名校物理课件-力学与工程科学-弹性力学

弹性力学2023年7月27日2内容提要向量与张量应变分析应力分析本构关系弹性力学边值问题Saint-Venant问题平面问题（直角坐标）平面问题（极坐标）平面问题（复变方法）空间问题2023年7月27日3成绩评定交六次作业4×6＝24分课堂提问6分期中考试30分期末考试40分2023年7月27日4教材与参考书教材：王敏中、王炜、武际可，弹性力学教程，

北京大学出版社，2002参考书目：武际可、王敏中、王炜，弹性力学引论Timoshenko、Goodier，弹性理论徐芝纶，弹性力学，上册Love，ATreatiseontheMathematicalTheoryofElasticityetc.2023年7月27日5绪论弹性，elasticity外力消失后，物体恢复原状的性质理想弹性体，perfectelasticbody仅具有弹性性质的理想物体弹性力学，TheoryofElasticity弹性体在外界因素影响下，研究其变形规律和应力分布的科学为什么？与其它力学分支的关系2023年7月27日6理论基础与基本假设Newton定律连续性假设，Continuity何谓连续性？合理性完全弹性假设，PerfectElastic其他假设：小变形假设，SmallDeformation，Infinitesimal线弹性假设，LinearElasticity均匀性假设，Homogeneity各向同性假设，Isotropy无初应力假设，NoInitialStress弹性力学（1）2023年7月27日8向量代数（复习）定义Einstein约定求和坐标变换（正交坐标变换）2023年7月27日9基本公式Kronecker记号置换记号（Levi-Civita）2023年7月27日10张量代数定义（二阶张量并矢基定义）坐标变换（正交坐标变换）二阶张量的矩阵表示2023年7月27日11张量运算加法转置反称张量的轴向量单位张量张量的迹2023年7月27日12向量与张量之积内积外积2023年7月27日13张量与张量之积单重积双重积2023年7月27日14重要公式两个结论：2023年7月27日15向量分析Hamilton算子：2023年7月27日16向量分析（续）Laplace算子：2023年7月27日17张量分析向量的梯度：张量的散度：2023年7月27日18张量分析（续）张量的旋度：基本公式：2023年7月27日19张量分析（续二）两个重要公式：积分公式：弹性力学（2）2023年7月27日21位移及其性质位移（Displacement）应用弹性力学假设连续性假设小变形假设2023年7月27日22几何方程位移梯度几何方程（KinematicEquation）Cauchy应变张量旋转张量平移转动变形2023年7月27日23几何意义正应变剪应变2023年7月27日24应变分析任意方向的伸长Green应变张量2023年7月27日25应变分析（续）任意角度的变化2023年7月27日26应变张量的性质应变为一个二阶张量定义，并矢坐标变换2023年7月27日27主方向、主应变二阶张量与矩阵一一对应（给定基底）对称二阶张量在正交变换下的标准型可对角化特征向量称为应变张量的主方向特征值称为主应变2023年7月27日28不变量二阶张量的不变量：坐标变换下不变的性质三维空间中有三个独立的不变量：2023年7月27日29几何解释、变形椭球体应变变形椭球2023年7月27日30应变张量的柱坐标分量2023年7月27日31应变张量的球坐标分量2023年7月27日32应变协调方程（Compatibility）问题的提出问题的意义力学意义：已知每一点的局部变形，能否得到整体上无矛盾的位移场？数学意义：任意六个未知函数（应变分量）能否通过3个位移分量来表示？结论：应变场不能任意给定，应该有某种限制条件，即：“协调关系”2023年7月27日33必要条件张量形式直角坐标分量形式2023年7月27日34Volterra积分问题：上述必要条件是否充分？Volterra积分问题：线积分是否与路径相关？如何证明？2023年7月27日35Volterra积分的证明单连通区域多连通区域：位移单值性条件2023年7月27日36结论充分必要条件位错与向错不协调张量位错：Burgers向量向错：Frank向量弹性力学（3）2023年7月27日38外力和内力外力超距力，体力接触力，面力内力在外力的作用下，弹性体内部的分子的初始状态发生变化，产生了分子之间的附加力，这种力称为内力。2023年7月27日39六面体上的面力2023年7月27日40斜面上的面力，应力张量应力张量在不同坐标系下服从二阶张量的变换关系，是二阶张量2023年7月27日41平衡方程力平衡力矩平衡平衡方程2023年7月27日42应力张量的性质主应力主方向性质主应力是正应力的极值主方向相互垂直主方向之间的剪应力为零应力张量的不变量:2023年7月27日43最大剪应力问题：哪两个方向之间的剪应力最大？剪应力在单位向量n下的条件极值问题结论剪应力大小的极大值是主应力差的一半最大剪应力发生的方向为主方向平面内的分角线方向2023年7月27日44八面体应力（OctahetronStresses）

