10,E(X+=116>求EX,EX?。

4.已知随机变量X服从参数A=2的泊松分布,Y=3X-2,求EY,DY°

5.设X的分布列为下表所示

X-1023

P1/81/43/81/4

求EX,EX2,E(-2X+1)«

6.已知随机变量X的分布函数为

'0x<0

X

E(x)=4土0<X<4

4

1尤>4

求EX,DX。

7.设随机变量X的密度函数为

f2-2x,0<x<l

其它.

求EX?。

8.设随机变量X的密度函数为/(幻=1-国，—1<%<1'求EX。

9.设随机变量X的密度函数为f(x)=e~Ax'-co<x<+co，求A及EX,DX。

10.设随机变量X与丫相互独立1且£>X=4,DK=2，则Z=3X—2Y的方差是多

少？

11.设随机变量X服从参数为2的指数分布，试求：(1)E(3X)与0(3X)X2)E(e-3x)

与。(/3x)。

12,设离散型随机变量X的可能取值为-1,0,1，且£X=0.1,DX=0.89，试求X的

概率分布。

13.设随机变量X服从「分布，其概率密度为

x>0;

/(x)=1r(«)

0,x<0,

其中a>0,X>0是常数，求EX和ox。

14.若随机变量X服从均值为2，方差为cr?的正态分布，且〃{2<X<4}=0.3•求

p{X<0}。

15.现有10奖券，其中贰元的8>伍元的2。今某人从中随机地无放回地抽取了3，求

此人得奖金额的数学期望。

16.设随机变量X的密度函数为

一)=奈"，》之。

0,x<0

其中b>0是常数，求EX，DX。

17.设随机变量(x,y)的联合分布列为下表所示，

012

00.060.120.04

10.160.140.20

20.080.100.10

求EY,E（X2-I）,E（XY）。

18.设二维随机变量（x,y）的联合分布列为右表所示，

次I-101

10.20.10.1

20.100.1

300.30.1

（1）求EX，EY；（2）设2=丫/乂，求EZ；（3）设Z=（X-丫成，求EZ。

19.设随机变量（X,F）的联合密度函数为

cosxcosy,0<x<—,0<y<—;

0,其它.

试求EX,DY,E(XY+X2)。

20.设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为

攵，0<x<l,0<y<x

f(x,y)=<

0,其它

求E（XY）。

21.设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为

12/,0<y<x<l

f(x,y)=<

0,其它

求EX，EY，E(XY)-E(X2+Y2)«

22.设随机变量X与y相互独立，且EX=Ey=l,DX=2,Oy=4-求E（X+y）2，

并求出x与y的相关系数。

23.设A和B是试验E的两个事件，且p（A）＞0,p（B）＞0，并定义随机变量X与丫如

下：

vfl,若A发生V[1,若B发生

[0,若A不发生[0,若B不发生

证明：若0=0，则x与y必定相互独立。

24.设随机变量X与y相互独立,证明：D（XY）>DXDY。

（B）

1.设汽车起点站分别于每小时的10分、30分和55分发车，若乘客不知发车的时间，

在每一小时的任一时刻X随机到达车站，求乘客等待的时间的数学期望（精确到秒）。

2.一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，假设它们

的状态相互独立，以X表示同时需调整的部件数，求£X,OX。

3.设随机变量（X,Y）的联合分布列为下表所示，

012

00.10.20.2

10.30.10.1

试求（1）cov（x,y）-p；（2）x与y的协方差矩阵。

4.m个人在大楼的1楼进入电梯，大楼共有〃+1层，电梯在每一层都可以停，若每人

在任何一层楼走出电梯的概率相同，且若某层没有人走出电梯时，电梯可以不停，试求直到

电梯中的乘客都走空时，电梯需停次数的数学期望。

5.设袋中有2只红球和3只白球，n个人轮流携球，每人摸出2球，然后将球放回袋中

由下一人摸，求“个人总共摸到的红球数的数学期望和方差。

6.某人有“把钥匙，其中只有一把能打开门，从中任取一把试开，试过的不再重复，直

至把门打开，求试开次数的数学期望和方差。

7.设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为

“X，y)H"2，°""2

0,其它

求EX，EF，cov（X,y），p，D（X+Y）«

8.设随机变量x与y独立同分布于正态分布NQI,£），试求Z1和

Z2=。火一6y的相关系数（其中生，是不为零的常数）。

9.设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为

/（x,y）=."（x+y），°W2,04y42

0,其它

求EX，EY，Cov（X,y）-

io.设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为

'3,

z.,、——xy,0<x<2,0<y<x'

