机械控制工程基础-第二章课件

第二章系统的数学模型系统的微分方程2.1系统的传递函数2.2传递函数方框图及简化2.3考虑扰动的反馈系统的传递函数2.42.5拉氏变换补充机械控制工程第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.1.1概述1、概念微分方程：在时域中描述系统动态特征的数学模型。线性系统：用线性微分方程描述的系统数学模型，满足叠加原理。线性定常系统：微分方程的系数为常数的系统数学模型非线性系统：实际的物理系统存在一些非线性因素在一定范围内经过线性化处理，可用线性模型来研究其特性。

2、建立数学模型方法1）分析法2）实验法机械控制工程第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.1.2分析法列写微分方程的方法与步骤

目的在于确定系统的输出量与给定输入量或扰动输入量之间的函数关系确定系统的输入、输出量根据相关定律（欧姆定律、牛顿定律）列写原始方程，并适当简化，线性化；消除中间变量，经整理得到输出量与输入量关系式整理微分方程为标准形式（左侧放与输出量有关的各项，右侧放与输入量有关的各项）机械控制工程第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.1.2分析法列写微分方程的方法与步骤

例1：质量-弹簧-阻尼系统机械控制工程第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.1.2分析法列写微分方程的方法与步骤

例2：无源电路网络将（2）、（3）、（4）分别代入（1），整理得到：机械控制工程第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.1.3非线性微分方程的线性化

1、非线性特性分类本质非线性系统：在工作点附近存在不连续直线、跳跃、折线等严重非线性性质的系统。为得到线性方程，常常忽略这些因素非本质非线性：可以采用线性化2、线性化方法：将非线性方程在一定工作范围内用线性方程来代替非线性方程机械控制工程第二章系统的数学模型2.1系统的微分方程2.1.3非线性微分方程的线性化

2、线性化方法：将非线性方程在一定工作范围内用线性方程来代替非线性方程非线性方程：——预定工作点（平衡状态）

线性化：y=f（x）在（x0，y0）邻域展开Taylor级数，作一次近似式，将一次近似式与静态方程相减，得到增量方程：注意事项：1）必须明确系统的工作点。不同的工作点所得线性化方程的系数不同；2）非线性化模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小；3）非线性函数是不连续的，则在不连续点附近不能得到收敛的Taylor级数，这时不能线性化；4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。

机械控制工程补充拉氏变换3.1系统时域数学模型2.1.3非线性微分方程的线性化

作用于质量M上的力矩为：例如：单摆质量M的平衡位置为θ=0，则线性化处理为：机械控制工程补充拉氏变换拉氏变换是分析工程控制系统的基本数学方法微分方程（时间域）代数方程（复数域）拉氏变换拉氏反变换补充拉氏变换及反变换机械控制工程补充拉氏变换对于函数f(t)，满足下列条件:补充拉氏变换及反变换一、拉氏变换定义：象函数原函数机械控制工程补充拉氏变换1、单位阶跃函数

0t1二、典型时间函数的拉氏变换补充拉氏变换及反变换机械控制工程补充拉氏变换2、指数函数

补充拉氏变换及反变换二、典型时间函数的拉氏变换机械控制工程补充拉氏变换3、斜坡函数

0t补充拉氏变换及反变换二、典型时间函数的拉氏变换机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏变换及反变换二、典型时间函数的拉氏变换机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏变换及反变换机械控制工程补充拉氏变换常