问题：主坐标系中的正八面体表面上的应力2023年7月27日45应力偏量（DeviatoricStresses）

不考虑应力张量的静水压力部分应力偏量的不变量2023年7月27日46应力函数（StressFunctions）应力函数是平衡方程的通解2023年7月27日47应力函数（续）应力函数最一般形式的通解上述解是否问题的一般解？完备性定理弹性力学（4）2023年7月27日49本构关系（ConstitutiveLaw）已知条件应变分析，几何方程应力分析，平衡方程物理事实：处于相同变形的两个物体，即使大小和形状都相同，其受力分布一般并不同。还必须建立另外的一组关系，这就是应力与应变之间的关系，通常称为本构关系。假设：线弹性其他本构关系：流体力学、非牛顿流体力学、弹性力学、塑性力学、土力学、粘弹性力学等。基本规律：热力学定律。2023年7月27日50外力功与内力功外力功内力功：外力做功在弹性体内储存为弹性能2023年7月27日51热力学定律热力学第一定律热力学第二定律几点说明两个平衡态之间的缓慢变化等号表明是热力学可逆过程当扰动为虚拟的物理过程时，不等式反号2023年7月27日52两种基本的本构描述自由能表示内能表示2023年7月27日53两种可逆过程等温过程绝热过程2023年7月27日54广义Hooke定律基本假设应力与应变是线性的无初应力材料是各向同性的变形过程是等温的问题各向异性？绝热过程？Lame系数杨氏模量Poisson比2023年7月27日55各向同性线弹性材料线弹性本构关系各向同性线弹性应变能是应变张量不变量的二次函数2023年7月27日56应变能应变能（StrainEnergy）两点说明积分是在应变空间中进行的（6维）应变能是应变分量的正定二次型2023年7月27日57刚度矩阵与柔度矩阵刚度矩阵（StiffnessMatrix)柔度矩阵（ComplianceMatrix）2023年7月27日58弹性常数的性质应变能的正定性刚度矩阵与柔度矩阵均是正定的弹性常数应该满足一定的关系压缩模量（CompressionModulus）负Poisson比材料2023年7月27日59弹性系数之间的关系2023年7月27日60各向异性线弹性材料本构关系的一般表示应变能2023年7月27日61规范记法优点：可保证坐标变换时的正交性21个材料常数2023年7月27日62具有对称面的弹性材料一个对称面，13个弹性常数两个对称面，9个弹性常数（正交各向异性）2023年7月27日63具有对称轴的弹性材料一个对称轴，5个弹性常数（横观各向同性）两个对称轴，2个弹性常数（各向同性）2023年7月27日64其他本构关系热弹性材料磁弹性材料弹性力学（5）2023年7月27日66ContentSummaryofGoverningEquationsBoundaryConditionsTheSolutiontoanElasticityProblemExistenceandUniquenessTheProofofUniquenessPrincipleofSuperpositionSt.Venant’sPrinciple2023年7月27日67SummaryofGoverningEquationsKinematicequations(K)orintensornotationCompatibilityEquations(C)orintensornotation2023年7月27日68SummaryofGoverningEquations(cont.)EquilibriumEquations(E)orintensornotationStrain-stressRelationships(H)orintensornotation2023年7月27日69BoundaryConditionsDisplacementboundaryconditionsorTractionBoundaryConditionsorMixedBoundaryConditionsOnpartoftheboundarydisplacementsaregiven,ontheotherstractionsareassignedPartofthedisplacementcomponentsandpartofthetractionsaregivenonthesameareaoftheboundary2023年7月27日70TheSolutiontoanElasticityProblemAsolutiontoanelasticityproblemshouldsatisfyallofthefollowingconditions:StressessatisfytheequilibriumequationsinsidetheelasticbodyandtractionboundaryconditionsontheboundaryStrainssatisfythecompatibilityequationsinsidetheelasticbodyDisplacementarecontinuousandrelatedtothestrainsasinthekinematicequationsinsidetheelasticbodyandsatisfythedisplacementboundaryconditionsontheboundaryStressesareconsistentwithstrainsbygeneralizedHooke’slawAnyviolationoftheaboveitemsdeniesthecorrectnessofthesolution2023年7月27日71ExistenceandUniquenessItcanbeprovedthatthesolutionexistsforanelasticityproblem.Whileprovingthisisfarbeyondthescopeofthepresentcourse,appreciationofthisconclusionisimportant.Whatisthepointofsearchingforasolutioninvainifthesolutiondoesnotexist?Anotherconclusionofequalimportanceistheuniquenessofthesolution.Thiscanbeprovedrelativelyeasilywhencertainconditionsaresatisfied.Whatuseyoucanmakeofthesolutionyouobtainifthereexistsothersolutiondifferentfromyours?2023年7月27日72TheProofofUniquenessEquations:BoundaryConditions:Physically，2023年7月27日73BVPinTermsofDisplacementsEliminatingStressesandStrainsBoundaryConditionsinTermsofDisplacementsBi-HarmonicFunctions2023年7月27日74BVPinTermsofStressesEliminatingDisplacementsandStrainsStressBoundaryConditionsSingle-ValuedConditionsNotes2023年7月27日75PrincipleofSuperpositionTheprincipleofsuperpositionisvalidinalllinearsystemsBothequationsandboundaryconditionsofElasticityarelinear2023年7月27日76St.Venant’sPrincipleAnyofself-balancedforcesystemappliedtoamaterialobjectwillonlyhavelocaleffectsaroundwhereitisappliedFarwayfromthatlocalregiontheresponsesoftheobjectarenotaffected2023年7月27日77St.Venant’sPrinciple(cont.)Correctness?CounterExample?ExactlyExpressionProofofthePrinciple2023年7月27日78虚位移原理可能位移与变形可能应变满足连续条件的位移场几何方程位移边界条件虚位移与虚应变可能位移与真实位移之差虚位移原理在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给定物体微小虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。2023年7月27日79数学表述虚位移与虚应变虚位移原理:虚位移原理的另一种表述：变形体平衡的充分必要条件是：对于任意微小的虚位移，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。2023年7月27日80最小势能原理系统总势能最小势能原理在所有可能的位移场中，真实位移场使得系统的总势能最小。最小势能原理的逆定理若某一可能的位移场使得系统的总势能最小，则它一定是系统的真实位移场。2023年7月27日81虚应力原理可能应力满足平衡条件的应力场平衡方程应力边界条件虚应力可能应力与真实应力之差虚应力原理在外力作用下处于平衡状态的可变形体，微小虚外力在真实位移做的总虚功等于虚应力在真实应变上的总虚应变余能。2023年7月27日82数学表述虚应力虚应力原理:虚应力原理的另一种表述：变形体位移协调的充分必要条件是：对于任意微小的虚外力，外力的总虚功等于物体的总虚应变余能。2023年7月27日83最小余能原理系统总余能最小余能原理在所有可能的应力场中，真实应力场使得系统的总余能最小。最小余能原理的逆定理若某一可能的应力场使得系统的总余能最小，则它一定是系统的真实应力场。弹性力学（6）2023年7月27日85Saint-Venant问题问题的提法细长柱体在端头力作用下的弹性力学边值问题边值问题的描述方程组（不考虑体力）边界条件2023年7月27日86放松边条件问题的难点端头外力分布的任意性Saint-Venant原理的应用采用两组容易求解的静力等效的外力代替端头外力实际工程应用中能提供的边界条件放松边条件：用合力及合力矩代替端头边条件采用放松边界条件，解的唯一性？原点取在截面形心x，y为截面主轴2023年7月27日87问题的分类将问题应用叠加原理分为拉压弯扭简单拉压纯弯曲扭转横向弯曲问题的半逆解法，设：2023年7月27日88简单拉压应力解位移解（不计刚体位移）2023年7月27日89纯弯曲应力解位移解（不计刚体位移）2023年7月27日90平截面假定的合理性考虑特殊的纯弯曲Euler-Bernoulli平截面假定：2023年7月27日91扭转应力应力假设平衡方程应力协调方程侧面边条件Saint-Venant边条件2023年7月27日92扭转应力的求解扭转应力函数（Prandtl应力函数）平衡方程应力协调方程侧面边条件常数如何确定？积分与路径无关？利用端头放松边条件2023年7月27日93扭转刚度考虑一般的多连通区域应用侧面边条件，有：验证应用端头边条件：扭转刚度2023年7月27日94扭转位移的求解应用Hooke定律和几何关系引入辅助函数扭转的翘曲函数2023年7月27日95扭转位移场位移场满足：位移场2023年7月27日96位移单值性条件位移场单值：扭转函数的确定2023年7月27日97扭转解的表达式2023年7月27日98扭转的性质扭转刚度恒正剪应力的最大值在边界上达到剪应力的方向为扭转函数等值线的切向引理：