/3y）=416

0,其它

求：（i）x与y的数学期望及方差；（2）x与y的协方差及相关系数。

11.设区域G为》2+丁241，二维随机变量（x,y）服从G上的均匀分布，判断X与y的

相关性、独立性。

习题四

（A）

1.设随机变量X的数学期望EX=〃，方差OX=b2，利用切贝夫不等式，估计概率

MX-“N3b｝。

2.已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700.利用切贝夫

不等式估计每毫升血液申的白细胞数在5200至9400之间的概率。

3.在每次试验中，事件A发生的概率等于0.5>利用切贝夫不等式估计，在1000次独

立试验中，事件A发生的次数在400至600次之间的概率。

4.设随机变量X和V的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，

根据切贝夫不等式可估计p｛|X+F|N6｝。

5.保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种概率。若一年中某类投保者中每个人

死亡的概率等于0.005，现有这类投保者1万人，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人

数不超过70人的概率。

6.旅客买一份旅行保险交保险费20元，如果在旅行中遇事故身亡，保险公司向家属赔

付20万元。设这一类伤亡事故的发生率为0.000081，假定这一年卖出100万份保险，若不

计保险公司的运营成本，求（1）保险公司亏本的概率；（2）保险公司赚到500万元的概率。

7.若每次射击命中目标的概率为0.1，不断地进行射击'求在500次射击中，击中目标

的次数在（49,55）的概率。

8.某工厂每月生产10000台液晶投影机但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为80%，

为了以99.7%的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片。试问该液晶片车间每

月至少应该生产多少片液晶片？

9.某产品的合格品率为99%，问包装箱中应该装多少个此种产品，才能有95%的可能性

使每箱中至少有100个合格产品。

10.计算机在做加法运算时，对每个加数取整（取最接近它的整数），设所有取整数误差

是相互独立的，且它们都在［-0.5,0.5］上服从均匀分布。将1500个数相加，求误差总和的

绝对值超过15的概率。

11.某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限

定理计算（1）同时用电户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200瓦，间电站至少应

具备多大的发电能力，才能以95%的概率保证供电。

12.设随机变量X,.（i=l,2,,100）相互独立同分布于泊松分布

2*

p{X^k}^—e-2（/=1,2,-,100）

k\

随机变量y=X1+X2+—+xK）0>求〃{i9o<y<2io}。

13.某车间有200台车床，在生产时间由于工艺要求常常停车，设开工率为0.6，并将

每台车床的工作当作是相互独立的，开工时耗电各为1千瓦，问至少要供给该车间多少电力，

才能以99.9%的概率保证该车间不会应供电不足而影响生产？

14.根据以往经验，某种电子元件的寿命服从参数为1/100小时的指数分布，现随机地

取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920的概率。

15.一射手打靶，得5分的概率为0.4，得4分的概率为0.2，得3分的概率为0.2，得

2分的概率为0.1，得0分的概率为0.1，该射手独立射击200次，求：（1）得的总分多于

750分的概率；（2）总分介于650与750之间的概率。

16.独立重复地对某物体的长度。进行〃次测量，设各次测量结果X,~N（a,0.22）。记

又为八次测量结果的算术平均值，为保证有95%的把握使平均值与实际值。的差异小于0.1，

间至少需要测量多少次？

17.由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工

作的概率为90%。为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系

统能正常运行的概率。

（B）

1.一部件包括10部分，每部分的长度是一个值机变量，它们相互独立，且服从同一均

匀分布，其数学期望为2mm,标准差为0.05mm，规定总长度为（20±0.1）mm时产品合格，

试求产品合格的概率。

2.根据中国政府于2000年进行的第五次全国人口普查，全国出生人口性别比为117，

即在出生的婴儿中，男女比率达到117：100，某地区有7000名产妇，试估计她们的生育情

况。

3.为确定某城市成年男子中吸烟者的比例p，任意调查〃个成年男子，记其中的吸烟

人数为心，问〃至少为多大才能保证机/〃与〃的差异小于0.01的概率大于95%。

