换元法求不定积分说课讲解课件

换元法求不定积分二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法与分部积分法第8章三、分部积分法2第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有3一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)4例1.

求解:令则故原式=注:当时5例2.

求解:令则想到公式6例3.

求想到解:(直接配元)7例4.

求解:类似8例5.

求解:∴原式=9常用的几种配元形式:

万能凑幂法10例6.

求解:原式=11例7.

求解:原式=例8.求解:原式=12例9.

求解法1解法2两法结果一样13例10.求解法114解法2同样可证或15例11.求解:原式=16例12.

求解:17例13.求解:∴原式=18例14.

求解:

原式=分析:

19例15.

求解:原式20小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如21思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?222.

求提示:法1法2法323二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，24定理2.设是可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式25例16.

求解:令则∴原式26例17.

求解:令则∴原式27例18.

求解:令则∴原式28令于是29原式例19.

求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.30小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令令312.常用基本积分公式的补充(7)

分母中因子次数较高时,可试用倒代换

令3233解:原式例20.求例21.

求解:34例22.

求解:原式=例23.

求解:原式35例24.

求解:令得原式36例25.

求解:原式令例1637思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令382.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)

393.求下列积分:404.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得41分子分母同除以5.求不定积分解:令原式42由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.三、分部积分法43例1.

求解:令则∴原式思考:如何求提示:令则原式44例2.

求解:令则原式=45例3.

求解:令则∴原式46例4.

求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.47解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5.求解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数48例6.

求解:令,则原式=49例7.

求解:令则∴原式=50例8.

求解:令则得递推公式51说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,52例9.

证明递推公式证:注:或53说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数类型不变,解出积分后加

C)例43)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.54例10.

已知的一个原函数是求解:说明:此题若先求出再求积分反而复杂.55例11.

求解:令则原式令56例12.

求解法1先换元后分部令即则故57解法2用分部积分法58小结分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式4.计算格式:59例13.求解:令则可用表格法求多次分部积分60例14.求解:令则原式原式=61思考与练习1.下述运算错在哪里?应如何改正?得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.622.

求提示:633.