下调和函数的最小值在边界上达到2023年7月27日99扭转性质的证明扭转刚度恒正剪应力的最大值在边界上达到剪应力的方向为扭转函数等值线的切向2023年7月27日100椭圆截面杆的扭转假设扭转函数剪应力扭转刚度2023年7月27日101椭圆截面杆的扭转（续）最大剪应力位移场平截面假定是否成立？圆杆的扭转什么截面扭转刚度最大？最大剪应力的位置？SV猜想。2023年7月27日102带半圆槽圆杆的扭转问题边界描述扭转函数扭转刚度计算位移场2023年7月27日103带半圆槽圆杆的扭转（续）扭转应力边界上的扭转应力最大扭转应力半圆槽杆与圆杆比较刚度相当强度减半2023年7月27日104矩形截面杆的扭转扭转函数剪应力扭转刚度2023年7月27日105矩形截面杆的扭转（续）最大剪应力位移场计算2023年7月27日106开口薄壁杆件的扭转问题描述扭转函数2023年7月27日107开口薄壁杆件的扭转（续）扭转刚度扭转应力翘曲函数2023年7月27日108闭口薄壁杆件的扭转扭转函数近似解位移单值性条件扭转刚度最大剪应力2023年7月27日109闭口薄壁杆件的扭转（续）开、闭口扭转刚度比较扭转应力比较多连通区域的求解2023年7月27日110扭转刚度的上界用翘曲函数表示的扭转刚度扭转刚度的另一种形式上界定理2023年7月27日111扭转刚度的下界用扭转函数表示的扭转刚度扭转刚度的另一种形式下界定理2023年7月27日112横向弯曲应力假设平衡方程应力协调方程应力一般解原点在截面形心主轴坐标系2023年7月27日113横向弯曲（续）应力一般解满足的方程侧面边条件Saint-Venant边条件2023年7月27日114弯曲应力的求解应力函数的引进满足应力协调方程满足侧面边条件2023年7月27日115弯曲应力的求解（续一）Saint-Venant边条件弯曲应力函数的引进2023年7月27日116弯曲应力的求解（续二）扭矩条件弯曲剪应力2023年7月27日117弯曲位移的求解类似于扭转翘曲函数的引进，令：则有：2023年7月27日118弯曲函数引入弯曲函数：它们满足：2023年7月27日119弯曲位移场忽略刚体位移，横向弯曲的位移场为：2023年7月27日120弯曲剪应力利用弯曲函数表示弯曲剪应力：截面常数可以表示为：2023年7月27日121弯曲中心无扭横向弯曲的条件弯曲中心Новожилов弯曲中心公式

