中考数学二轮复习重难题型突破类型一最优方案问题

类型一最优方案问题例1．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？【答案】：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.【分析】：这是一道与商品销售有关的最优化问题．首先根据“利润=（售价－进价）×销售量”构建二次函数，然后通过配方或用顶点坐标公式求出最值.【解析】：（1）y=(60－x－40)(300+20x)

＝6000+400x－300x－20x2

＝－20x2+100x+6000自变量的取值范围是0≤x≤20.（2）∵a＝－20<0，∴函数有最大值，∵，.∴当x=2.5时，y的最大值是6125.∴当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.图1ABCDx3040x例2现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：图1ABCDx3040x（1）求出这块场地中种植菊花的面积与场地的长之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．（2）当是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？【答案】：当时，种植菊米的面积最大，最大面积为225m2．【分析】：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出与之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.【解析】：（1）由题意知，场地宽为，∴，自变量的取值范围为．（2），当时，种植菊米的面积最大，最大面积为225m2．点评：求解与二次函数有关的最优化问题时，首先要根据题意构建函数关系式，然后再利用配方法或公式法求得最大值．有一点大家一定要注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，具体分析，才能求出符合题意的最值．例3ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【答案】：(1)四边形EFGH是正方形．（2）当CE=CF=0.1米时总费用最省.图1(2)ADFBEC(1)EFGHABDC【分析】：（1）通过观察图形，可猜想四边形EFGH是正方形。要注意图形中隐含的条件，由图1(2)可得△CEF是等腰直角三角形，即可说明四边形EFGH是正方形；（2）设图1(2)ADFBEC(1)EFGHABDC【解析】：(1)四边形EFGH是正方形．图1(2)可以看作是由四块图1(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向依次旋转90°后得到的，故CE=CF=CG=CH．∴△CEF、△CFG、△CGH、△CHE是四个全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE，∠FEH=∠EFG=∠GHE=∠FGH=90°，因此四边形EFGH是正方形.(2)设CE=x，则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y,那么y=x×30+xx-x)]×10=10(xx+0.24)=10(x-0.1)2+2.3(0＜x＜0.4)．当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1。答:当CE=CF=0.1米时总费用最省.说明：这类探究几何图形中的关系式的问题，在近年来考试题中较为常见，同学们要注意总结它们的方法，一般地，在平面几何中寻找关系式，要充分挖掘图形的性质，利用图形的性质（如面积公式、相似三角形的性质等）列出关系式。例4、一家电脑公司推出一款新型电脑．投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分．请结合图象，解答以下问题：（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？yxyx332413O图2【答案】：（1）（2）49（3）15个月【分析】：（1）结合图象可以判断出是该函数是二次函数，利用待顶系数法即可解决；（2）在（1）的基础上配方即可；（2）令y=0，列出一元二次方程，解方程即可。【解析】：（1）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为：，由图知：，解得，所以．（2）=－（x-7）2+49，当