用

函

数

的

拉

氏

变

换原函数象函数补充拉氏变换及反变换δ(t)1机械控制工程补充拉氏变换1、线性性质补充拉氏变换及反变换三、拉氏变换定理例如：机械控制工程补充拉氏变换2、位移定理（复域位移定理）例如：补充拉氏变换及反变换三、拉氏变换定理机械控制工程补充拉氏变换3、微分定理两个重要推论：补充拉氏变换及反变换三、拉氏变换定理机械控制工程补充拉氏变换例如：当初始条件为0时补充拉氏变换及反变换作用：可以将微分方程转换成象函数的代数变换机械控制工程补充拉氏变换4、积分定理两个推论：补充拉氏变换及反变换三、拉氏变换定理机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏变换及反变换5、终值定理（应用于稳态误差）注意：f(t)的极限必须存在终值定理用来确定系统或元件的稳态度三、拉氏变换定理机械控制工程补充拉氏变换6、初值定理注意：f(t)的极限必须存在证明：由拉氏变换的定义和微分定理可知补充拉氏变换及反变换三、拉氏变换定理机械控制工程补充拉氏变换7、延时定理(时域位移定理）00补充拉氏变换及反变换三、拉氏变换定理机械控制工程补充拉氏变换8、卷积定理补充拉氏变换及反变换三、拉氏变换定理机械控制工程补充拉氏变换线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理补充拉氏变换及反变换拉氏变换的主要运算定理机械控制工程补充拉氏变换例01234567-11tg(t)1.写出时域表达式2.求出对应象函数补充拉氏变换及反变换机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏变换及反变换四、拉氏反变换1、拉氏反变换方法1、利用拉氏变换表2、利用部分分式展开法，然后再利用已知函数的拉氏变换和拉氏变换的性质机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏变换及反变换1、利用拉氏变换表机械控制工程补充拉氏变换首先将控制对象的象函数分母因式分解分解时有几种不同的极点情况，采用不同方法进行拉氏反变换补充拉氏变换及反变换2、部分分式展开法则反变换为：机械控制工程补充拉氏变换2.1分母B（s）无重根时补充拉氏变换及反变换其中αi为待定系数，Pi极点求待定系数α1方法机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏变换及反变换2.1分母B（s）无重根时求系数α1、α2机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏逆变换由于a2和a1共轭，所以：2.1分母B（s）无重根时机械控制工程补充拉氏变换2、含有多重极点情况补充拉氏变换及反变换其中α2~αl求法与上面相同，关键是求α11~α1γ机械控制工程补充拉氏变换α11的求法：补充拉氏变换及反变换2、含有多重极点情况对s求导：若m重，则机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏变换及反变换机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏变换及反变换在系统瞬态响应分析时，用拉氏变换解常系数线性微分方程。1）通过拉氏变换将微分方程化成象函数的代数方程2）解出象函数3）通过拉氏逆变换求解常微分方程的解。机械控制工程补充拉氏变换补充拉氏变换及反变换用拉氏变换解常系数线性微分方程机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.1传递函数1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下系统输出量拉式变换式Xo(s)与系统输入量拉式变化式Xi(s)之比。机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.1传递函数2、传递函数的求取对线性定常系统用线性常微分方程描述输入、输出动态关系：在零初始条件下求拉式变换：机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.1传递函数3、传递函数的性质

1）传递函数与输入量、输出量的大小、性能无关其中分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特性分母=0时称为特征方程，其根为系统的特征根（极点）分子代表输入与系统的关系当分子=0方程的根为系统的零点。2)输入已经给定则系统的输出取决于传递函数机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.1传递函数3、传递函数的性质

5）不同物理结构的系统可能有相同的传递函数4）G(s)可以有量纲、也可以无量纲（看输入量和输出量二者的量纲及其比值）3）传递函数是复变数s的有理分式，分子多项式阶次m不高于分母多项式阶次n机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2传递函数的零点、极点和放大系数

系统的稳定由极点性质决定系统的瞬态响应由系统传递函数的极点决定。所有极点是负数或具有负实部时，则瞬态响应收敛系统稳定零点对系统的稳定性没有影响，但对瞬态响应曲线的形状有影响系统的放大系数决定了系统的稳态输出值机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2典型环节的传递函数从数学表达式出发，将一个复杂系统分为有限的典型环节环节：以数学模型来划分元件：有电气的、机械的、液压的、气动的典型环节有： 比例环节 惯性环节 微分环节 积分环节 振荡环节机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2典型环节的传递函数1、比例环节立即成比例响应输入量的变化（不失真也不延时）