为的截面形心2023年7月27日122圆截面杆的横向弯曲弯曲应力函数弯曲剪应力2023年7月27日123圆截面杆的横向弯曲（续）最大剪应力注意到这点与材料力学结果一致材力的假设：平行于y轴的弦上各点的剪应力指向同一点，弦端点的剪应力与边界相切平行于y轴的弦上各点都相等弹性力学（7）2023年7月27日125平面应变问题问题的提法几何特点：弹性体为母线与轴平行的长柱体。物理特点：弹性体上所受体力和侧面所受外力都平行于xy平面，全与z无关，且它们在平面内构成平衡力系。边值问题的描述物理条件位移假设2023年7月27日126平面应变问题的简化应变场应力场平衡方程位移边界条件应力边界条件2023年7月27日127解的存在唯一性截面内受自平衡力系端头边界条件的提法2023年7月27日128协调条件应变协调条件应力应变关系应力协调条件2023年7月27日129Airy应力函数无体力应力协调方程2023年7月27日130Airy应力函数（续）有体力2023年7月27日131平面应力问题问题的提法几何特点：弹性体占有的区域为一薄板物理特点：在板的侧面受有关于z=0的对称外力，在板内无体力，在板的上下表面也无外力

边值问题的描述物理条件应力假设特别提示：一般说来，应力与z有关！2023年7月27日132平面应力问题的求解平衡方程应力协调方程应力一般解2023年7月27日133平面问题（无体力）方程应力表达式应力边值问题位移边值问题混合边值问题2023年7月27日134矩形梁的弯曲“狭长”矩形梁边值问题假设应力函数（半逆解法）2023年7月27日135矩形梁的弯曲（续）应力函数的形式应力场问题：位移场的计算？侧面受分布载荷如何解？2023年7月27日136三角函数解法受有余弦分布外力边值问题假设应力函数（半逆解法）2023年7月27日137三角函数解法（续）应力函数的形式应力场弹性力学（8）2023年7月27日139平面问题的极坐标表示坐标基的微商几何方程2023年7月27日140平面问题的极坐标表示（续）平衡方程应力应变关系2023年7月27日141应变协调条件协调方程位移单值性条件在原点周围的小圆上2023年7月27日142应力协调条件应力协调方程Airy应力函数2023年7月27日143厚壁圆筒问题几何描述高压管道，储气瓶

方程与边界条件假设应力函数（半逆解法）应力函数的一般形式不产生应力，A=0位移单值性条件，D=02023年7月27日144厚壁圆筒：位移场广义Hooke定律和几何关系

位移表达式（不计刚体位移）问题：位移场单值性条件？2023年7月27日145厚壁圆筒：应力场应力解结果分析应力集中系数2023年7月27日146曲梁的弯曲几何描述同心圆弧形的曲梁方程与边界条件应力函数的形式2023年7月27日147曲梁的弯曲：纯弯曲应力函数的一般解应力表达式2023年7月27日148曲梁的弯曲：切向力应力函数的形式应力函数一般解应力表达式位移表达式（不计刚体位移）2023年7月27日149曲梁的弯曲：法向力应力函数的形式应力函数一般解应力表达式2023年7月27日150曲梁的弯曲：向错与位错纯弯曲情形切向力作用法向力作用2023年7月27日151带圆孔的无限大板之拉伸（一）无穷远的边条件提法边值问题描述2023年7月27日152应用叠加原理，问题分解：带圆孔的无限大板之拉伸（二）2023年7月27日153带圆孔的无限大板之拉伸（三）问题一的求解，厚壁圆筒问题的特例：2023年7月27日154带圆孔的无限大板之拉伸（四）问题二的求解，应力函数假设：应力函数的一般解：应力解2023年7月27日155带圆孔的无限大板之拉伸（五）叠加问题一和问题二的解，得到应力场：圆孔周边的应力应力集中系数2023年7月27日156集中力作用于全平面（一）集中力的提法边值问题描述类似于带圆孔之无限大板2023年7月27日157集中力作用于全平面（二）应力假设：由应力函数与应力的关系，应力函数为：应力函数是双调和的：关于＝0对称，

对应x方向集中力关于＝0反对称，

对应y方向集中力2023年7月27日158集中力作用于全平面（三）应力解：由集中力条件：应力应变关系：B由位移单值性条件确定2023年7月27日159集中力作用于全平面（四）位移单值性条件：位移场：直角坐标下位移场：Kelvin解2023年7月27日160楔：集中力作用（一）对称外力侧面边条件应力函数与应力场2023年7月27日16