4.设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，平均需要lOmin，且各产品的组装

时间是相互独立的。（1）试求组装100件产品需要15h至20h的概率：（2）保证有95%的可

能性，问16个h最多可以组装多少件产品？

5.一家有500间客房的大旅馆的每间客房装有2kw(千瓦)的空调机。若开房率为80%，

需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证有足够的电力使用空调机。

6.某校共有4900个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1，问阅

览室要准备多少个座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位。

7.某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额(元)服从(20,100)上的均匀

分布，且顾客的消费额是相互独立的，试求：

(1)该餐厅每天的平均营业额；

(2)该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元的概率。

8.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报的概率为0.2，且他们是否买报是相互独

立的。试求，报童在向100位行人兜售之后，卖掉报纸15-30份的概率。

9.设随机变量X”X2,…，X”独立同分布，EX,.=0,£氏=l(i=l,2,…，证明对任

1n1

意的£>o，有p{-Yx,2>^}<-。

〃T£

习题五

(A)

1.设样本X1,X2，X3，X4来自正态总体X~N(〃,b2)，〃已知，而人未知，则下列

各式中哪些不是统计量。

__1414__

(1)；(2)；(3))2；

M=XI+X2-//R=-又

4,1=1b/=1

4

(4)S2=-£(%,.-X)2；(5)N=W2——»

3i=lb

2.从一批零件中随机抽取8件，测得它们的重量(单位：kg)为

230，243>185，240，228，196，246，200。

试计算出样本均值和样本方差。

7

3.设X~N(0,0.25)，X「X2,…，X7，要使agX：~力2(7)，则a为多少。

1=1

4.设X2X2,…,X1°为总体X~N(9,40)的一个样本，求样本均值与总体均值之差

的绝对值大于1的概率。

5.求总体N(2O,3)的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概

率O

6.设总体X~N(72,IO?)，为使样本均值大于70的概率不小于0.90，样本容量〃至

少应取多大？

7.设X1,X2,…,X”为总体X~N(1,/)的样本，X为样本均值，已知

Y=aX+〃〜N(O,1)，则a,b取何值。

8.查表求标准正态分布的下列分位数：

“0.4，“0.2，"o.1，”0.05°

9.查表求力2分布的下列分位数：

总.95(5)，/。5(5)»君.99(10),Zo,Ol(lO)。

10.查表求，分布的下列分位数：

玲.05(3)To.oi(5)T(H0(7)T().005(l°)°

11.证明F分布上侧分位数的关系式---1-----，并查表求F分布的下列上

S)

侧分位数:综95(4,6),综975(3,7),FQ,99(5,5)

12.设随机变量X的分布函数为尸(%),%为其上侧分位数，

证明：(1)P(x<Fy_a)=a；(2)P(Ft_a<X<Fa/2)=\-a'>

13.试给出统计量与枢轴量的一些例子，并说明统计量与枢轴量的差别。

14.设X”X2,…,X,，X用为来自总体X~N3</)的样本，X”X2,…,X,,的样本

均值为X-样本标准差为S•则统计量、--------——服从应服从什么分布。

Vrt+1S

15.设X-X2,…,X“为总体X~N(〃,/)的样本'试计算<“0,025,0

X-+X:+

设X”X2,…，乂6是来自正态总体X~N(O,1)的样本，则统计量

服从什么分布。

17.设随机变量X1,X2,…，X“相互独立且都服从0-1分布B(l,P)，0<p<1，令

—1工—

x=-Yx,..试求x的方差。

18.设(X1,X2，X3，X4，Xs)为标准正态总体X~N(O,1)的样本，则常数c为何值时，

使统计量

c(X,+X2)

Jx；+x：+x

服从，分布，自由度为多少？

19.设X1,Xz，X3为总体X~N(0,4)的一个样本，当a,A为何值时，统计量

y=a(4X1-3X2y+bX

服从力2分布，并求其自由度。

20.设总体X~N(〃,/)，X「X2,…，Xw为来自总体X的一个样本，试求概率

M1162116_

〃(丁<2/｝是多少？p[4/Z(X,一X/<2/｝是多少？

216n216M

21.设总体X〜N(150,252)，现在从中抽取25个样本，求，｛140<X<147.5)。

22.设总体X~/V(80,202)，现在从总体中抽取100个样本，问样本均值与总体均值之

差的绝对值大于3的概率是多少？