例如：无传动间隙的齿轮副的传递函数

机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2典型环节的传递函数2、惯性环节（一阶惯性环节）由一阶微分方程描述的环节。惯性环节中含有一个储能元件和一个耗能元件。 储能元件：电容C、弹簧 耗能元件：电阻R、阻尼例如：质量-阻尼-弹簧系统忽略m：机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2典型环节的传递函数3、微分环节凡具有输出正比于输入的微分的环节微分环节作用：1）改善系统动态性能，增加系统的稳定性；——增加系统的阻尼2）对输入有预见作用——使输出提前3）强化噪声的作用机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2典型环节的传递函数3、微分环节例：机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2典型环节的传递函数4、积分环节输出正比于输入对时间的积分的环节积分环节作用：1）输出是输入信号对时间的积累2）积分环节具有保持性机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2典型环节的传递函数5、振荡环节凡是由下列二阶微分方程描述的环节。在零初始条件下：ξ——阻尼比ωn——无阻尼固有频率机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2典型环节的传递函数5、振荡环节例如：质量—阻尼—弹簧系统的传递函数：机械控制工程第二章系统的数学模型2.2系统的传递函数2.2.2典型环节的传递函数6、延时环节输入与输出完全相同，只是输出滞后一延迟时间τ延时环节对系统的影响：1）使系统稳定性下降2）延时时间越长，稳定性越差机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.1系统方框图

1、系统方框图的组成用方框表示环节，用箭头表示系统输入输出流向函数方框：是传递函数的图解表示相加点(求和点)：信号之间进行代数求和运算的图解表示分支点（取信点）：表示同一信号向不同方向的传递，引出的信号量纲数值均相同机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.1系统方框图

2、系统方框图的优点1）只要按信号的流向，将各环节的方框联接，容易组成整个系统的框图；2）可以揭示和评价每个环节对系统的影响；3）可进一步简化系统框图，便于写出整个系统的传递数。3、系统方框图的建立1）建立系统的原始微分方程2）对微分方程进行Laplace变换，并据变换式中的因果关系绘出相应的方框图3）按信号在系统中的传递、变换的过程（流向）依次将各传递函数方框图连接起来，输入端置于左端，输出端置于右端，得到系统的传递函数方框图机械控制工程补充拉氏变换2.3传递函数方框图及其简化

-1/csUo(s)I(s)Ui(s)机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.2传递函数方框图的等效变换

1、串联环节的等效变换规则等效变换：变换前后输入输出总的数学关系保持不变。机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.2传递函数方框图的等效变换

2、并联环节的等效变换规则±＋×机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.2传递函数方框图的等效变换

3、反馈联接及其等效原则前向通道反馈通道开环传递函数Gk(s)：（无量纲）闭环系统中前向通道与反馈通道传递函数的乘积。机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.2传递函数方框图的等效变换

3、反馈联接及其等效原则-+-

联立并削去中间变量+负反馈正反馈机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.2传递函数方框图的等效变换

4、分支点移动规则1）前移（由方框后移到方框前）—串联相同传递函数2)后移（由方框前移到方框后）—串联相同传递函数方程的倒数机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.2传递函数方框图的等效变换

5、相加点移动规则1）前移—串联相同传递函数方程的倒数2)后移—串联相同传递函数方程A(s)=?机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.2传递函数方框图的等效变换

6、分支点之间，相加点之间相互移动规则1）相加点间的相互移动2)分支点间的相互移动3)分支点和相加点之间不能相互移动

机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.2传递函数方框图的等效变换

化简方法通过移动分支点、相加点，消除交叉相联，使其成独立的小回路用串联、并联和反馈联接的等效规则进一步化简一般应先解内回路，再逐步向外回路，一环环简化，最后求解机械控制工程第二章系统的数学模型2.3传递函数方框图及其简化

2.3.2传递函数方框图的等效变换

相加点前移小回路：机械控制工程第二章系统的数学模